高中生數(shù)學邏輯推理能力的影響要素及評價指標

侯寶坤

摘? ?要

邏輯推理能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，根據(jù)推理過程的復雜性，以及學生使用邏輯推理的兩輪推理特征，影響學生進行邏輯推理的要素，學生在推理過程中的思維參與和行為表現(xiàn)，進一步得到評價學生邏輯推理能力水平的三級指標，為學生的邏輯推理過程提供一個可評價的依據(jù)。

關(guān)鍵詞

邏輯推理能力? 高中數(shù)學? 影響要素? 評價指標

在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《2017課標》）中明確規(guī)定：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學核心素養(yǎng)。希望通過高中數(shù)學的學習，將學生培養(yǎng)成“會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界”的人[1]。邏輯推理是數(shù)學思維最重要的形式，數(shù)學理解和發(fā)展依靠邏輯推理，是數(shù)學嚴謹性的保證。數(shù)學核心素養(yǎng)邏輯推理的培育和發(fā)展，就是讓學生養(yǎng)成重證據(jù)、講道理的意識，形成終身發(fā)展和社會發(fā)展所需要的品格和能力。

一、邏輯推理的基本內(nèi)涵

波利亞《數(shù)學與猜想》中認為，數(shù)學有論證推理和合情推理兩種形式，論證推理肯定數(shù)學知識，合情推理為猜想提供依據(jù)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2003）》中指出，推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理常用的思維方法是歸納、類比;演繹推理是按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理[2]。而《2017課標》中邏輯推理定義為：“從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)”，包括“以歸納、類比為形式的從特殊到一般的推理”和“以演繹為形式的從一般到特殊的推理”[3]。如此一般化的定義把合情推理也包括其中，深化了對合情推理中所蘊含規(guī)則的認識，提煉領(lǐng)了兩類推理的共性，拓寬了邏輯推理的內(nèi)容。

1.邏輯推理需要證據(jù)的支撐

證據(jù)越充實，就會使推理的結(jié)論越明顯越深刻。證據(jù)包含經(jīng)驗證據(jù)和理論證據(jù)。經(jīng)驗證據(jù)包括已有事實、數(shù)學實驗、學習數(shù)學的體驗、由特殊歸納的結(jié)果等;理論證據(jù)指已經(jīng)獲得證明為真的數(shù)學知識，包括數(shù)學公理、概念、定理、公式等。證據(jù)的質(zhì)量是由證據(jù)與結(jié)論的匹配程度來衡量的。學習中經(jīng)常出現(xiàn)結(jié)論是正確的，但學生所用證據(jù)是錯誤的，推理符合邏輯也不能得到正確結(jié)論，反證法就是這樣的過程;如果證據(jù)是正確的但與結(jié)論不匹配，也不能形成證據(jù)與結(jié)論之間的邏輯推理，這就是典型的“張冠李戴”。學生的證據(jù)也會積累更新，甚至出現(xiàn)完全相左的證據(jù)，這也是數(shù)學不斷推進和擴張的關(guān)鍵。在邏輯推理中，學生要有對證據(jù)的準確判斷，能分清證據(jù)是支持結(jié)論還是與結(jié)論相左。

合情推理是根據(jù)已有證據(jù)，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。解決問題時，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的功能，有利于數(shù)學創(chuàng)新意識培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有理論證據(jù)，按照嚴格的邏輯法則得到新的正確結(jié)論的推理。邏輯推理是問題解決的過程，通常需要合情推理與演繹推理之間的兩輪推理。如已知條件和結(jié)論的數(shù)學證明問題，主要側(cè)重演繹推理，但推理的過程也經(jīng)常伴隨著假設和猜想。筆者建立了邏輯推理的概念理解圖，如圖1所示。

假設過程主要基于合情推理，由已有證據(jù)、提出問題、形成假設（或是已有的結(jié)論）組成。已有證據(jù)包括學生在學習中獲得的體驗、直覺和已掌握的數(shù)學知識。學生可以在假設過程中根據(jù)已有證據(jù)提出問題，形成假設性結(jié)論。推證過程是由理論證據(jù)，以及其推證的新證據(jù)（結(jié)論）鏈組成，再利用新證據(jù)判斷當前假設是否足以證明或反駁它。如果推證結(jié)果接受假設，則形成新的理論證據(jù)，作為新邏輯推理的基礎(chǔ)。如果假設被推翻，則需要重新收集證據(jù)進行新一輪假設?？傊?，邏輯推理就是根據(jù)已有證據(jù)提出假設，通過推證得到新證據(jù)對假設或已有觀點進行驗證，從而解決問題獲得新知識的過程。

