基于GA-PSO融合算法的開采沉陷Richards預計模型參數優化

盧克東 徐良驥 牛亞超

（安徽理工大學空間信息與測繪工程學院，安徽 淮南 232001）

現有研究表明，地表沉陷與地下土壤成分、巖石結構、應力變化等諸多因素有關［1-4］。為了更加精確地掌握地表下沉規律、地表形變狀態，并進行精確預計，不少學者通過對礦區開采沉陷規律的研究提出了多種預計模型，其中主體模型可分為力學解析模型和時間函數模型。時間函數模型是礦區地表在資源開采之后下沉值隨時間變化而形成的“S”型模型，其下沉值隨時間的變化而變化，可以有效模擬地表下沉的最終狀態。能夠擬合礦區資源開采后地表下沉的曲線方程有多種，如Knothe函數、Logistic曲線、Richards曲線等。學者們研究發現，Knothe，Logistic等模型各有優缺點，這些模型在礦區開采沉陷方面具有較好的適應性［5-10］，但這些模型都具有固定的拐點，都只能準確描述“S”曲線的某一部分，不能完整模擬地表沉降的全過程，與之相比，Richards模型具有4個參數，通過改變其中一個參數，能演化成上述所有模型方程或其過渡方程。文獻［11］研究表明，Richards曲線模型對實際地表下沉規律的擬合效果最好，預計精度最高［11］。

為了更加精確求解地表下沉值，建立更加符合地表下沉規律的動態預計模型，本研究提出了一種基于遺傳-粒子群算法（GA-PSO）［12-15］的Richards采煤工作面地表沉降動態預計模型，通過對其參數進行優化，提高預計精度，并結合工程實例比較分析GA-PSO算法優化Richards時間函數模型的精度及其適應性。

1 Richards模型及參數估計

1.1 Richards函數模型

Richards函數增長模型最早用于描述生物數量的增長狀況，對于準確反映生物數量的增長具有很強的適應性［16］。Richards函數模型表達式為

式中，y(t)為地表某點在t時刻的下沉量，m；A為地表某點下沉的最大值，m；B為與初始值有關的參數；K為描述地表下沉快慢的參數；δ決定著曲線圖的走勢及拐點的位置；ε為隨機誤差。通常將式（1）、式（2）式稱為Richards生長曲線方程。

對（1）式求一階導數即為地表某點t時刻的下沉速度，可得，即y(t)為自變量t的增函數；對式（1）求二階導數即為地表某點t時刻的下沉加速度，令其二階導數為0，可得Richards曲線唯一一個拐點坐標，即，y(t)=Am-1/δ。

1.2 Richards模型參數估計

由式（1）可以看出，Richards函數模型是一個具有4個參數的復雜非線性生長曲線方程。根據經驗及大量實測資料分析表明，Richards函數模型4個參數與礦區地質條件密切相關。由文獻［11］可知，根據模型參數與礦區地質條件的相關關系，作回歸分析可得：

式中，y(0)為初始時刻沉降值，m；c為工作面推進速度，m/d；tanβ為主要影響角正切；m為采厚，m；H為采深，m；q為下沉系數；α為煤層傾角，（°）；d1、d2分別為沿走向和傾向的充分采動系數；k為系數，取值范圍為 2～3［17］。

Richards函數模型中表征地表下沉快慢的參數K、地表下沉曲線形狀參數δ及任意點最大下沉值A與煤層深厚比、覆巖軟硬程度、工作面推進速度以及工作面是否重復采動等條件密切相關，可以結合礦區已知的經驗參數或相鄰工作面的概率積分參數求出，再代入式（1），即可求得參數B。

上述Richards函數模型的3個預計參數根據礦區地質條件的實測資料，通過式（3）求取一個相對值，雖然根據求取的相對值能夠大致符合地表下沉規律，但精度還有進一步提高的空間。值得注意的是，礦區開采地表下沉初始時刻的臨界下沉值難以確定，根據《建筑物、水體、鐵路及主要井巷煤柱留設與壓煤開采規程》［18］，通常以10 mm作為初始時刻下沉值。時間基線的相對增加可以使初始時間段的下沉速度曲線相對平緩，為體現地表下沉全過程，避免初始時刻下沉臨界值設定過大而造成細節缺失，誤差增大，故選取零時刻下沉值為0.01 mm。最終下沉值A可以通過概率積分法或者實際測量值得到，至此Richards函數模型中的4個參數全部得出。

