卷積型非粘滯阻尼結構隨機地震動系列響應求解的虛擬激勵法

李創第 賀王濤 葛新廣

摘? 要：針對卷積型非粘滯阻尼結構在平穩激勵下的隨機地震系列響應功率譜，提出了顯式表達式.非粘滯阻尼模型其核函數卷積形式多采用指數型核函數，將其精確轉化為微分型本構關系，便于與結構動力系統進行解耦分析.首先重構非粘滯阻尼結構的地震動方程，運用復模態法對體系進行解耦，獲得結構廣義坐標表示的一階狀態方程;然后，利用虛擬激勵法，獲得了結構系列響應（各層相對于地面位移及層間位移）功率譜的統一顯式表達式;最后，通過多自由度算例驗證了本文方法的正確性與簡潔性，為大型復雜的實際工程響應分析提供了新的路徑.

關鍵詞：非粘滯阻尼;隨機激勵;復模態法;虛擬激勵法;顯式表達式

中圖分類號：TU318? ? ? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.01.012

0? ? 引言

阻尼是用來描述結構在振動過程中能量耗散的關鍵參數，阻尼作用機理較為復雜，因此，眾多阻尼模型先后被提出[1-2].其中粘滯阻尼模型認為阻尼力與速度成正比，模型簡單而應用廣泛，但實際上結構動力系統總是存在滯后現象，粘滯阻尼模型不能有效模擬滯后現象.Biot[3]首先提出考慮滯后效應的阻尼模型，該模型中阻尼力與質點速度的時間歷程相關，在數學形式上用質點速度同某一確定性核函數的卷積形式，并通過核函數形式的不同能描述不同機制的阻尼作用，與粘滯阻尼模型相比更具有一般性，故稱之為非粘滯阻尼模型.段忠東等[4]利用拉普拉斯變換對非粘滯阻尼模型阻尼系數識別進行研究，研究表明非粘滯阻尼模型在描述結構耗能方面更具有一般性.Liu[5-6]對時程激勵下非粘滯阻尼結構的動力響應分析進行了研究，指出非粘滯阻尼特征是許多工程結構地震耗能的主要形式.然而，非粘滯阻尼耗能結構的動力響應分析的文獻較少，且僅限于時程激勵下的分析.而大量的地震動觀測資料研究表明，地震動具有顯著的隨機性，且影響因素很多，為此，工程界提出了多種隨機地震動模型，Kanai-Tajimi地震動激勵模型、胡聿賢地震動激勵模型、歐進萍地震動激勵模型、杜修力地震動激勵模型等.其中Kanai-Tajimi地震動激勵模型[7-8]由日本學者提出，而其他地震動激勵模型均是在該模型的基礎上做出修正而來，因此，基于Kanai-Tajimi譜的非粘滯阻尼結構地震動響應的分析研究具有工程應用及理論價值.

研究結構隨機地震動響應[9]的方法主要有頻率響應法和脈沖響應法.兩種方法各有特點.復模態法[10-11]是時域法的典型代表方法.然而，目前時域法基于Kainai-Tajimi的地震動響應分析所得結果均較為復雜[12-14].虛擬激勵法[12-15]和傳遞函數法[16]則是頻域法的典型代表，特別是虛擬激勵法，極大地提高了計算效率.李創第等[12-13]采用虛擬激勵法，將非平穩隨機地震激勵化為確定性荷載，利用擴階法得到系統狀態方程;給出了系統響應的精細積分解析解.王偉東等[14]利用高效的虛擬激勵法和精細積分算法分析非平穩隨機激勵下的移動手臂動態響應的算法.以上都是虛擬激勵法與精細積分法相結合進行響應分析，所得結果較為復雜.目前虛擬激勵法將隨機激勵化為確定性荷載，對于多自由度結構在分析功率譜時采用矩陣運算，具體結構響應表達式不明確，研究基于虛擬激勵法的結構響應的顯式表達式對于進一步提高分析效率具有重要意義.

本文就卷積型非粘滯阻尼結構隨機地震動系列響應（各層相對于地面位移及層間位移）的顯式表達式進行了研究，首先獲得了多自由度結構非粘滯阻尼的等效微分本構關系;其次重構了非粘滯阻尼結構的地震動方程，運用復模態法對其解耦，獲得結構體系廣義坐標的一階微分方程組.然后利用虛擬激勵法獲得了結構響應頻域的顯式表達式，并給出了結構各層相對于地面位移及層間位移功率譜的統一簡明顯式表達式.通過右特征向量矩陣[U]的不同行的響應模態[ui]或[ui-ui-1]來獲得某一層或者某一層間位移（層間速度）的功率譜.避免了矩陣之間的運算，提高了分析效率.

