高山河谷地形下采空區頂板變形及其影響因素分析

孫麗軍 葉義成 胡南燕 姚 囝 李鵬程 鄧興敏

（1.中鋼集團馬鞍山礦山研究總院股份有限公司，安徽 馬鞍山 243000；2.武漢科技大學資源與環境工程學院，湖北 武漢 430081；3.湖北省工業安全工程技術研究中心，湖北 武漢 430081）

我國中西部地區礦產資源豐富，但區域內高山、河谷地形交錯分布，導致地下采空區頂板出現宏觀礦壓顯現不對稱、傾向斷裂位置不明確等諸多問題［1］。因此掌握高山河谷地形下頂板變形規律對控制此類采場的礦壓及圍巖穩定性具有重要的現實意義［2-4］。

高山河谷地形下采空區頂板受非均布荷載作用，目前眾多學者探究非均布荷載作用下層狀頂板變形規律，多是采用“梁”理論進行分析，如來興平等［5］基于梁式理論建立了急傾斜工作面頂板的非均布荷載力學模型，分析得到頂板最大沉降點位于中部偏上區域；刑望等［6］基于梁理論分析了采高、工作面長度等因素對頂板最大撓度點位置的變化關系；陳曉祥等［7］建立了非均布荷載下頂板簡支梁力學模型，揭示了包括頂板傾斜角度在內的5種因素對頂板下沉的影響規律；馮強等［8］基于彈性地基梁理論獲得了巖梁撓度解析表達式；趙明華、張文靜［9-10］等通過簡支梁理論分析了不同非均布荷載條件下頂板的變形特征。但將頂板簡化為二維梁結構后不能完全反映頂板在走向與傾向上的變形特征［11］，因此也有學者指出將頂板視為彈性薄板進行分析，如黃滾、尹光志等［12，13］運用 Navier雙三角級數求解了非均布荷載條件下四邊簡支薄板的撓度解析式；屠洪盛等［1］基于薄板理論揭示了頂板在上覆非均布荷載和充填矸石共同作用下頂板撓曲變形特征。但這些研究僅通過板理論求解了頂板的撓度方程，未系統地研究非均布荷載作用下不同因素對頂板變形特征的影響規律，而且針對高山河谷地形下采空區頂板變形的研究也鮮有報道。

以宜昌某磷礦為研究對象，通過分析高山河谷地形下采空區頂板的受力特征，構建非均布荷載頂板力學模型，基于薄板小撓度彎曲理論，采用Levy單三角級數法推導出高山河谷地形下頂板撓度方程，并據此研究不同因素對頂板最大撓度及其位置的影響規律，以期為高山河谷地形下采空區頂板支護設計提供理論依據。

1 采空區頂板力學模型構建

1.1 工程概況

宜昌某磷礦南礦塊屬典型的高山河谷地形下礦床，所處地形屬山地地貌［14］，地表最大高差約260 m，且地表有常年性河流經過礦體正上方，見圖1。整個地質體結構為單斜構造。礦體埋深在140～400 m之間，礦體走向長2.1 km，平均傾角10°，平均厚度3.09 m，屬于典型淺埋緩傾斜薄礦床。礦層及圍巖以碳酸鹽巖為主，直接頂板為含磷白云巖，平均厚度3 m，底板為含鉀頁巖，平均厚度6 m，研究區可采礦體的賦存情況如圖1所示。

1.2 力學模型構建

開采高山河谷地形下緩傾斜薄礦體時，一般在河流正下方設置河流保安礦柱，因此高山河谷地形下的采空區主要位于傾斜的谷坡下。設頂板所受荷載由上覆巖層重力提供，忽略礦體傾角與水平應力的影響，通過簡化谷坡地形可將上覆荷載視為梯形非均布荷載。依據薄板的基本假設，由圖1可知，直接頂的厚度為3 m，設空區尺寸一般在15 m以上，頂板厚度h與頂板的短邊長度L滿足。采空區頂板四周均留設有原巖礦柱，邊界各點撓度為0，設采空區頂板的邊界條件為四邊簡支，構建如圖2所示力學模型。為方便計算，一般將梯形荷載分解為一個三角形荷載分量q（y）和均布荷載分量q0［15］。

2 頂板變形撓度方程求解

四邊簡支薄板需滿足如下邊界條件：

基于薄板小撓度彎曲理論的3個基本假設，依據彈性理論空間問題平衡、微分方程式、物理方程式及幾何方程式，薄板的彈性曲面微分方程滿足：

2.1 三角形荷載頂板撓度解

Navier雙三角級數與Levy單三角級數是求解薄板彎曲微分方程的2種經典解法。從2種解法的解析表達式可以看出，Navier解法一般適用于均布荷載條件下的四邊簡支薄板，即荷載關于薄板幾何中心對稱，而Levy適用于條件更一般的四邊簡支薄板［16］。

