基于二自由度的垂直沖擊試驗機參數設計計算方法

徐曼

（蘇州世力源科技有限公司，蘇州 215337）

引言

當前，沖擊力學環境試驗技術是考核產品在工作或運輸過程中安全性及可靠性的主要方式之一，而垂直沖擊試驗機則是最常使用的實現經典沖擊力學環境試驗各項指標主要設備之一。該設備不僅適用于各類民用產品的運輸考核，也廣泛用于航天、航海等軍工產品的性能考核[1]。垂直沖擊試驗機的型號多種多樣，不同型號的垂直沖擊試驗機可以模擬出不同規格的沖擊波形，但各類垂直沖擊試驗機的結構類似，均可用同一類模型模擬其工作原理，并得出其測試參數，即垂直沖擊試驗機臺面的跌落高度和波形發生器的剛度。圖1展示了一個典型垂直沖擊試驗機的結構簡圖。

目前，對垂直沖擊試驗機的參數計算主要基于單自由度彈簧-質量模型，并且忽略了重力，底座以及氣囊等工況結構[2]。該模型過于簡單，計算出的跌落高度、波形發生器剛度等參數精度較低，大多需要依靠人工經驗糾正誤差，不能很好地指導沖擊試驗機的設計[3]。部分研究者雖然利用泰勒公式和最小二乘法擬合垂直沖擊試驗機測試參數的經驗公式，并通過試驗數據歸納總結相關系數，形成經驗數據庫，但該計算方法過分依賴經驗，有很大的局限性和盲目性[4]。

本文考慮垂直沖擊試驗機的底座阻尼器、緩沖氣囊的影響，建立更加精確的二自由度動力學模型來模擬垂直沖擊試驗機的工作情況。通過四階龍格庫塔方法求解此動力學方程組的數值解，得到滿足要求的沖擊波形的離散值。在求解過程中，使用一維搜索方法(二分法)不斷矯正所需的沖擊波形，迭代計算出滿足要求的波形指標，并繪出沖擊波形圖。同時，通過緩沖氣囊的力位移曲線，得出沖擊試驗機底座對地基的最大沖擊力，以便設計和調試沖擊試驗機時盡量減少對地基的影響。該模型可以較準確地描述沖擊試驗機工作狀態的動力學行為，并且針對具體的沖擊波形指標，計算出理想的設計參數。最后，搭建試驗平臺，對計算出的理論參數進行試驗對比研究，證明了此算法的準確性。

1 垂直沖擊試驗機的工作原理

垂直沖擊試驗機的工作原理是將所需測試的產品固定于工作臺面上，再通過提升氣缸將臺面上升到指定高度，然后釋放，使臺面自由跌落，最后與固定在試驗臺上的波形發生器相碰撞，產生所需要的加速度波形，從而模擬產品遭受的沖擊環境，考核產品的可靠性[5]。另外，在臺面和產品上分別裝有加速度傳感器，從而確定產品所承受的沖擊波形是否符合要求。

考核產品的沖擊波形種類繁多，大致可以分為半正弦波，后峰鋸齒波和梯形波。不同的波形發生器在與臺面碰撞之后可以產生不同的沖擊波形。半正弦波形發生器一般采用橡膠材料制成，橡膠材料具有超彈性且較硬等特性，因此通常產生的是近似半正弦波形[6]。后峰鋸齒波的波形發生器主要采用鉛塊制成，利用鉛塊塑形強的特點來產生后峰鋸齒波形。而梯形波的波形發生器需要采用氣缸式結構，通過在一段行程內，氣缸推力值不變的特性來實現梯形波形[1]。

本文主要是研究垂直沖擊試驗機使用參數的計算方法，不考慮波形發生器的類型，所以本文模型選取最常用的半正弦波形發生器對垂直沖擊試驗機的使用參數進行計算。

2 垂直沖擊試驗機設計參數計算

2.1 垂直沖擊試驗機動力學模型的建立

當前計算垂直沖擊試驗機的參數時，都忽略了由沖擊臺底座、氣囊和阻尼器組成的減震系統，所以誤差較大。本文為了最大限度地模擬實際情況，將垂直沖擊試驗機簡化為二自由度系統[1,5]。

如圖2所示，將工作臺面簡化為一質量塊，質量為m1，底座簡化為質量為m2的物體。考慮到氣囊剛度的非線性，將其彈力等效為F(x2)，剛度為k2，阻尼器阻尼系數為c2，而波形發生器等效成剛度為k1的彈簧，其阻尼系數為c1。則沖擊試驗機工作臺面碰撞到波形發生器后，其動力學方程為：

