平行板電容器的尺寸效應

曹小鴿，楊 楊

(1. 西安交通大學城市學院 電信系，陜西 西安 710018；2. 西安交通大學城市學院 物理教學部，陜西 西安 710018)

對于真空中的極板面積為S、極板間距為d的平行板電容器，教科書中給出的電容公式為

(1)

其中的ε0是真空電容率.在推導這個公式時，需假定兩個極板相距很近，忽略其邊緣效應，將兩個極板近似為無限大帶電平面，兩個極板之間形成的是勻強電場，從而得到式(1).但實際的平行板電容器的大小終究是有限的，極板間的電場也并不是理想的勻強電場，故其電容和C0會有一定的偏差.目前計及邊緣效應的平行板電容器的研究已有很多.文獻[1-3]研究了一邊有限寬、另一邊無限長的長方形極板的情形，文獻[4,5]則研究了正方形極板的情形，這些研究均基于Schwarz-Christoffel變換.文獻[6]用有限元仿真的方法研究了圓極板的情形，文獻[7]也給出了少量的數值結果.本文分別對圓形極板和矩形極板的平行板電容器做了近似計算與有限元仿真，研究其電容隨尺寸大小變化的規律，即所謂尺寸效應.

1 平行圓形板電容器的尺寸效應

考慮一個真空中的平行圓形板電容器，極板半徑為R，極板間距為d.建立如圖1所示的坐標系，下極板在xy平面內，原點為下極板的中心，上極板在z=d平面內，z軸為兩極板的中軸線.

圖1 平行圓形板電容器

(2)

帶負電的上極板在中軸線上產生的場強方向也沿著z軸的正方向.若場點距下極板為z，則其距上極板為d-z，根據場強疊加原理，兩極板間中軸線上z處的總場強為

(3)

將場強沿中軸線積分，可得兩極板間的電勢差為

(4)

根據定義，平行圓形板電容器的電容為

(5)

將分母有理化，整理可得

(6)

圖2 平行圓形板電容器的f隨d/R變化的曲線

注意，式(6)是根據電荷在極板上均勻分布這一假設而導出的.實際上，由于邊緣效應，電荷不可能是嚴格的均勻分布，式(6)仍然是一個近似的結果.接下來我們用Ansoft軟件進行仿真，并將結果與式(6)比較.設定圓形極板的半徑R=50 mm，厚度為0.1 mm，材質為銅，兩極板上所帶電荷分別為±1×10-5C，極板間為真空.給定極板間距d后，即可用有限元法算出兩極板間的場強分布和電勢分布，進而得到兩極板間的電勢差，最終根據定義求出實際電容.我們改變極板間距d，算出相應的電容，將結果繪制到圖2中(○號).文獻[7]中給出了圓形板電容器的5組數據，也繪制到圖2中(△號)作為參考.此外，圓形板電容器的電容還可用克希霍夫公式[4]近似描述，即

(7)

我們也將相應結果繪制到圖2中(虛線).可見，當d/R較小時，仿真結果與文獻[7]的數據以及克希霍夫公式符合得很好.仿真結果表明，f確實隨d/R的增大而增大，其數值比均勻帶電近似的結果為大.通過比較可知，我們采用均勻帶電近似導出的結果能正確地反映電容隨尺寸變化的趨勢，較之C0更為精確，但與實際電容相比仍偏小.當d/R較小時，均勻帶電近似的精度不及克希霍夫公式；當d/R大到一定程度后，均勻帶電近似的精度會優于克希霍夫公式.

圖3所示是d=30 mm時圓極板內側表面附近的場強E隨極板半徑r的變化關系，而表面附近的場強和極板上的電荷面密度成正比，所以曲線也反映了電荷面密度的變化趨勢.根據圖3所示，在r<35 mm的區域內，電荷近似為均勻分布；在35 mm

圖3 圓極板內側表面附近的場強隨極板半徑的變化關系

2 平行矩形板電容器的尺寸效應

考慮一個平行矩形板電容器，矩形極板的兩個邊長分別為a和b，極板間距為d.建立如圖4所示的坐標系，下極板在xy平面內，x軸和y軸分別與下極板的兩條邊平行，原點在下極板的中心，上極板在z=d平面內，z軸為兩極板的中軸線.

圖4 平行矩形板電容器

(8)

帶負電的上極板在中軸線上的場強方向也沿z軸正方向.和圓極板的情形類似，根據場強疊加原理，兩極板間中軸線上z處的場強為

(9)

將場強沿中軸線積分，可得兩極板之間的電勢差為

(10)

根據定義，可求出平行矩形板電容器的電容為

(11)

(12)

這個積分無法求出解析形式，只得作數值計算.矩形極板的對稱性不及圓形極板，我們定義這樣一個無量綱的相對尺寸參數:

(13)

圖5 平行矩形板電容器的f隨s變化的曲線

注意，式(12)是一個無量綱的積分，其中的被積函數是關于x′和y′對稱的，把參數s代入該式的兩個積分上限可得

(14)

由于邊緣效應，電荷在極板上不可能是嚴格的均勻分布，式(11,12)只是近似的結果.接下來我們用Ansoft軟件進行仿真，并與均勻帶電近似的結果比較.我們把矩形極板的邊長分別設定為均勻帶電近似中的4組數值，極板厚度為0.1 mm，材質為銅，兩極板上所帶電量為±1×10-5C，極板間為真空.我們改變極板間距d，求出相應的電容，將結果繪制于圖5中.仿真結果表明，f確實隨s的增大而增大，其數值比均勻帶電近似的結果為大，而且仍然是c越大的曲線越低.通過比較可知，我們采用均勻帶電近似導出的結果能正確地反映電容隨尺寸變化的趨勢，較之C0更為精確，但與實際電容相比仍偏小.實際電容較大的原因在于極板上的電荷分布中間少、邊緣多，和圓極板的情形是類似的.

3 結論

本文研究了平行圓形板和矩形板電容器的電容隨其尺寸變化的規律.我們一方面假設極板上的電荷均勻分布作近似計算，另一方面用Ansoft軟件作有限元仿真，并將兩種結果進行對比.均勻帶電近似的計算較簡便，而且能夠正確地反映電容的變化趨勢，尤其是圓形板情形還得出了解析式.有限元仿真得到的電容更大，原因在于極板上的電荷分布中間少、邊緣多.本文的結果對靜電場部分的教學有參考價值，對平行板電容器的制作也有一定的理論指導意義.