基于時間反演的到達時間定位

（1.重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065；2.移動通信技術重慶市重點實驗室（重慶郵電大學），重慶 400065）

0 引言

隨著物聯網時代的到來，在許多室內環境中，人們對位置服務的精度要求越來越高［1］，基于用戶位置信息的相關技術得到了廣泛的發展及應用。超寬帶（Ultra-WideBand，UWB）技術可以不借助載波進行通信，其傳輸功率低、抗干擾性強［2］。由于其易穿透障礙物、良好的測距分辨率和時間分辨率等優點，因此在復雜的室內環境中實現高精度定位有著巨大的應用前景［3］。超寬帶定位技術包括到達時間（Time Of Arrival，TOA）定位、到達角度（Angle Of Arrival，AOA）定位和到達時間差（Time Difference Of Arrival，TDOA）定位［4］等。

在超寬帶TOA 定位系統中，通常是利用第一條直射路徑的到達時間進行定位估計［5］，由于多徑效應的影響，導致不能準確地估計第一條直射路徑的TOA，進而影響定位精度。文獻［6］提出了一種基于能量檢測的最大能量選擇算法，通過設定閾值確定最大能量塊來估計TOA，但閾值的設定會受到多徑的影響；文獻［7］提出了通過卡爾曼濾波融合多個低復雜度能量檢測器的動態到達時間，實現TOA 估計，減小了閾值設定的限制；文獻［8］提出了基于UWB 的TOA/到達角度（AOA）的聯合估計器，使用基于能量的閾值交叉初步估計TOA，然后利用初步估計的對數似然函數的局部二維最大化聯合進行TOA 優化和AOA 估計，表現出良好的定位性能；文獻［9］提出了一種基于能量檢測的最大似然TOA 估計方法，該方法利用較長的積分窗口，克服了與接收機的實際硬件限制；文獻［10］提出了一種基于匹配濾波的廣義最大似然（Generalized Maximum Likelihood，GML）算法，將發射信號與接收信號進行互相關運算后，根據最大值估計TOA，但多徑會使得估計產生誤差；文獻［11］提出了一種三步匹配濾波檢測的算法，盡量減少多徑問題，并且能夠在計算效率和估計精度之間取得良好的折中。基于上述研究，在TOA 定位中，多徑效應使得TOA估計不準確，影響室內定位精度。因此，如何有效克服多徑效應并準確估計出第一條直射路徑的TOA 成為一個重要的研究方向。

文獻［12］對時間反演技術的傳播特性展開了研究，其特性能有效克服多徑效應對信號的影響。時間反演技術在時域上對收到的信號進行時間翻轉，等同于頻域上的相位共軛［13］。在復雜多徑環境下，經時間反演處理后的信號重新發送后，會在目標點呈現時空聚焦性［14］。空時聚焦特性能在一定程度上減少多徑的影響，是時間反演在多徑復雜條件下最明顯的特性［15］，使其在室內定位研究方面有著巨大潛力。基于此，本文設計了一種將時間反演技術與TOA 定位相結合的方案，利用時間反演算法對發射信號進行處理，其接收端信號呈現空時聚焦特性，可以在輸出波形的最高峰精確估計TOA值，再通過加權最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）算法對不同的估計分量賦予相應的權值進行定位估計，以提升系統的定位精度。

1 系統模型

1.1 超寬帶信號的產生

UWB 窄脈沖時間分辨率高、抗多徑性強，并且穿透力強的特性使得其可在室內使用。

產生UWB可以通過窄脈沖，對高斯脈沖函數進行調制。

一階高斯脈沖如下：

其中：α2=4πσ2，σ2為方差，可見高斯脈沖不含直流分量。脈沖的直流分量才能使得天線能有效輻射，本文采用的是高斯二階導函數，如下：

將一階高斯脈沖導函數經過天線微分得到二階導函數脈沖。根據文獻［4］的描述，脈沖形成因子α決定脈沖寬度，α的范圍是0.4～1 ns，本文α采用的是0.4 ns，其波形如圖1所示。

圖1 高斯脈沖二階導函數Fig.1 Gaussian pulse second-order derivative function

1.2 接收信號模型

對于實際的多徑信道模型，其信道沖擊響應的離散表達式h(t)可以表示為：

其中：αl和τl是第l條多徑的幅度和時延。接收信號表示為：

其中：s(t)=(t-jTs)，p(t)是接收的UWB 脈沖，寬度為Tp；Ts是測距信號的持續時間；Es是測距信號的能量；n(t)是均值為0、譜密度為N0/2 的加性高斯白噪聲（Additive Gaussian White Noise，AWGN）。

