基于貝葉斯方法的蘭利法測試引信解除保險距離數(shù)據(jù)處理

趙新， 紀(jì)永祥， 劉社鋒， 陳眾， 寧小磊

(中國華陰兵器試驗(yàn)中心， 陜西 華陰 714200)

0 引言

引信作為彈藥的控制起爆部件，其能否在指定距離內(nèi)解除保險，關(guān)系到己方人員安全及對敵毀傷效果。因此，在引信科研及靶場試驗(yàn)中解除保險距離都作為考核引信安全性的重要指標(biāo)，受到高度重視。蘭利法由于其試驗(yàn)樣本量較小、彈藥消耗少的特點(diǎn)，作為現(xiàn)階段主要的解除保險距離試驗(yàn)方法之一，得到了廣泛的應(yīng)用[1]。蘭利法采用變步長操作程序，可以估計(jì)得到50%發(fā)火距離。由于蘭利法原理造成了估計(jì)方差誤差大、試驗(yàn)條件和試驗(yàn)設(shè)計(jì)的不一致導(dǎo)致多次試驗(yàn)后均值有偏差，因此蘭利法無法得到針對某次試驗(yàn)的精準(zhǔn)解除保險距離方差，也無法修正由于試驗(yàn)環(huán)境不一致造成的均值偏差。文獻(xiàn)[2]對數(shù)據(jù)的仿真能夠提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度，但是在某次試驗(yàn)中產(chǎn)生的試驗(yàn)偏差，無法通過數(shù)據(jù)的仿真進(jìn)行處理。文獻(xiàn)[3]提出利用修正系數(shù)對方差進(jìn)行修正，提高了蘭利法測試引信解除保險距離的準(zhǔn)確性，但同時也對試驗(yàn)條件和試驗(yàn)設(shè)計(jì)提出了更高的要求。

本文使用的貝葉斯方法[4-8]充分利用了樣本信息和參數(shù)的先驗(yàn)信息，在進(jìn)行后驗(yàn)分布估計(jì)時，通過樣本信息對先驗(yàn)分布的更新，得到具有時效性的后驗(yàn)分布。在引信試驗(yàn)中，單次試驗(yàn)的蘭利法容易產(chǎn)生誤差，使解除保險距離有較大誤差。而貝葉斯方法處理蘭利法在各種摸底試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)，不斷將試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)數(shù)據(jù)代入下次試驗(yàn)中，更有效地避免了誤差，還原產(chǎn)品最真實(shí)的解除保險特性，得到更為準(zhǔn)確的解除保險距離均值和方差。

1 蘭利法原理及數(shù)據(jù)仿真

1.1 蘭利法原理

蘭利法主要是用于估計(jì)具有50%響應(yīng)概率的激勵值點(diǎn)，假定激勵值與響應(yīng)概率關(guān)系曲線可用累積正態(tài)分布描述，因此，蘭利法的目的是估計(jì)均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ. 并通過均值和方差的估計(jì)，得到正態(tài)分布中任意點(diǎn)xp的概率[9]。

1.2 蘭利法試驗(yàn)程序

首先，選擇上、下試驗(yàn)極限，使得上限全響應(yīng)，下限無響應(yīng)。分別稱這兩個激勵值為xU和xL. 第1次激勵值x1為xL、xU的平均值[10]：

x1=(xU+xL)/2.

(1)

若x1點(diǎn)響應(yīng)，則x2為

x2=(x1+xL)/2；

(2)

若x1點(diǎn)未響應(yīng)，則x2為

x2=(x1+xU)/2.

(3)

往后試驗(yàn)的一般規(guī)則為

xk+1=(xk+x′)/2，

(4)

式中：x′為第k次試驗(yàn)反向統(tǒng)計(jì)響應(yīng)結(jié)果，出現(xiàn)相同數(shù)目的響應(yīng)和不響應(yīng)時的激勵。如果這種情況不存在，則作為近似，可采用xk激勵值與xL或xU的均值。如果xk不響應(yīng)，采用與xU求均值；否則，采用xL. 選擇停止規(guī)則為發(fā)射指定枚彈藥或者經(jīng)過含有混合結(jié)果區(qū)的5次響應(yīng)變換[11]。