由高山河谷地形下頂板的受力特征可知，三角形荷載關于x=a/2軸對稱，頂板沿y軸呈線性函數遞增，更適用于Levy單三角級數解法。因此將薄板的撓度函數展開成單三角級數形式，得到三角形荷載下頂板撓度表達式：

其中，Ym是關于y的任意函數；m為正整數。顯然級數式（3）能滿足式（1）中x=0及x=a兩邊的邊界條件。

因此，只需選擇函數Ym，使式（3）能同時滿足式（2）和式（1）中y=0及y=b兩邊的邊界條件?，F將式（3）代入式（2），得

將式（4）右邊的q(x,y)/D展為的級數，由傅里葉級數展開公式得

與式（4）左側對比，可見有

解得非齊次方程（6）的通解為

式中，fm(y)是非齊次微分方程（6）的一個特解；前4項是相應齊次方程的通解，系數Am，Bm，Cm，Dm是待定常數，決定于y=0及y=b兩邊的邊界條件。將式（7）代入式（3），即得撓度w的表達式：

現只考慮沿y軸方向的非均布荷載下頂板撓度變形，即q(x,y)是關于y的函數，與x無關，則

于是微分方程（6）的特解可以取為

根據式（1）中與y相關的4個邊界條件構建4個方程，可以確定出4個未知數。

分類討論，當m=1，3，5，…時

因此，當m=1，3，5，…時，求出的系數為有效解，將其代入式（8），得出三角形荷載下頂板撓度w1：

2.2 均布荷載頂板撓度解

文獻［16］基于Levy單三角級數求解了坐標原點位于（0，0.5b）處的均布荷載頂板撓度解析式，轉換成與2.1節相同的坐標系，即將y坐標向下平移0.5b，得

2.3 非均布荷載頂板撓度解

根據頂板撓度可疊加原理，得到高山河谷地形下采空區非均布荷載頂板撓度方程：

對式（13）頂板撓度方程求偏導，即可得到頂板的最大撓度及最大撓度點坐標，且在計算過程中，一般地取m=1即可滿足工程實際的精度要求［12］。

3 頂板變形影響因素分析

從式（11）和式（12）可以看出，影響高山河谷地形下頂板變形的主要因素有頂板自身特性（其中包括彈性模量E、厚度h、泊松比υ等）、頂板所受非均布荷載特征和采空區尺寸。現有研究頂板自身特性對頂板變形的影響規律方面的成果［17-19］已比較成熟，不再贅述。非均布荷載特征對頂板變形的影響主要體現在三角形荷載的傾角θ和均布荷載分量q0值，結合高山河谷地形的具體情況分析，其谷坡傾角范圍一般為15°～75°，淺埋緩傾斜礦體的均布荷載分量取值范圍為0～4 MPa。此外，分析式（12）與式（13）可知，走向長度a與傾向長度b的比值對計算結果影響較大，令傾向長度為60 m，通過改變走向長度實現a/b值的變化，其變化范圍為0.25～4。參考宜昌某磷礦頂板力學參數進行計算，見表1。

3.1 谷坡傾角θ

為了探究高山河谷地形谷坡傾角對頂板變形的影響規律，控制頂板走向與傾向長度均為60 m，均布荷載分量q0=2 MPa，分別設計θ=15°、30°、45°、60°、75°5個水平；其中非均布荷載分量q(y)與谷坡傾角的關系為

將式（14）代入式（11）即可得出頂板撓度函數。圖3為傾角θ=75°時的頂板變形特征。

由圖3可以看出，求解出的頂板撓曲面符合頂板的邊界條件及連續條件，且頂板最大撓度為478.92 mm，位于（30，31.82），即在走向上位于跨中，但傾向上逐漸向高山側偏移。

圖4為不同谷坡傾角下頂板變形特征，當谷坡傾角由15°增大到45°時，頂板最大撓度由216.62 mm緩慢增加到271.86 mm。當傾角繼續增大后，頂板最大撓度增速越來越明顯，且當傾角為75°時，頂板最大撓度達到478.92 mm，分析認為出現這種變化趨勢是由于采空區頂板上覆累積荷載量的變化導致的，此處定義為傾角荷載累積效應。

圖 5 中S1、S2、S3、S4、S5為傾角每增加 15°后的荷載增加量，由圖可知，當傾角在15°～45°之間時，荷載增加量S1、S2、S3緩慢增加，當傾角大于 45°后，荷載增加量S3、S4、S5變化越來越明顯。因此會出現隨著傾角的增大，頂板最大撓度先緩慢增加再急劇增加的特征。隨著傾角從15°增加到75°，最大撓度點位置逐漸向高山側偏移，偏移量范圍在0.505b～0.53b之間，可認為谷坡傾角對頂板最大撓度點位置影響較小。

