歐幾里得和他的《幾何原本》

文王姍姍

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）

歐幾里得，古希臘數學家，幾何之父，一生著作很多，遺憾的是，除了《幾何原本》外，他只給世界留下了兩句話。

一句是在托勒密國王問歐幾里得有沒有學習幾何學的捷徑時，歐幾里得答道：“幾何無王者之道。”另一句是在一個學生才開始學習第一個命題時，就問學幾何有何用處，歐幾里得對身邊的侍從說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。”這兩句話和他的《幾何原本》一樣，影響深遠。

《幾何原本》選取少量原始的概念作為定義、不需要證明的命題作為公設或公理，利用邏輯推理的方法推演出整個幾何體系。在第一卷中，首先給出了點、線、面、角、垂直、平行等定義，接著給出了5 條公設和5 條公理，公理后是一個接一個的命題及其證明。

七年級下冊數學教材中，把“同位角相等，兩直線平行”作為基本事實，推理得出“內錯角相等，兩直線平行”及“同旁內角互補，兩直線平行”。而《幾何原本》在第1 卷第27 個命題中，用反證法證得了“內錯角相等，兩直線平行”，隨后由命題27 證得“同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行”，并作為第28個命題。

《幾何原本》中第27 個命題證明如下：

已知：直線EF與直線AB、CD相交，其中∠AEF=∠EFD。

求證：AB∥CD。

證明：假設AB、CD不平行，那么它們一定相交，假設它們在B、D方向交于點G，那 么 在△GEF中，外 角∠AEF=∠EFG。這與第一卷中已證明的命題16（三角形的一個外角大于任意一個與其不相鄰的內角）矛盾。

所以假設不成立，即AB、CD在B、D方向不能相交。

同理AB、CD在A、C方向也不能相交。

所以AB∥CD。（平行線的定義）

上述證明過程中用到了第一卷中已證明的命題16：三角形的一個外角大于任意一個與其不相鄰的內角。這個命題在《幾何原本》中如何得到呢？

已知：△ABC為任意三角形，延長BC至D。

求證：∠ACD大于∠CBA或∠BAC。

證明：在AC上取一點E，使得AE=EC，連接BE，并延長至點F，使得EF=BE，延長AC至G。

因為∠AEB=∠FEC（已證的命題15：對頂角相等），AE=EC，BF=EF。

所以△ABE≌△CFE（已證明的命題4：如果兩個三角形的兩條對應邊及其夾角相等，那么它們的第三邊也相等，這兩個三角形全等，其對應角也相等）。

所以∠BAE=∠ECF。

又因為∠ECD＞∠ECF（公理5：整體大于部分），

所以∠ACD＞∠BAE。

同理可以證明∠BCG＞∠ABC。

因為∠ACD=∠BCG（已證的命題15：對頂角相等），

所以∠ACD＞∠ABC。

在這個命題中又應用了第一卷中已經證明的命題4 和命題15。而命題4和命題15 的證明又分別用到了公理和公設以及其他已證命題。

由此可見，歐幾里得在《幾何原本》中創造了一個完整的邏輯演繹體系，建立了歷史上第一個數學公理體系，即用公理、公設和定義的推證方法；創造了幾何證明的方法，即分析法、綜合法和反證法。《幾何原本》是人類歷史上的一部偉大的科學巨作，其公理化思想后來被廣泛運用到社會的各個領域。