異面直線所成角問題的解法探究

盛錦星

[摘? 要] 異面直線所成角問題的難度中等，求角方法較為多樣，可直接通過平移變換將異面直線轉換到同一平面，也可依托空間向量法來求解. 文章深入探究異面直線所成角問題的解法，并反思總結，提出幾點建議.

[關鍵詞] 異面直線;角度;平移法;空間向量

異面直線所成角問題是立體幾何常見問題類型，解題核心是構建異面直線所成的平面角，常用的方法也較為豐富，下面深入探究.

[?] 引例探究

例題：在正方體ABCD-ABCD中，已知點E是CC的中點，則異面直線AE和CD所成角的正切值為________.

分析：充分利用正方體的特性，可得CD∥AB，通過平行或平移將異面直線問題轉化為共面直線AB與AE之間的問題. 要求兩者所成角的正切值，將其放置在△ABE中進行.

詳解：在正方體ABCD-ABCD中，可知CD∥AB，所以異面直線所成的角為∠EAB，如圖1所示. 可設正方體的邊長為2a，點E是CC的中點，則CE=a，進一步可求得BE=a. 在Rt△EAB中，有tan∠EAB===，即異面直線AE和CD所成角的正切值為.

[?] 方法總結

上述是一道異面直線考題，主要考查異面直線所成角的相關知識，對學生的空間想象和運算能力要求較高. 上述采用了求異面直線問題常用的平移法，掌握方法的解題策略十分重要. 平移法求異面直線所成角的基本思想是平移轉換，核心內容是直線平移或探尋平行直線，以及依托三角形構造夾角，一般分三步進行，過程總結如下.

第一步，對異面直線進行平移或平行轉換，有兩種策略：一是固定一條直線，平移另一條;二是將兩條直線同時平移到某一特殊位置，構成同一平面.

第二步，構建異面直線所成角，或者證明圖形中某一夾角為所求角.

第三步，依托所求角構造三角形，通過解三角形完成求解.

另外，對于異面直線所成角問題，需要關注角度的取值范圍，即取值范圍為

0，

，故完成角度求解后，還需對其驗證.

[?] 強化拓展

實際上可將平移法細分為三種，分別為中位線平移、直接平移、補形平移，上述引例的平移過程可視為直接平移，下面結合實例進一步探究其他兩種平移.

1. 平移破異面——中位線平移

中位線平移，即把握圖形的中位線，利用中位線的平行特性完成平移，解題時需要關注圖形中的中點，依托中點構造中位線.

例1 已知點A和B在以PC為直徑的球O的表面上，并且AB⊥BC，AB=2，BC=4. 若球O的表面積為24π，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為________.

分析：本題目較為特殊，依托球考查異面直線所成角、球體的相關計算. 可作出圖，取線段的中點，利用中位線性質來實現異面直線平移. 將異面直線放置在三角形中，利用余弦定理得到所求角的余弦值.

詳解：設球O的半徑為R，球的表面積為24π，則半徑R=.

根據題意構圖，分別取PA，AB，BC的中點M，N，E，連接MN，ME，NE，AE，如圖2所示.

分析可知，PC=2R=2，PA⊥平面ABC. 因為AB⊥BC，由勾股定理可得AC==2，PA=2，PB=2. 因為點M和N分別為PA和AB的中點，由中位線性質可知MN∥PB，并且MN=PB=. 同理可得NE∥AC，且NE=AC=. 進一步可推得AE=2，ME=3.

因為MN∥PB，NE∥AC，所以異面直線PB和AC所成角為∠MNE或其補角. △MNE中，已知MN=，ME=3，NE=，由余弦定理可得cos∠MNE==-，所以異面直線PB和AC所成角的余弦值為.

2. 平移破異面——補形平移

補形平移法的核心是“補形”，即通過補充圖形來實現平移轉換，其中“補形”的目標是為了后續的平移相交，“補形”時要注意依托圖形固有特征，順勢生成.

例2 如圖3所示，在正方體ABCD-ABCD中，已知點M為AB的中點，點N為DD的中點，則異面直線BM與CN所成角的大小為________.

分析：本題目同樣依托正方體構建異面直線，在原有正方體內難以直接構建平行直接完成平移，可在正方體的右側“補”一個正方體，再進行平移相交轉換，后續通過解三角形來求角度.

詳解：如圖4所示，在正方體的右側“補”一個邊長相等的正方體. 取CE的中點為P，由于點M為AB的中點，連接CP，則有CP∥BM，則∠NCP或其補角為異面直線BM與CN所成的平面角.

再連接NP，設正方體的邊長為a，可求得CN=CP=a. 由勾股定理可得NP=a. 由于△NCP的三邊滿足關系CN2+CP2=NP2，所以∠NCP=90°，即異面直線BM與CN所成角的大小為90°.

[?] 解法另探

上述深入探究了求異面直線所成角問題的平移法，從建模角度來看，還可采用空間向量法來求解. 下面解讀方法原理，并結合實例探究.

空間向量法，即依托所求圖形構建空間坐標系，分別求出異面直線的向量坐標，然后利用向量之間的角度關系來求解，基本原理如下：設直線l，m方向的向量分別為a和b，則兩直線所成角θ的余弦值為cosθ=.

例3 如圖5所示，已知四邊形BCCB為正方形，且AB=BC=2，平面BCCB⊥平面ABC，∠ABC=120°，則異面直線BC與AC所成角的余弦值為________.

解析：本題直接構建了兩個相交平面，求異面直線所成角的大小，可以使用空間向量法.

可以點B為坐標原點，BC為y軸，BB為z軸，在平面ABC中，作x軸⊥y軸，建立圖6所示的空間直角坐標系.

由題意知∠ABC=120°，AB=BC=2，所以點A（，-1，0），點B（0，0，0），點C（0，2，0），C（0，2，2）. 所以向量=（-，3，0），=（0，2，2），則異面直線BC與AC所成角的余弦值cos〈，〉==.

評析：上述在求異面直線所成角的余弦值時采用了空間向量法，該方法通常分三步進行：第一步是建坐標系，求關鍵點坐標;第二步，求所涉異面直線的向量坐標;第三步，利用定理求夾角的余弦值. 從解題過程來看，空間向量法的程序性更強，思維難度較低，只需根據方法流程求解即可.

[?] 總結思考

上述充分探究了求異面直線所成角的兩種解法，平移法是基于平移變換所構建，空間向量法更側重幾何體系的構建，程序性更強，兩種解法各具特色，實際解題時可根據問題情景靈活選取.

異面直線所成角的解法探究教學中，建議關注以下幾點：

關注解法本質，理解方法原理. 開展解法探究，要立足方法本質，讓學生充分掌握方法原理，如平移法的知識本質就是平行線的性質，通過平移來實現線段代換.

關注方法的構建思路，應重點教學方法的使用過程，引導學生合理使用，嚴謹論證，如空間向量法分三步進行解題構建，每一步環環相扣.

倡導方法拓展，提升學生思維的靈活性. 上述僅列舉了該類問題的兩種常用方法，但不局限于此. 教學中要注重培養學生的思維，合理拓展解法，可利用“一題多解”進行解法探究，促進學生的思維發展.

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