3.2 頂板兩向長度比a/b

為了探究采空區頂板兩向長度比對頂板變形的影響規律，分別設計a/b=0.25、0.5、1、2、4 5個水平，控制河谷傾角為60°，均布荷載分量q0=2 MPa，頂板傾向長度b=60 m，則采空區走向長度分別為15 m、30 m、60 m、120 m、240 m，代入式（13）得出頂板撓度函數。

圖6為頂板兩向長度比a/b=0.25時的頂板變形量，由圖可知，頂板最大撓度點位于（7.5，40.98），已嚴重偏離傾向跨中位置，但由于走向上采空區跨度較小，使得頂板最大撓度僅4.34 mm。

從圖7中可以看出，頂板最大撓度值隨a/b值的增加呈“S”形趨勢遞增，當0.25＜a/b＜0.5時，頂板最大撓度受采空區走向尺寸的影響，此時采空區走向尺寸在15～30 m之間，頂板最大撓度值變化緩慢；當0.5＜a/b＜1時，頂板最大撓度值增加速度變快；當a/b＞1時，采空區傾向尺寸為薄板的短軸，頂板最大撓度值主要受傾向尺寸的影響，由于傾向尺寸保持為60 m不變，因此頂板最大撓度值開始緩慢減小，最終增加速度趨于平穩。

從頂板最大撓度點位置變化趨勢來看，頂板最大撓度點位置隨著a/b值的增加逐漸向跨中偏移，且偏移速度先快后慢，且變化范圍較大，其位置在0.508b～0.683b之間，說明采空區頂板最大撓度點位置受采空區頂板尺寸的影響較大。

3.3 均布荷載分量q0

分別設計q0=0、1 MPa、2 MPa、3 MPa、4 MPa等5個水平，并控制頂板走向與傾向長度均為60 m，河谷傾角為60°，將參數代入式（13）得出頂板撓度函數，圖3（a）為q0=0時的頂板撓曲面。

特別地，當q0=0時，即頂板上覆荷載為三角形荷載，頂板最大撓度值為131.72 mm，最大撓度點位置為（30，33.02），即沿傾向y=0.55b處，這與前人研究結果［12］相一致。

由圖9可以看出，保持非均布荷載分量q（y）不變時，頂板最大撓度值隨q0呈線性遞增關系，此外，隨著q0值的增加，受非均荷載分量影響逐漸減小，頂板最大撓度點逐漸向跨中偏移，其變化范圍在0.513b～0.55b之間，說明非均布荷載分量q0對最大撓度點位置的影響較小。

3.4 實例驗證

宜昌某磷礦礦段南礦塊地下采空區沿走向長86 m、傾向長68 m，每沿走向隔11 m、傾向隔8 m設置一個4 m×4 m的點柱；地表河谷傾角為68°，均布荷載量q0=3.78 MPa，根據式（13）得出頂板最大撓度位置為y=37.87 m。

現場調研結果顯示，位于采空區正中心的3#礦柱出現非對稱剝落破壞，靠近高山側剝落程度較河谷側更為嚴重，如圖10所示，由此反映出高山河谷地形下采空區上覆頂板變形不對稱，使得礦柱受力不均勻；此外，在y=36.72 m處產生了垂直于走向的裂縫，其長度4.3 m、寬5 cm，分析認為是頂板最大彎矩力超過其極限抗拉強度引起的拉伸破壞［15］。對于四邊簡支薄板來講，頂板最大撓度與頂板最大彎矩兩者所在位置相同，則推斷頂板實際最大撓度點位于沿傾向y=36.72 m處，這與理論計算結果基本相符。因此研究得到的頂板撓度計算結果可為高山河谷地形下采空區頂板支護設計提供理論依據。

4 結 論

（1）依據高山河谷地形下采空區頂板受力特征，構建了非均布荷載頂板力學模型，基于Levy單三角級數推導得出了非均布荷載條件下頂板的撓度方程。

（2）分析了河谷傾角θ、采空區兩向長度比a/b、均布荷載分量q0對頂板最大撓度及其位置的影響規律。高山河谷地形下采空區頂板最大撓度w與谷坡傾角θ呈先緩慢遞增再急劇遞增的關系，與采空區兩向長度比a/b呈“S”形遞增關系，與均布荷載分量q0呈線性遞增關系。頂板最大撓度點位置均向高山側偏移，其偏移距離受采空區兩向長度比a/b影響較大，受地表谷坡傾角θ及均布荷載分量q0影響較小。

（3）以調查分析為基礎，根據宜昌某磷礦地下采空區頂板及礦柱的破壞特征，分析了頂板最大撓度所在位置為y=36.72 m處，與理論計算結果37.87 m基本相符，驗證了研究結果的可靠性。