2 貝葉斯方法優(yōu)化及仿真

2.1 貝葉斯方法基本原理

任一未知量θ都可以看作隨機(jī)變量，可以用一個概率分布去描述對θ的未知情況，這個概率分布是在抽樣前就有的關(guān)于θ先驗(yàn)信息的概率陳述，這個概率分布被稱為先驗(yàn)分布。樣本信息，即從總體抽取的樣本提供的信息，在獲得樣本x=(x1,x2,…,xn)之后，總體分布、樣本與先驗(yàn)分布通過貝葉斯公式結(jié)合起來得到一個關(guān)于未知量θ的新分布——后驗(yàn)分布。任何關(guān)于θ的統(tǒng)計(jì)推斷都應(yīng)該基于θ的后驗(yàn)分布進(jìn)行。例如只知道某件事的0≤θ≤1，而不知道θ的確實(shí)值，現(xiàn)在對某件事觀察n次，以x=(x1,x2,…,xn)記事件出現(xiàn)的次數(shù)，要作的就是根據(jù)樣本x對θ進(jìn)行推斷。根據(jù)先驗(yàn)分布與樣本信息來得到后驗(yàn)分布這個過程，較為符合人們認(rèn)識一般事物的過程[12]：

(5)

總體而言，先驗(yàn)分布π(θ)反映的是抽樣前對θ的認(rèn)識，后驗(yàn)分布π(θ|x)反應(yīng)的則是抽樣后對θ的認(rèn)識。其差異是由于樣本x出現(xiàn)后對θ認(rèn)識的一種調(diào)整。因此后驗(yàn)分布π(θ|x)可以看作是用總體信息和樣本信息對先驗(yàn)分布π(θ)作調(diào)整的結(jié)果[13]。用框圖表示貝葉斯方法如圖1所示。

圖1 貝葉斯方法原理示意圖Fig.1 Principle diagram of Bayesian method

2.2 貝葉斯信息確定

在蘭利法試驗(yàn)中，獲得一組樣本觀察值x=(x1,x2,…,xn)，它服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)，μ未知，σ2未知。另由以前試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)蘭利法試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布，并且此前蘭利法試驗(yàn)符合N(θ,t2)，其中均值θ、方差t2已知。本次試驗(yàn)設(shè)計(jì)的未知參數(shù)為μ、σ2. 同時，文獻(xiàn)[14]蘭利法正態(tài)分布均值和方差的先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)分布，先驗(yàn)分布為正態(tài)- 倒伽瑪分布。由于樣本信息服從正態(tài)分布，先驗(yàn)分布服從正態(tài)- 倒伽瑪分布，故可通過上述信息求解后驗(yàn)分布。

樣本的聯(lián)合密度函數(shù)[15]為

(6)

聯(lián)合先驗(yàn)密度函數(shù)為

(7)

將上述(6)式密度函數(shù)乘以(7)式先驗(yàn)密度函數(shù)，可得到后驗(yàn)密度函數(shù)核：

(8)

式中：

(9)

令

(10)

(8)式通過(9)式和(10)式簡化，可得

(11)

由(7)式與(11)式對比可知，應(yīng)用的正態(tài)- 倒伽瑪分布作為先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布形式一致。

把聯(lián)合后驗(yàn)密度為σ2積分可得μ的邊緣后驗(yàn)密度：

(12)

利用倒伽瑪密度函數(shù)的正則性，可得

(13)

由(13)式可以發(fā)現(xiàn)其為自由度υn的t分布，其期望和方差為E(μ)=μn.

2.3 先驗(yàn)分布參數(shù)確定

在引信產(chǎn)品的研制過程中，技術(shù)狀態(tài)固化后至少要經(jīng)歷工程樣機(jī)和性能鑒定等試驗(yàn)階段，確保引信的性能滿足使用要求。引信的延期解除保險距離和解除保險距離試驗(yàn)是引信安全性的基礎(chǔ)，在各階段試驗(yàn)中都要進(jìn)行，因此利用蘭利法進(jìn)行引信延期解除保險距離和解除保險距離試驗(yàn)在引信的研制過程中至少要進(jìn)行2次。在工程樣機(jī)試驗(yàn)時進(jìn)行的試驗(yàn)可以作為一次有效樣本，利用其解算先驗(yàn)分布。

(14)

樣本聯(lián)合密度函數(shù)為

(15)

首先求邊緣分布m(x)。將(14)式與(15)式相乘后求積分，可得

(16)