2 傳統TOA定位

TOA 定位是根據目標點到參考點的距離來實現的，要想實現平面上的TOA 定位，至少需要設置3 個參考點，如圖2所示。

圖2 TOA定位原理Fig.2 Principle of TOA positioning

TOA 定位需要分別得出參考點至目標點的到達時間即TOA 估計，再通過TOA 定位算法得出距離最終才能得出目標點位置，假設參考點至目標點距離為R，根據到達時間與光速c可得出距離，如式（5）：

2.1 TOA估計

傳統的TOA 定位技術在參考點發射信號，目標點接收信號根據相干檢測或非相干檢測估計出TOA，即式（5）中的tTOA，如接收端使用GML 技術，即式（4）能表示成第一條路徑、剩余路徑與噪聲的和，如式（6）所示：

其中τ1＜τ2＜…＜τL。假設峰值時延τpeak和最大信道系數αpeak已知，則歸一化信號可以定義為：

2.2 TOA定位

得到估計TOA 后，可以得到參考點到目標點的距離，如式（5），再根據畢達哥斯定理可得出目標點的位置，如式（9）：

其中如圖2 中所示，(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)分別是參考點A、B和C的坐標，(x0，y0)是目標點P的坐標，R1、R2、R3分別是3 個參考點到目標點的距離。

假設R1＜R2＜R3，將式（9）兩兩相減得變為矩陣形式為：

可以得出X=H-1B即目標點坐標。

3 基于時間反演的TOA定位技術

如圖3 所示，接收端B 即目標點發送UWB 脈沖信號p(t)作為探測信號，發送端A即參考點對接收信號進行TR 操作并再送至B，根據接收端B 處接收信號的聚焦特性得出估計TOA 值。這就大大壓縮了UWB信道的時延擴展，簡化了接收機的結構。再采用加權最小二乘法定位算法進行定位估計，進一步提高定位精度。系統流程如圖4所示。

圖3 基于TR的TOA定位過程Fig.3 TR-based TOA positioning process

圖4 系統流程Fig.4 System flow

3.1 TOA估計

時間反演是一種信號處理技術，TR技術通過探測信號估計信道脈沖響應（Channel Impulse Response，CIR），TR 技術成立的前提條件是多徑環境、信道具有互異性以及時不變信道。TR主要分為探測階段和反演階段。假設發送端A想向接收端B發送消息，過程中為了完美估計CIR，假設噪聲不存在，步驟如下：

1）探測階段。

接收端B向發射端A發送探測信號p(t)，估計信道脈沖響應（CIR），如圖5所示。

圖5 TR探測階段Fig.5 TR detection phase

探測信號p(t)經過超寬帶信道后的輸出為：

其中：y(t)表示探測信號經過超寬帶信道后的輸出；p(t)表示探測信號如式（2）；h(t)表示信道脈沖響應如式（3）。則根據式（11）可以估計出CIR。

2）反演階段。

反演階段如圖6所示。

圖6 TR反演階段Fig.6 TR reversal phase

發送端A 收到探測信號脈沖后，對y(t)進行時間反演處理，得到信號如下：

其中，h(t)為信道脈沖響應。發送端A 將TR 信號經由原路徑發送回接收端B，接收端B的接收信號表示為：

設H(t)為式（13）中的等效信道脈沖響應，可表示為：

將式（16）中第一部分設為自相關R(t)和互相關Q(t)，可分別寫成：

互相關函數Q(t)是各個不同傳播路徑的互相關函數，非相關多徑信號卷積疊加后的結果是相互抵消的。而自相關R(t)時各個不同傳播路徑的函數，多徑數越多，自相關函數越大，所以在多徑環境中，Q(t)相比R(t)要小得多。根據式（13）可以看作探測信號經過信道脈沖響應H(t)，即一個h(t)的自相關輸出。

那么時間反演后的接收端接收的信號波形會有一個明顯的波峰即最高點如圖7 所示，所以接收端接收信號輸出波形的最高點所對應的時間指標即為估計的TOA。

圖7 TR聚焦特性Fig.7 TR focusing characteristic

3.2 TOA定位

得到估計的TOA 后，采用加權最小二乘法得出目標估計位置。首先假設在基于TOA 定位中，有N個位置已知的基站（參考點），每個基站的坐標為(xi，yi)，i=1，2，…，N，N表示基站（參考點）數量，未知標簽（即目標點）坐標為(x，y)，則根據距離公式有：