1? ?非粘滯阻尼結構地震動方程重構

如圖1所示，該結構為[m]層的線性結構，? ? ?式（1）為結構運動微分學的運動方程：

5? ? 算例

建立在7度區二類場地上的3層框架結構，框架結構層質量分別為：第1、2層結構質量均為[m=5×105 kg]，第3層結構質量[m=3×105 kg].各層的結構剛度分別為：第1、2層結構剛度均為[k=2×109 N/m]，第3層結構剛度[k=8×108 N/m].各層阻尼[c=2×106 N·s/m];本文非粘滯阻尼核函數[Gt]采用雙指數形式（兩分支） [Gt=α1e-α1t+α2e-α2t]，[α1=125 s-1]，[α2=255 s-1].地震動激勵采用Kanai-Tajimi譜，其參數取值：場地阻尼比為[ξg=0.72]，其特征頻率為[ωg=15.71] rad/s，Kanai-Tajimi譜的激勵功率譜中強度因子[S0=31.76×10-4 m2/s3].

5.1? ?地面位移功率譜對比分析

傳統方法中，非粘滯阻尼多自由度耗能結構位移功率譜[Sxω]的表達式為：

由式（20）、式（32）可得本文方法與傳統方法中結構1—3層位移響應的功率譜密度函數對比圖，對比積分區間范圍[0， 50]，頻率積分間距為2 [rad/s]，兩者完全吻合，說明了本文方法計算結構響應功率譜密度函數的正確性，如圖2—圖4所示.

5.2? 本文方法與傳統方法結構響應及響應譜矩計算對比

根據式（21）、式（32）可得;傳統方法下各層結構0—2階響應譜矩[βi]的計算如下：

由式（33）—式（35）可得傳統虛擬激勵法下結構位移0—2階響應譜矩，式（22）—式（24）可得本文方法下結構各層位移0—2階響應譜矩，式（25）—式（27）可得本文方法下結構各層間位移0—2階響應譜矩.根據結構響應譜矩與響應方差的關系，由式（28）、式（29）可得各層結構響應方差，式（30）、式（31）可得結構各層間位移的響應方差.虛擬激勵法采用數值積分在[[0， ∞）]區間進行積分求解是很難實現的，根據功率譜密度函數可知，隨著頻率的增大功率譜數值越來越小，因此，本文算例積分區間取值范圍為[0， 10 000]，頻率積分間距為0.5 [rad/s]，兩種方法計算結構響應方差及響應譜矩結果如表1、表2所示;各層間位移響應方差與層間位移響應譜矩如表3所示.

由表1、表2對比分析可知，通過改進虛擬激勵法與傳統虛擬激勵法得到的結構響應方差及0—2階響應譜矩的計算結果基本相同，更進一步驗證了本文方法的正確性.

基于同一CPU耗時對比：結構響應方差及響應譜矩的計算效率對比，表1本文方法耗時 [t1=0.041 s]，表2傳統方法耗時[t2=0.295 s]，傳統方法耗時約為本文方法耗時的7倍.通過兩者對比可知本文方法效率更高.

6? ? 結論

針對傳統虛擬激勵法下進行多自由度非粘滯阻尼耗能結構響應分析時，響應值采用復雜矩陣運算效率低，同時，不能針對具體響應給出顯式表達式，不利于工程應用的問題，提出了結構響應顯式表達式，獲得如下結論：

1）非粘滯阻尼模型采用指數型核函數時，利用核函數的卷積形式表示結構的耗能部分，其具有精確等效的一階微分方程組，便于利用復模態方法進行動力系統的精確解耦分析.

2）運用復模態法，對平穩激勵下的重構后的卷積型非粘滯阻尼多自由度耗能結構微分型本構方程組進行解耦，得到廣義坐標的一階微分狀態方程組，然后利用虛擬激勵法獲得了結構響應頻域的顯式表達式，即將結構的某一響應表示成復振動特征值的線性組合，避免了復雜的矩陣運算，通過響應方差及0—2階響應譜矩計算對比，本文方法計算效率更高.

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