圖1 垂直沖擊試驗機結構簡圖

圖2 二自由度動力學模型圖

為了考慮垂直沖擊試驗機體對地基產生的沖擊作用，選取模型中的等效彈簧、阻尼器均未壓縮時的狀態為坐標原點，工作臺臺面從距離波形發生器H的位置自由跌落。此時模型的初始條件為：

2.2 動力學方程的求解

本文采用龍格庫塔法求此二自由度模型的數值解。龍格庫塔方法是一種在工程上應用廣泛的高精度單步迭代算法。該方法既可以采用一階精度歐拉公式，利用微小步長兩端的一階導數平均，得到改進的二階歐拉公式，不斷迭代出步長增量的函數值，還可以通過n階泰勒公式，舍去高階導函數部分，與龍格庫塔模型對比，得出模型的迭代系數[7]。龍格庫塔法不僅具有精度高，建模方便等優點，還可以通過抑制其迭代誤差，得到滿足需求精度的數值解。

因為龍格庫塔法精度可控，且其迭代系數多種多樣，從而形成了不同形式的龍格庫塔方程。而其中最常用的是四級四階龍格庫塔方程，該方法每一步需要計算四次函數值，其格式如下：

式中：

Li,n—微分方程組的增量；

h—迭代步長。

針對本文的模型，將二自由度模型的二階微分方程組進行轉換，即令

得到可用四級四階龍格庫塔法求解的形式：

帶入模型初始條件：

便可迭代得出此模型的數值解。

2.3 沖擊試驗機工作臺面跌落高度與波形發生器剛度的計算

二分法通常用于求解函數的近似根，相比于牛頓迭代法等其他算法，該方法具有結構簡單方便，迭代速度快等優點[8]。本文采用二分法，將計算出的加速度峰值和波形脈寬不斷比較，對垂直沖擊試驗機的參數進行修正和優化。

首先，假設系統為一階系統，可以根據加速度峰值A和波形脈寬D，確定初始跌落高度H0和波形發生器剛度k0。

將初始跌落高度和波形發生器剛度同時縮小和擴大兩倍得到迭代區間，再將每次計算出的脈寬與所需脈寬比較，若脈寬較小，則減小剛度，反之亦然。對于跌落高度的修正，若峰值加速度過大，則降低跌落高度，反之亦然。最終得到所需的跌落高度和波形發生器剛度等垂直沖擊試驗機的關鍵測試參數。

為了將波形發生器剛度轉化為橡膠肖氏硬度，從而便于選擇或制備相應的橡膠波形發生器。如圖3所示，先確定波形發生器的直徑D0和高度M。根據所計算出的剛度K，得出橡膠的肖氏硬度HS。

式中：

S和G—橡膠的形狀因子和剪切模量，單位為MPa。

2.4 垂直沖擊試驗機對地基的沖擊力

通過解微分方程組，可以求出底座的位移x2，即氣囊的壓縮量。本文選擇FESTO公司生產的氣囊，型號為EP-250-85，并保證氣囊內部氣壓為4 bar。通過氣囊的彈性性能曲線和壓縮量得出其所承受的載荷，如圖4所示?？梢姡霘饽业膲嚎s量，即可計算出地基所受的最大沖擊力。

3 垂直沖擊試驗機參數設計軟件的實現

3.1 Lab Windows/CVI的簡介

Lab Windows/CVI是由美國National Instruments公司推出的虛擬儀器軟件。它是一個完全以ANSIC為核心，使用靈活的C語言平臺用于數據采集、分析和顯示的專業測控工具。它具有豐富的功能面板和函數庫，并且采用交互式編程方法，大大增強了C語言的功能，建立了一個理想的軟件開發環境[9]。

Lab Windows/CVI具有許多優點和特性。它提供了標準的函數庫和交互式函數面板，用戶可以利用非常便捷的界面編輯器，創建導向函數庫，實現顯示控制等功能。此外，Lab Windows/CVI還優化了集成編輯器，除了可以使用其自帶的編譯代碼，還可以使用專用的Microsoft Visual C++，Borland和Intel等預先配置好的編譯模板。Lab Windows/CVI最強大的功能在于它有豐富的函數庫和圖形用戶界面，并提供了指示燈，示波器和按鈕開關等常用控件，大大降低了實驗成本[9,10]。工程上常使用Lab Windows/CVI完成交互式程序開發，數據采集及分析和開發IVI儀器驅動程序等功能。