2 GA-PSO優化算法設計

遺傳算法（GA）具有全局搜索能力強、內在隱并行性等特點，但容易早熟收斂，陷入局部最優［19］。粒子群算法（PSO）是通過模擬鳥群覓食而發展起來的一種智能隨機搜索算法。與遺傳算法相比，多數情況下，PSO中的粒子能夠更快地搜索目標，具有更快的收斂速度，但PSO又具有易發散、種群粒子多樣性差的不足。

GA和PSO具有共同之處，也有不同之處［20］，兩者都可隨機初始化種群，都使用適應度值來評價系統，并且都可根據適應度值來進行一定的隨機搜索，但二者都不能保證一定得到最優解。因此本研究將GA算法與PSO算法相結合，在GA算法中引入具有粒子群算法特征的參數，使具有優良變化能力的GA加入PSO的記憶能力，改進種群變異，使得整個種群向著全局最優的方向快速收斂。

2.1 算法原理

在遺傳粒子群融合算法的粒子群算法模塊中，每個粒子都會具有速度和位置兩個基本特性。粒子會按照自身當前最優狀態和群體最優狀態等因素的影響來調整自身參數。假設D維空間中每個粒子i第d次迭代后的更新速度和位置分別由表示，則每個粒子速度和位置迭代可分別由式（3）和式（4）實現：

式中，ω為慣性權重；c1和c2為加速度常數，分別表示個體學習因子和全局學習因子，是反映當前粒子間相互學習與信息交流的因子，數值設定大小關系到粒子尋優進程的時間長短，一般設置范圍為c1=c2∈[1,2.5 ]，本研究設定c1=c2=1.35；pBesti表示粒子i的個體極值；gBest表示整個粒子群的全局極值。

慣性權重ω是PSO算法中另一個重要參數，體現了粒子改變前后階段迭代速度的能力。ω取值較大，有利于全局尋優；取值較小，則有利于局部尋優。典型的慣性權重選擇是慣性權重遞減策略，該策略可以簡便高效地提高算法的全局收斂性和收斂速度，并且具有較好的穩定性。為平衡全局搜索能力和局部搜索能力，借鑒文獻［21］的研究方法引入權重：

式中，ωmax為最大慣性權重值；ωmin為最小慣性權重值；tmax為最大迭代次數；t為當前迭代次數。根據文獻［21］，本研究ωmin=0.4，ωmax=0.95。

遺傳算法的主要特點是直接對結構對象進行操作，對于求解某些全局最優的問題具有良好的魯棒性。本研究遺傳算法主要將表示模型參數的粒子作為基因遺傳的載體，即“染色體”。將“染色體”經過一系列選擇，交叉、變異處理之后，從中選擇出符合約束條件的最優個體，在滿足條件下更新個體與種群，從而得出最優解。

2.2 初始種群的產生和編碼

隨機生成一個種群pop=100，并初始化速度Vmax=1，Vmin=-1，其中變量取值范圍自定義。為方便編碼，提高GA-PSO優化解的精度，本研究直接將各個待優化參數以實數形式編碼生成種群。設置染色體長度為4，交叉概率為0.6，變異概率為0.35，并根據需求確定Richards模型中各參數組成的適應度函數。

2.3 GA和PSO融合執行

遺傳粒子群融合算法是將需要優化的參數作為要優化的對象，需要優化的粒子數目即參數個數。利用PSO算法的深度尋優特性不斷更新粒子，并經過速度更新、種群更新，選出相對較優的種群，再使用遺傳算法對種群進行處理。設置染色體的數量長度等于最終需要求取的優化參數個數，對種群進行交叉、變異處理，并計算適應度值是否滿足條件，最終得出較為理想的結果。本研究遺傳算法與粒子群算法相結合的融合優化算法流程如圖1所示。

3 模型精度評定

實踐證明，工作面上方某監測點的下沉規律按照下沉速度與加速度可分為3個階段，分別為初始階段、活躍階段和衰退階段。為驗證GA-PSO算法優化的Richards模型在工程中的應用效果，選取淮南某礦某一采煤工作面地表實際變形數據分析該模型的地表動態預計精度。