2.邏輯推理是學習數(shù)學的重要思維方式

數(shù)學中許多概念的建立、定理的發(fā)現(xiàn)、理論的構(gòu)建，是通過合情推理形成的，數(shù)學教學中理應充分體現(xiàn)這一特點。當然建立在數(shù)學概念和理論基礎(chǔ)上的演繹推理同樣是數(shù)學發(fā)展的有力的手段，它是猜想成為現(xiàn)實的保證。對猜想進行證實和證偽的求證方式，是學生獲取新知識、解決新問題的高級思維過程，也是數(shù)學理性美最直接的體現(xiàn)。教師在數(shù)學教學中，可以通過數(shù)學知識結(jié)構(gòu)化、教學過程邏輯化、探究過程層次化等途徑幫助學生掌握邏輯推理的思維方式。

二、邏輯推理能力的影響要素

邏輯推理能力是學生面對某個數(shù)學情境或數(shù)學問題時所表現(xiàn)出的分析與推證能力，主要體現(xiàn)在收集、評估、組合證據(jù)和依據(jù)證據(jù)提出假設、利用邏輯推理證實等學習活動中展現(xiàn)的思維能力和推理藝術(shù)。邏輯推理活動是學生掌握數(shù)學概念、理論的關(guān)鍵。

1.數(shù)學知識是邏輯推理能力的基礎(chǔ)

邏輯推理能力是學生利用數(shù)學知識提出問題和依賴證據(jù)得到結(jié)論的能力，是理解數(shù)學知識和解決數(shù)學問題的思維方式。邏輯推理的關(guān)鍵在于學生依靠已有的證據(jù)推出合理結(jié)論的過程。在假設過程中，學生占據(jù)的數(shù)學知識越多越深刻，形成的證據(jù)就越多，得到的假設就越合理。推理過程中，學生利用已有數(shù)學知識形成新的證據(jù)鏈的過程，也是深化知識聯(lián)系并獲得新知的過程。通過邏輯推理形成的結(jié)論是數(shù)學知識的再凝練。學生使用邏輯推理獲取新知識，要保證證據(jù)與結(jié)論的科學性就必須深刻理解所用知識，在尋找證據(jù)與結(jié)論的關(guān)聯(lián)時，必須尋找各知識之間的連結(jié)，就會形成牢固的認知結(jié)構(gòu)，使概念與理論得到深入理解與發(fā)展。

2.證據(jù)評估與組合、推證途徑選擇是推理技能的核心

邏輯推理中，學生需要知道哪些事實、知識可以成為證據(jù)，評估哪種證據(jù)是恰當?shù)模獣宰C據(jù)與假設（結(jié)論）的邏輯聯(lián)系，在搜集證據(jù)的同時進行評估，選擇合理的證據(jù)組合成支持假設的證據(jù)鏈。教學中發(fā)現(xiàn)，推理能力較弱的學生經(jīng)常使用認知層次較低的證據(jù)，甚至矛盾或無關(guān)條件，因此，證據(jù)評估成為邏輯推理能力的一個重要組成部分。邏輯推理是一個將證據(jù)與假設（結(jié)論）建立邏輯聯(lián)系的過程，學生要對問題條件、結(jié)論進行全面的分析，其中三點較為重要：第一，已掌握的證據(jù)與假設之間的聯(lián)系是否可信。聯(lián)系越緊密推理越可信，越能解決問題。第二，證據(jù)是否充分。提供的證據(jù)越多、角度越豐富，就越能克服邏輯推理的片面性。第三，要注意證據(jù)的邏輯順序、組織好證據(jù)鏈，優(yōu)化解題路徑。不同的證據(jù)、不同的視角，都可能造成推理途徑的差異，特別要防止定勢思維。對證據(jù)的數(shù)量與質(zhì)量、假設的可靠性、證據(jù)與結(jié)論的關(guān)聯(lián)性的判斷是學生邏輯推理技能的核心要素，直接影響著推理的成敗。

3.元認知監(jiān)控是邏輯推理能力提升的前提

元認知是對認知的認知，元認知技能是學生在邏輯推理過程中主動調(diào)整和自覺優(yōu)化的能力，思維品質(zhì)至關(guān)重要。邏輯推理也是學生高級數(shù)學思維的顯現(xiàn)，是數(shù)學思維中推理特征的表露。通過例子“已知a>0，b>0，且a-■=3（■-b），求證：（a+2）b≥3”來分析一下思維品質(zhì)在邏輯推理過程中的作用。

學生1：條件：a，b都是正數(shù)，等式可能起到消元的作用，能得到：a-■>0時，a>1，01;a-■=0時，a=b=1，其中a=b=1剛好是結(jié)論等號成立。結(jié)論相當于說（a+2）b最小值為3，想到函數(shù)。