上述距離方程后需要進一步處理，即從第一式開始依次減去最后一式，得到一個矩陣表達式：

其中：Ki是中間變量，i=1，2，…，N，N表示基站（參考點）的數量。

由于存在誤差，實際的線性模型為：

式（22）計算中的每一個分量權值相同，未考慮不同權值對計算結果的影響，本文采用WLS 算法在原有的最小二乘法（Least Square，LS）的基礎上對不同分量加以不同的權值來計算估計值，則式（22）改為：

其中，W為已知的加權矩陣，測量精度高的數據權重大些，測量精度低的數據權重小些。本文采用的權值矩陣是根據測量誤差矩陣V通過W=VVT得到的。利用已知的加權矩陣W，求出使式（23）最小的目標坐標矩陣X，得到目標的坐標。

4 仿真實驗與結果分析

本章采用Matlab 工具對本文提出的算法進行仿真驗證。TR過程中的探測信號采用二階高斯脈沖導函數。

仿真中信道模型使用的是IEEE 802.15.4a CM-3，其典型環境是視距（Line Of Sight，LOS）條件下的辦公環境。假設多徑數為8，所有的噪聲均為零均值高斯白噪聲。參考點數目為3，坐標分別為（0，0），（70，20），（10，70），目標點坐標為（30，30）。

為了最大化信噪比，通過一個匹配濾波器使用探測信號p(t)的模板對接收信號進行處理。在不同的信噪比條件下，基于TR估計TOA偏移量與傳統的GML估計TOA偏移量如圖8所示。

仿真信噪比從2～32 dB，步長為2 dB。從圖8 可以明顯得出，采用TR技術估計TOA偏移量趨近于0，相比較GML而言，性能得到提升，在10 dB信噪比條件下，GML 估計TOA 有較大的誤差，并且此條件下噪聲對信號的影響很小，不會影響TR的性能。本文提出的利用TR估計TOA其性能得到驗證。

圖8 TOA估計偏移量Fig.8 Offset of TOA estimation

圖9 為信噪比為10 dB 條件下，基于GML 算法的TOA 定位，最后采用LS 估計目標位置。在10 dB 噪聲條件下，由圖9可得出，采用GML 估計TOA，三個圓相交偏差較大，TOA 定位精度不高。

圖9 基于GML的TOA定位Fig.9 TOA positioning based on GML

圖10是在信噪比為10 dB條件下，基于TR算法的TOA 定位，估計算法相同。考慮10 dB條件下噪聲的影響，如圖10所示，雖然由于噪聲的存在，使得TOA 估計存在一定誤差，3 個圓不能完美交于一點，但是相較于GML 算法估計TOA，TR 算法估計更為準確。

圖10 基于TR的TOA定位Fig.10 TOA positioning based on TR

圖11在LS估計算法下，分別比較TR 和GML估計TOA 的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE），其中TR 算法逼近克拉美羅界（Cramer-Rao Low Bound，CRLB），所以TR 算法估計TOA更加精確。

圖12 是信噪比10 dB 條件下，四種算法的均方根誤差比較，共測試10 次，得出每一次對應的RMSE。當采用GML 估計TOA 值，然后分別用LS 和WLS 進行定位估計時，使用WLS算法的均方根誤差相對較小；當分別用GML 和TR 估計TOA值，采用LS進行定位估計時，用TR估計TOA 值的方法均方根誤差更小；最后，GML 和LS以及TR 和WLS 兩種方案相比，TR和WLS的均方根誤差更小，性能更好。

圖11 GML和TR均方根誤差比較Fig.11 Root mean square error comparison between GML and TR

圖12 GML和TR下的不同定位算法性能比較Fig.12 Performance comparison of different positioning algorithms under GML and TR

由圖12 可以得出，在室內低信噪比條件下，本文提出基于TR 估計TOA，并以WLS 估計目標點的方案，相較于其他定位算法的RMSE顯著減小，系統的定位精度有效提升。

5 結語

針對在室內多徑環境下，傳統超寬帶TOA定位技術不能準確估計第一條直射路徑的TOA的問題，本文提出了一種基于TR的TOA室內超寬帶定位算法。首先，利用時間反演技術的空時聚焦特性減少多徑的影響準確估計TOA；然后，采用加權最小二乘法進行定位估計。仿真實驗驗證了相較于傳統的TOA定位技術，本文方案能有效地提升系統的定位精度。接下來的工作，一方面可以分析優化TR在探測階段的信道估計；另一方面可以考慮在本文研究的基礎上，降低信噪比，考慮嚴重噪聲環境對TOA定位的影響，進一步實現復雜環境內的高精度定位。