基于ESPRIT 算法的頻率分集雷達目標分離估計技術研究

陳新峰

（中國電子科技集團公司第二十七研究所，河南 鄭州 450000）

1 概述

陣列掃描雷達以其靈活的波束控制能力得到廣泛應用和快速的發展，其中相控陣雷達的應用最為廣泛。傳統的相控陣雷達主要通過子陣或者單元天線后接入移相器，對空間回波進行相位補償，合成波束，具有快速，靈活、無機械慣性等優勢。但是隨著陣列規模增大，天線單元數越來越多，雷達設備的體積、重量、成本都面臨重大挑戰。

頻率分集陣列（Frequency Diverse Array，簡稱 FDA）[1，2]由Antonikh 和Wicks 在2006 年國際雷達會議上首次提出，不同于一般的傳統相控陣，頻率分集陣列各相鄰陣元間有一個遠小于基準載頻的頻率偏移量，使得FDA 天線方向圖同時依賴于角度、距離和時間。頻率分集陣列中，由于各陣元輻射頻率不同，其遠場場強在空間相干疊加，使得波束主瓣能量在空間呈彎曲分布，也就是波束指向隨著距離的變化而發生改變，從而實現空間波束掃描，這種方式比相控陣更為靈活，同時也降低了系統復雜度和功耗。其次，根據頻率分集陣列的輻射特性，它可以在空間形成虛擬輻射源，當陣元間頻率增量取合適的值時，虛擬輻射源與實際輻射源位置可相差十幾公里，在現代化電子戰中可以實現對敵電子欺騙和電磁干擾，有效提高己方雷達平臺的安全性，這在實際雷達應用中具有重要意義。

有研究成果雖然分析了頻控陣雷達波束的距離依賴特性，但如何利用這種特性的文獻較少。一些學者指出這種特性可以用于抑制距離依賴性干擾，但沒有給出具體的應用方案。實際上，頻控陣雷達波束既具有目標距離依賴性，也具有目標方位角依賴性，但其距離向和方位角向存在耦合問題，所以常規頻控陣雷達并不能完全抑制距離依賴性干擾。綜合利用線性頻控陣雷達的距離和方位角依賴特性，可以實現目標的到達距離和到達角二維聯合估計。

2007 年，Mustafa Secmen 和 Simsek Demir 等人對FDA 空間波束掃描特性進行了分析，發現波束掃描在時間、距離和角度上呈周期性，并推導了波束掃描角隨時間的變化規律[3]。文獻[4]研究了波束指向和陣元間頻率增量的關系。2008 和 2009 年，C.J.Baker 和 Karl Woodbridge等人設計了一個8 單元FDA 均勻線陣，并在微波實驗室中對其輻射特性進行了測試[5，6]。

2 頻率分集陣列信號模型

頻率分集陣列雷達信號建模，以一維線陣為例，其陣列結構圖如圖1 所示。陣列中的每個天線單元發射一個具有頻差的信號，例如第1 個單元發射射頻信號頻率為f0，第 2 個單元發射射頻信號頻率為 f0+Δf，第 n 個單元發射射頻信號頻率為 f0+（n-1）Δf。

圖1 天線陣列示意圖

假設遠場目標來波方向為θ0，距離為R0，陣元間距為d，基帶信號為點頻信號fB，根據相控陣類似的推導過程可以得到第n 個單元接收的回波信號為

上式中主要包含了7 項，經過解調后的基帶信號項ej2πfBt可以記為 s（t），目標距離和方位都會在信號相位上產生影響。對式中最后一項進一步推導可以得到

因為每個陣元間發射信號的頻偏非常小，所以Δf/f0＜＜1，因此最后一項的相位影響可以忽略不計，對相位的影響主要體現在后面5 項上，可以將后面5 項記為導向矢量an（R，θ），則陣列合成接收信號為：

3 ESPRIT 算法

ESPRIT 是“Estimating signal parameters via rotational invariance techniques”的縮寫，即為“通過旋轉不變技術估計信號參數”。該算法的中心思想是利用子陣的平滑，平滑后的子陣與平滑前子陣的信號協方差矩陣僅僅相差一個由波達方向確定的旋轉不變因子，然后可以通過旋轉不變因子獲得波達方向信息。同MUSIC 算法一樣，ESPRIT 算法是空間DOA 估計中的另一個經典算法，它也需要對陣列接收數據的自相關矩陣進行特征值分解。但是這兩種算法存在著明顯的區別：MUSIC 算法利用信號方向向量與噪聲子空間的正交性，而ESPRIT 算法利用子空間的旋轉不變特性。ESPRIT 算法相比于MUSIC 算法，不需要進行譜峰搜索，因此大大降低了計算復雜度。