發(fā)現(xiàn)二階導數(shù)比較麻煩，換成分析法：

平方化簡為：b（b-1）2≥0，顯然成立。

該生的邏輯推理有明確的目的性和主動監(jiān)控，思維的批判性和靈活性讓不方便時主動改變方向，積極尋找更緊密的新證據(jù)，順利完成推證。

學生2：a用b表示比較麻煩，試試用中間量：

這一推證體現(xiàn)了思維的批判性與深刻性對邏輯推理過程的主動簡化，體現(xiàn)了對證據(jù)功能的不同認識。

學生3：

這個邏輯推理更為深刻，主動保留了■-b結(jié)構(gòu)特征，為■+b出現(xiàn)創(chuàng)設了良好的環(huán)境，使推證更為便捷。

條件是等式，要證明的是不等式，應該是可以放縮處理的;條件等式完成了a，b間的過渡，試著將結(jié)論變形為a+2≥■，a≥■-2，b≥■這些關(guān)聯(lián)較為緊密的形式。于是筆者形成了方法4：

依據(jù)結(jié)構(gòu)特征，加強了證據(jù)與假設的聯(lián)系，體現(xiàn)對知識的深刻把握。解題失敗時靈活的調(diào)整，也可以選擇函數(shù)g（x）=■-x，方法具有一般性，思維更深刻。

邏輯推理所表現(xiàn)的思維活動是按一定的邏輯規(guī)律進行的，思維的邏輯性強弱決定推理條理性好壞。思維越靈活，合情和演繹推理的交替就越迅速，概括、分析、遷移等思維手段就越靈活;思維越深刻，就越能全面地分析證據(jù)和假設的特征和關(guān)聯(lián)，越能抓住數(shù)學規(guī)律與知識本質(zhì)，越能把握知識發(fā)展趨勢，越能找到本質(zhì)創(chuàng)新的方法;思維的批判性能讓學生在較短的時間內(nèi)判斷證據(jù)的合理性，及時選擇更加有利的方向和有力的證據(jù)，使推理的路徑更為快捷。在邏輯推理的整個過程中，需要學生對證據(jù)和假設（結(jié)論）具有評估整合、批判反思的能力，這些能力都依賴思維品質(zhì)的主動監(jiān)控。因此，思維品質(zhì)是邏輯推理能力判斷的主要標志。

依據(jù)要素分析，高中生數(shù)學邏輯推理能力應是由形成證據(jù)的質(zhì)量、推理過程中的分析證據(jù)與結(jié)論性質(zhì)與關(guān)聯(lián)的技能和基于思維品質(zhì)的元認知監(jiān)控三個方面構(gòu)成（見圖2）。

圖2? 邏輯推理能力要素圖

三、邏輯推理能力評價指標的分析

1.邏輯推理能力評價的三級指標

《2017課標》把邏輯推理素養(yǎng)劃分為三個水平，每個水平又從“情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思”四個方面分別闡釋。情境與問題上，由熟悉到關(guān)聯(lián)再上升到綜合情境;知識與技能上，由知識識別、了解到方法探索、選擇再上升到思想領(lǐng)悟;思維與表達上，從有條理到準確再上升到嚴謹?shù)谋磉_;交流與反思上，從明內(nèi)涵到亮觀點再上升到跨學科[4]。喻平教授將包括邏輯推理在內(nèi)的數(shù)學關(guān)鍵能力分為三級水平，一級水平對應知識理解，二級水平對應知識遷移，三級水平對應知識創(chuàng)新[5]。這兩種劃分方式更側(cè)重于對已經(jīng)提出的數(shù)學問題所呈現(xiàn)的難度劃分或水平要求，借助不同水平要求的問題可以反映學生的能力水平，但不能替代能力的衡量。水平低的試題也能反映出學生不同的推理能力，有些學生做出了水平高的問題并不能代表邏輯推理能力就好。學生的邏輯推理能力是在解題過程中才能體現(xiàn)的活的思維，出題可以從水平要求去考慮，但衡量能力更應該側(cè)重過程表現(xiàn)。

邏輯推理能力結(jié)構(gòu)確定了評價的一級指標和二級指標，結(jié)合學生的過程表現(xiàn)，通過對邏輯推理能力進行行為表現(xiàn)分析，確定三級指標（見表1）。

