數學新定義問題的類型及教學實施

盛小青

摘? ?要

近年來“新定義問題”橫空出世，成為各地中考的熱點問題。立足多維視角，從各地中考新定義問題現狀出發，分析新定義問題的常見類型，思考新定義問題命題和畢業升學選拔的的考察價值，剖析學生思維層面常見的共性問題，重新審視面對新定義問題應如何秉承培養學生數學學習關鍵能力的目標進行教學，及時總結教學經驗，梳理得出可操作、可復制、可輻射的培養策略。

關鍵詞

新定義問題? 多維視角? 關鍵能力? 培養策略

近年來，新定義問題逐漸步入大眾視野，成為各地中考的熱點問題。新定義類型問題的共性特點是題目通過提供一段素材或介紹一個新概念，或給出一種新的解法引導學生進入問題情境，要求學生在充分閱讀理解材料的基礎上，通過概念理解、性質探究、問題解決等有遞進順序的學習探究方式去尋找解決未知領域問題的新方法和新路徑。每一個新定義問題都是一個微型的主題研究項目，對學生的數學學習力和學科關鍵能力提出了很高的要求，學生必須在有限時空內經歷復雜的思維碰撞，包括對新定義內容的概念理解、新知內化、方法順應及運用新知解決實際問題。利用新定義問題進行畢業選拔和考試評價更加公平公正，能有效規避題海戰術等低效的解題教學方式大行其道。新定義問題與其他題型試題考察的知識點互不干涉，獨立成題，命題者還能依托自己的思考和考察目標的需要進行自創或改編，賦予新定義問題更多新、奇、特的特點和方式，彰顯數學學習中思想方法和學科關鍵能力的價值，新定義問題具備的考察優勢和價值可以有效彌補其他常規試題的弊端和不足，能更加客觀公正去評價和衡量學生的學科素養，這些都成為新定義問題成為近年中考熱點且還將繼續發揮效用的重要原因。

一、新定義問題的類型

1.基本運算類新定義題

基本運算類新定義題是指在已有運算形式基礎上引入新的運算符號或者新的運算規則，借助新的符號或者新的運算規則進行數學推理的一類問題。基本運算類新定義題要求學生能熟練運用新數學規則進行數學計算、思維、推理、驗證。

例1（2020·重慶） 在數的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數充滿好奇，如學習自然數時，我們發現一種特殊的自然數——“好數”。

定義：對于三位自然數n，各位數字都不為0，且百位數字與十位數字之和恰好能被個位數字整除，則稱這個自然數n為“好數”。

例如：426是“好數”，因為4，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除;643不是“好數”，因為6+4=10，10不能被3整除。

（1）判斷312，675是否是“好數”？并說明理由;

（2）求出百位數字比十位數字大5的所有“好數”的個數，并說明理由。

2.幾何圖形類新定義題

幾何圖形類新定義題是在學生已有幾何圖形學習的知識架構的基礎上，引入富有美感且與常見的多邊形概念及其性質研究高度相關的新型幾何圖形的一類問題。通過理解新型幾何圖形概念、探究圖形性質、解決實際問題考察學生幾何直觀、空間想象和借助圖形語言進行數學思考的思維品質。

例2（2020·南通）

【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線。

【理解運用】

（1）如圖①，對余四邊形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC.若AC=AB，求sin∠CAD的值;

（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形。證明你的結論。

【拓展提升】

（3）在平面直角坐標系中，點A（-1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內部，∠AEC=90°+∠ABC.設■=u，點D的縱坐標為t，請直接寫出u關于t的函數解析式。

3.函數類新定義題

函數類新定義題依托新型函數問題情境，綜合考察學生遷移運用在學習已有函數模型基礎上積累的經驗對新型函數概念及其相關性質進行類比研究的一類問題。函數類新定義題旨在遷移建構和類比探究中進行動態分析和發散性思維培養。

例3（2020·鎮江二模） 我們定義：把y2=ax叫做函數y=ax2的伴隨函數。比如：y2=x就是y=x2的伴隨函數。數形結合是學習函數的一種重要方法，對于二次函數y=ax2（a≠0的常數），若點（m，n）在函數y=ax2的圖像上，則點（-m，n）也在其圖像上，即從數的角度可以知道它的圖像關于y軸對稱。解答下列問題：

（1）y2=x的圖像關于_____軸對稱;

（2）①直接寫出函數y=4x2的伴隨函數的表達式______;

②在平面直角坐標系中畫出y=4x2的伴隨函數的大致圖像;

（3）若直線y=kx-3k（k≠0）與y=4x2的伴隨函數圖像交于A、B兩點（點A在點B的上方），連接OA、OB，且△ABO的面積為12，求k的值;

（4）若直線CD（CD不平行于y軸）與y=ax2（a>0的常數）的伴隨函數圖像交于C、D兩點（點C、D分別在第一、四象限），且∠COD=90°，試問C、D兩點的縱坐標的積是否為常數？如果是，請給予證明;如果不是，請說明理由。

二、新定義問題的教學實施

新定義問題具有不可控及無法預設的現實特點，教學中探索提升解決新定義問題能力的解題策略和教學路徑顯得非常必要且迫切。通過教學中對概念的分解與解讀、數據的提取與分析、幾何直觀與構思圖形的能力培養、關注猜想與合情推理，加強常態思維與發展性思維能力并舉，化解新定義問題的難度，在潛移默化中不斷滲透數學思想方法，引導學生歸納總結突破重難點的思路，運用掌握的數學學科關鍵能力去揭開新定義問題的神秘面紗，抽絲剝繭，排除干擾，直達問題本質。