該工作面由于地下煤層開采而引起了煤層上方的厚松散層產生移動變形。工作面走向長1 336 m，傾向長230 m，地面標高為22.3～23.1 m，工作面平均采深為959.7 m，煤層傾角約3°，煤層厚度約1.8 m。為研究工作面上方地表沉降變形規律，分別布設了一條走向線和一條傾向線，其中走向線長約2 986 m，傾向線長約1 919 m。

3.1 實例應用與分析

試驗中取工作面上方靠近邊緣走向線其中一點的各期下沉值進行驗證，經過篩選以ml44號監測點為例，該點位在不同開采時間下的地表下沉觀測值、GA-PSO優化算法獲得的預計值及各期殘差值如表1所示。

由表1可知：m144號點的最大預計誤差出現在工作面推進第195 d，最大殘差值為-8.4 mm，最小殘差為0.2 mm，平均誤差為3.4 mm，中誤差為4.31 mm。

ml44號點的實測值曲線與預計值曲線如圖2所示，該點的下沉速度和加速度預計值如圖3所示。

由圖2和圖3可知：基于遺傳粒子群算法優化的Richards模型的下沉擬合曲線與實測值曲線基本重合，預計值與實測值的誤差較小，說明GA-PSO融合算法參數優化擬合效果良好；預計下沉速度和加速度基本符合開采沉陷地表下沉規律，表明預計值有效。圖2和圖3中初始下沉速度和加速度均不為0，是初始時刻下沉值不為0所致。

3.2 有效性驗證

為驗證遺傳粒子群算法對參數優化的有效性，將基于GA-PSO參數優化得到的預計結果分別與工作面地表監測點的實測值以及傳統遺傳算法、基于變步長FOA擬合法得到的預計值進行了比較（表2），結果見表2。

由表2可知：基于GA-PSO參數優化法得到的預計結果的相對誤差整體較小，其中最大相對誤差為6.42%，最小相對誤差為0.05%，小于其他兩種方法，表明GA-PSO參數優化后的Richards模型預計精度較高。

模型參數的擬合誤差可進行如下計算

式中，y(t) 為實測值；(t)為預計值；n為觀測期數。

經計算，上述3種模型的擬合誤差及其中誤差見表3。

分析表3可知：基于GA-PSO參數優化所構建的模型預計誤差和中誤差均小于其余兩類方法，表明本研究構建的Richards模型適應度良好，非線性擬合相關性較高。

為進一步分析新模型對本研究工作面地表其余觀測點的適用性，選擇了走向線和傾向線上分別位于工作面邊界附近、拐點附近、盆地中心部位數組質量較好的監測點數據進行了驗證。模型預計值與相應點位實測值的差值分布如圖4所示。

由圖4可知：當開采時間進入到150～350 d，開采工作面對觀測站監測點影響較大，預計誤差增大。其中最大誤差出現在開采時間進度為257 d時ml41號點，最大誤差為3.26 cm，主要是由于工作面推進速度不一導致地表下沉速度增大發生突變所致。當開采時間在350 d之后，監測點數據受開采影響逐漸減小，觀測站趨于穩定，后期觀測時間長，誤差有所減小。在觀測時間進度為665 d時，實測值與預計值的最大誤差為2.95 mm，最小誤差為0.1 mm，中誤差為1.48 mm。各監測點各期的預計誤差見表4。

綜上所述，基于GA-PSO參數優化法所構建Richards函數模型能夠反映出采動區地表沉陷規律，對于精確預計礦區地表沉陷有一定的作用。

4 結論

（1）Richards函數模型能夠有效擬合礦區開采地表沉陷規律，但擬合精度仍具有較大提升空間。本研究融合GA與PSO算法優勢，提出了GA-PSO融合算法，對Richards函數模型進行了參數優化。實際工程案例分析表明，GA-PSO融合算法優化后的模型擬合誤差達到0.025 8，中誤差達到4.31 mm，實現了對模型預計精度的提升，適應性更好。

（2）GA-PSO融合算法具有全局尋優、自動獲取和指導優化搜索空間的優點，有利于得出更加精確的預計模型參數，使得預計結果更加符合礦區實際開采地表下沉規律。但GA-PSO融合算法的引入勢必會增加算法的復雜度，確保在預計精度不變的情況下提高算法的收斂速度和運行效率是下一步的研究重點。