2.邏輯推理能力評價指標的解讀

邏輯推理過程經(jīng)常存在兩輪推理： 第一輪在假設過程中，學生利用已有的經(jīng)驗、基于實踐得到的數(shù)學事實、數(shù)學知識提出假設，以合情推理為主，是激發(fā)學生進行邏輯推理的前提，有時甚至不出現(xiàn)這一輪推理，比如課本中的有關(guān)證明題，就只需演繹推理進行證實。假設過程里的推理有一定的合理性但不一定具有科學性，其科學性需要經(jīng)過推證過程的嚴格證明。第二輪在推證過程中，主要以演繹推理為主，也會夾雜著對證據(jù)功能的猜測和選擇，證據(jù)應當充分、科學，這是邏輯推理準確性的前提。證據(jù)可以是數(shù)學概念、定理、公式或者是已經(jīng)證明正確的結(jié)論。學生收集的數(shù)據(jù)、文獻、提供的數(shù)學事實需要權(quán)威可靠;學生需要加強對數(shù)學知識的理解，提升推理技能，以保證推證過程中形成新證據(jù)的嚴謹有效。數(shù)學結(jié)論通常不是一個證據(jù)就能推證的，需要多條證據(jù)相互作用形成邏輯嚴密的證據(jù)鏈，才能完成邏輯推理;邏輯推理也可能存在多條路徑、從不同角度予以肯定。這些證據(jù)和路徑之間互相補充，更能提升學生的邏輯推理能力和對知識的深刻理解。

為了防止推理過程的浪費甚至無效，必須首先分析假設的可能性及必要性。學生收集的證據(jù)也可能是無效的，所以要對證據(jù)進行關(guān)聯(lián)性分析，將表象關(guān)聯(lián)的證據(jù)推證出內(nèi)在的知識關(guān)聯(lián)，將弱關(guān)聯(lián)補充成強關(guān)聯(lián)。在證據(jù)與形成假設的關(guān)聯(lián)過程中，學生可以從不同視角進行考量。如從直觀的圖形上尋找位置的關(guān)聯(lián)，再從數(shù)量上精細解釋這種關(guān)聯(lián)的內(nèi)在合理性等。在考慮證據(jù)與形成假設的關(guān)聯(lián)時，經(jīng)常會出現(xiàn)有效證據(jù)和無效證據(jù)。評估證據(jù)質(zhì)量時無效證據(jù)剔除的越早，對推證過程的干擾就越少;有效證據(jù)又分成支持證據(jù)和矛盾證據(jù)，支持證據(jù)根據(jù)關(guān)聯(lián)強弱可以分為表象支持和理論支持，表象支持從事實上出現(xiàn)與假設相符的表面現(xiàn)象，理論支持則從正確的數(shù)學知識、原理上做出相符的演繹證實，矛盾證據(jù)則可以對假設予以推翻修正。

學生數(shù)學推理的邏輯性是指按照數(shù)學知識的邏輯聯(lián)系，根據(jù)運算、推理的順序進行思考，學生在形成假設和進行推證時，都應有明晰的思路，用推理符號形成準確的證據(jù)鏈。數(shù)學思維的靈活性不僅體現(xiàn)在選擇上和證據(jù)的使用角度上的靈活性，也體現(xiàn)在推理過程中類比、歸納與演繹、證實與反駁的相互交替作用上。不同學生推理法則的認知不同，知識掌握程度不同，思維的嚴謹性不同，推證出的結(jié)論深度也不同，因此推理的深度必然存在差異。邏輯推理時學生思維活動應該是積極理性的，推證時應該加強反駁思維，對于產(chǎn)生的結(jié)論有評判意識，盡量尋找更多、更直接的證據(jù)解釋與論證。

課堂教學中，學生的邏輯推理過程是對知識的應用、組合、再加工，學材中的知識往往是靜態(tài)的結(jié)果，學生對于知識的形成并不清楚，學習往往是被動記憶而非主動理解。將邏輯推理融進教學，讓學生經(jīng)歷推證新知識的過程，是知識主動建構(gòu)的過程。如果數(shù)學知識是學生自己通過現(xiàn)象歸納發(fā)現(xiàn)的、查閱文獻梳理的、經(jīng)過反復推證探索的，那數(shù)學學習就充滿樂趣和意蘊。

引導學生學習時，教師要自覺反思：促進知識掌握的同時，是否促進了學生素養(yǎng)提升？學生能力到了何等水平？如何有針對性地評價學生的能力表現(xiàn)？教師要針對邏輯推理進行粗淺研究，一方面促進自身對教學的反思，關(guān)注和引導好學生邏輯推理素養(yǎng)的提高;另一方面通過對邏輯推理能力要素的剖析，為教學中對學生的邏輯推理能力有效評價提供一個參考的方向。

參考文獻

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[3] [4] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017版）[S].北京：人民教育出版社，2018：75-79，101-102.

[5] 喻平.數(shù)學關(guān)鍵能力測試試題編制：理論與方法[J].數(shù)學通報，2019（12）：1-7.

【責任編輯? 郭振玲】