ESPRIT 算法的概念是由Roy 和Kailath 提出的。將陣列分成兩個相同的子陣列。由于兩個子陣的結構完全相同，對于同一個信號而言，兩個子陣的輸出只有一個相位差。下面假設兩個子陣的接收數據如下：

子陣接收的信號可以選擇在陣列流型上滿足特定的關系，使得A1=A，A2=AΦ。信號的回波方向全部包含在A和Φ 中，只要能求解出其中一項就可以估計出信號方位。若使兩個子陣相互錯開一個陣元位置，其中的Φ 可以表示為

由上式可以看出Φ 是一個對角矩陣，且對角元素相同，為兩個子陣由于陣列流型產生的相位差。Φ 稱為旋轉不變因子，求解出Φ，再根據對角元素與目標方位的關系就可以求得θ。

先將兩個子陣的合并寫成矩陣形式

信號的協方差矩陣為

對協方差矩陣進行特征分解，得到下式

有唯一的非奇異矩陣

對兩個子陣合并起來的子陣有相同的形式，所以有

子陣的信號子空間的關系如下

其中有

可以得到Φ 是等價于Ψ 的特征值構成的對角矩陣。所以一旦得到上述的旋轉不變關系矩陣Ψ，就可以直接得到信號的入射角度。

4 FDA 陣列的旋轉不變因子算法

根據ESPRIT 算法原理，應用到FDA 中，需要推導出相應的旋轉不變因子，并且由于FDA 中目標的距離和方位是耦合的，要能解耦，分別得到距離、方位的二維估計。接下來先推導旋轉不變因子，回顧下式。

上式中的時間函數中不包含距離、方位信息，因此只考慮和距離、方位信息有關的導向矢量，提出導向矢量并合并表達式可以得到

因此可以得到FDA 的旋轉不變因子Φ 為

通過ESPRIT 算法計算求得矩陣Ψ，求得其特征值εi，計算特征值復角，有下式

其中的k 為整數，求解K 和F，可以設計特定的Δf，設第一次發射頻率間隔為Δf1，第二次發射頻率間隔為Δf2，則有

聯立方程組可以求得

求解F 時，選取Δf 一致，改變陣列流型，反向排列一次數據可得到下式

聯立方程組可以求得

5 算法仿真與分析

仿真實驗中，雷達工作射頻中心頻率f0為10GHz，基帶信號100MHz 點頻信號，信噪比20dB，一維線陣單元天線個數22 個，采用點數200 個。仿真結果如表1 所示。

表1 仿真結果對照表

如表1 所示，給出了目標位于不同方位角與不同距離上時，應用文中提出的算法進行分離參數估計，仿真中設計兩個頻偏，其中 Δf1=10kHz，Δf2=10.1kHz，再通過陣列流型變換組合求解出距離與方位角估計值，可以看出在大信噪比下，能夠準確地估計出目標距離與方位，同時由于該方法直接可以直接求解，省去了二維譜峰搜索，有效節省時間與計算資源。

接下來對不同信噪比情況下，算法的性能進行仿真實驗，采用200 次蒙特卡洛仿真實驗，仿真參數接收回波信號信噪比變化范圍從-10dB 到30dB，仿真設置目標位于距離10.2km，方位4 度方向上。在每個信噪比條件下取多次計算的估計值與真實值誤差的均方根值進行分析。仿真結果如圖2、圖3 所示。

從仿真結果中可以看出，在信噪比差的情況下，方位角與距離估計誤差較大，隨著信噪比提升，估計誤差得到快速改善。在-10dB 至5dB 范圍上，估計誤差快速減小，在信噪比0dB 情況下，方位角估計誤差小于0.005 度，距離估計誤差小于200m。隨著信噪比進一步改善估計結果誤差還可以進一步提升但是改善效果趨于平緩。

圖2 方位角估計誤差仿真結果

圖3 距離估計誤差均方根仿真結果

6 結論

針對頻率分集陣列雷達目標參數估計問題，為了避免二維譜峰搜索和解決頻率分解目標方位-距離耦合問題。提出了采用旋轉因子不變法進行兩維分離參數估計的方法。通過設置不同的頻率偏置與改變陣列流型，對方位-距離參數進行解耦和，通過構建回波的不同參數協方差矩陣，結合推導出的旋轉不變因子，精確估計出目標方位、距離信息，并通過仿真驗證了算法的正確性與有效性，算法可有效改善頻率分集雷達參數估計的性能。