由(16)式可得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

本文采用仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別驗(yàn)證貝葉斯方法在蘭利法測試引信解除保險距離試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性。因?yàn)樵诠こ虡訖C(jī)和性能鑒定試驗(yàn)中，蘭利法測試引信解除保險距離試驗(yàn)樣本量一般為20發(fā)，所以本文采用的樣本量為20發(fā)，通過對后驗(yàn)分布信息求解來反映貝葉斯方法的可行性。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)采用文獻(xiàn)[3]的正態(tài)分布N(50,102)，實(shí)驗(yàn)樣本量n=20的情況。以標(biāo)準(zhǔn)值作為對比實(shí)驗(yàn)樣本信息，通過模擬產(chǎn)生3組初始樣本信息和實(shí)驗(yàn)樣本信息。仿真實(shí)驗(yàn)情況如表1所示。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)情況對比

3.2 現(xiàn)場試驗(yàn)

在某型引信技術(shù)狀態(tài)固定后，工程樣機(jī)試驗(yàn)中蘭利法解除保險距離試驗(yàn)結(jié)果為N(46.55,1.972)、樣本量為20，靶場性能鑒定試驗(yàn)中蘭利法解除保險距離試驗(yàn)結(jié)果為N(47.89,5.992)、樣本量為20，通過兩次試驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在已知條件不變的情況下，方差變化比較大。利用工程樣機(jī)試驗(yàn)結(jié)果作為初始試驗(yàn)樣本信息，性能鑒定試驗(yàn)結(jié)果作為試驗(yàn)樣本信息，運(yùn)用貝葉斯方法處理相關(guān)數(shù)據(jù)，獲得現(xiàn)場試驗(yàn)和處理后數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 現(xiàn)場試驗(yàn)和處理后數(shù)據(jù)

3.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

通過上述仿真實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)場試驗(yàn)兩部分?jǐn)?shù)據(jù)，應(yīng)用貝葉斯方法對其進(jìn)行處理?？梢园l(fā)現(xiàn)表1中貝葉斯方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，能夠有效地減小方差誤差，達(dá)到較高的精度；由于蘭利法本身對均值的估計(jì)為無偏估計(jì)，故在數(shù)據(jù)處理后與數(shù)據(jù)處理前均值與標(biāo)準(zhǔn)均值的誤差都較小。表2是某型引信現(xiàn)場試驗(yàn)的結(jié)果分析。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，兩次試驗(yàn)均值結(jié)果不如仿真試驗(yàn)均值的一致性好。每次現(xiàn)場試驗(yàn)條件不能完全與理論條件相一致或保證相對一致，因此造成了相對誤差，貝葉斯方法通過把兩次試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合處理，使其相對一致或更接近理論條件值；在表2蘭利法試驗(yàn)數(shù)據(jù)中方差變化比較大，運(yùn)用貝葉斯方法能夠抑制方差的偏差，同時減小相對條件的影響。

4 結(jié)論

本文利用貝葉斯方法處理蘭利法測試引信解除保險距離試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過先驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得先驗(yàn)信息和超參數(shù)，再根據(jù)先驗(yàn)信息建立方差的貝葉斯后驗(yàn)?zāi)Ｐ?，提高了方差的精度。通過仿真和現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理兩種方式，能夠發(fā)現(xiàn)貝葉斯方法在處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，可改進(jìn)蘭利法本身對方差精度的影響，使方差精度提高20%左右，在均值精度不變的情況下，減小了估計(jì)引信解除保險距離95%點(diǎn)、5%點(diǎn)的誤差，將誤差控制在5%以內(nèi)。同時，能夠?qū)υ囼?yàn)條件造成試驗(yàn)結(jié)果不一致的情況進(jìn)行修正，減小條件誤差對均值和方差的影響，使其結(jié)果相對一致，達(dá)到不因某次試驗(yàn)誤差導(dǎo)致產(chǎn)品性能參數(shù)發(fā)生改變的目的。通過貝葉斯方法處理蘭利法測試引信解除保險距離數(shù)據(jù)，能夠達(dá)到給出更為精準(zhǔn)的解除保險距離，為部隊(duì)使用提供更為準(zhǔn)確的安全性能和最小攻擊距離信息。綜上所述貝葉斯方法在蘭利法引信解除保險距離測試中應(yīng)用是可行的。同時，本方法在其他敏感參數(shù)測試中也可應(yīng)用。