3.2 Lab Windows/CVI實現垂直沖擊試驗機參數設計計算

垂直沖擊試驗機測試參數的計算軟件界面如圖5所示。

在界面的中部有兩個圖形輸出框，其功能分別為顯示計算出的加速度波形和垂直沖擊試驗機工作過程中對地面的沖擊力圖形，從顯示的圖形中可以直接判斷計算結果是否滿足要求。在輸入參數一欄中，需要輸入工作臺和試件質量、底座質量、阻尼器個數等試驗機設計參數，以及欲實現的沖擊波形脈寬和峰值加速度等基本試驗參數。其中，此軟件還提供了各種不同的氣囊型號進行選擇，在氣囊不滿足受力情況時，軟件會自動停止計算，并彈出警告信息。軟件輸出的不僅僅是沖擊波形圖和地基受力圖，還會輸出臺面跌落高度，波形發生器剛度以及橡膠的硬度等參數。

圖3 波形發生器示意圖

圖4 氣囊彈性曲線圖

圖5 軟件界面圖

圖6 SY11-100垂直沖擊試驗機圖

軟件通過龍格庫塔法解得的沖擊波形和地基承受載荷的數值解最終依靠繪圖命令輸出，并將數據保存至指定文件夾。

3.3 試驗結果的比對

如圖6所示，本次試驗使用蘇州東菱振動試驗儀器有限公司生產的型號為SY11-100的氣動式垂直沖擊試驗機。該試驗機底座裝有4個氣囊和8個阻尼器。其中，工作臺面是由鋁合金鑄造而成，其密度為2 700 kg/m3，質量m1=513 kg。底座質量m2=2 500 kg。

本次實驗通過產生兩個半正弦波形以對比此軟件計算的準確性。第一組實驗指標為峰值加速度A1=100 g，脈寬D1=6 ms。第二組實驗指標為峰值加速度A2=50 g，脈寬D2=11 ms。選取的波形發生器直徑和厚度分別為150 mm和15 mm，設其阻尼比c1=0.15。阻尼器的阻尼比c2=0.3。

通過垂直沖擊試驗機參數計算軟件得出跌落高度、波形發生器參數，兩次計算結果如圖7所示。第一組實驗計算出的跌落高度H1=465.58 mm，波形發生器剛度為k1=1.091 5×108N/m，橡膠肖氏硬度HS1=87.30，地基所受最大沖擊力F1=15.26 kN。第二組實驗計算出的跌落高度H2=342.73 mm，波形發生器剛度為k2=3.511×107N/m，橡膠肖氏硬度HS2=53.93，地基所受最大沖擊力F2=15.04 kN。

兩組實驗實際測得的信號進行濾波后，沖擊波形如圖8所示。

圖7 軟件計算結果圖

圖7 軟件計算結果圖

圖8 實驗結果圖

由圖8可見，第一組試驗垂直沖擊試驗機實際跌落高度H01=460 mm，產生的半正弦波形峰值加速度A01=100.49 g，脈寬D01=6.77 ms，測得橡膠硬度HS01=85.5。第二組試驗垂直沖擊試驗機實際跌落高度H02=375 mm，產生的半正弦波形峰值加速度A02=49.73 g，脈寬D02=11.42 ms，測得橡膠硬度HS02=55.6。

將軟件計算參數與實際試驗參數進行比對，如表1所示?？梢园l現，軟件計算的結果精度較高，對垂直沖擊試驗機設計參數選擇具有較好的指導意義。

4 結論

1）考慮了氣囊和阻尼器的緩沖作用，建立了垂直沖擊試驗機的二自由度動力學模型，并將氣囊的實際承力和位移曲線作為非線性變量加入動力學方程中，大大提高了沖擊波形參數計算的準確性。

2）在保證一定誤差的情況下，通過四階龍格庫塔方法求解二階微分方程組，選取垂直沖擊試驗機一階模型的參數作為初始變量，利用二分法重復迭代，保證了二階微分方程的快速收斂性。

3）采用Lab Windows/CVI開發平臺開發了垂直沖擊試驗機參數計算軟件，通過人機交互界面，可以方便計算垂直沖擊試驗機在實現規定沖擊波形時需要提升的高度、波形發生器的厚度和硬度等參數，對指導試驗機設計有很好的應用價值。

4）進行了兩組對比性試驗，結果表明，軟件計算結果和試驗結果誤差較小，可以滿足實際的使用需求。

表1 軟件計算結果和試驗誤差