基于學科能力培養的單元復習課

周強

[摘? 要] 單元復習課教學的基本環節包括：構建思維導圖、回憶知識要點、分析例題、反饋練習、鞏固提高等環節.文章意在探討單元復習課中如何有效地夯實學生的基本知識、強化學生的基本技能，由此更有效地提升學生歸納整理、閱讀理解、操作實踐、語言表達、演繹推理等學科能力.

[關鍵詞] 復習課;例題;學科能力

復習課的主要任務是進一步深化理解和鞏固數學知識、形成技能，培養學生運用數學知識與方法分析問題、解決問題的能力. 復習課既可以夯實學生的知識、方法，又培養了學生化未知為已知、化繁為簡的數學思想，提升了學生的學科能力.

復習課的意義

復習課的目的是引導學生系統地總結、鞏固已學過的知識，使學生對知識加深理解、牢固掌握、靈活應用，提高學生解決實際問題的能力. 復習課要有利于構建知識結構，揭示知識之間內在的、本質的和必然的聯系. 在單元復習時，應把握如下要點：

（1）深化公理化思想的滲透

客觀事物的存在都具有其各自的存在條件和規律，數學知識亦如此. 數學知識本身的規律性以及知識之間的邏輯關系是客觀存在的，我們只是在學習相應的知識時把它揭示出來而已. 那么這種知識的存在性的認識，實際上就是我們提出的學習公理化思想的根本原因.

（2）強化論證推理的訓練

論證推理，就是應用已學過的知識，通過對其已知條件、圖形結構與未知結論的分析，探索論證的思路，選擇恰當的論證方法予以證明，并能用規范的數學語言闡述論證過程.

（3）加大自主探究的力度

問題探究是教學過程中的重要環節，通過對問題的探究，不僅可以培養學生的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）能力，還能引導學生養成用數學的眼光發現和提出問題、用數學的思維分析和解決問題、用數學的語言表達和交流問題的習慣，更有助于培養他們的數學學科能力.

例題選擇的目的

復習課例題的選擇，既要考慮對知識的產生、鞏固、拓展和應用有裨益;又要關注例題的典型性、方法的啟迪性、思維方式的科學性、思維品質的培植性;還要有趣味，有品位，有意味;更要能夠體現數學獨特的育人價值[1].

通過例題教學與練習，學生可以進一步鞏固數學的基礎知識，形成基本技能，深化對數學概念和定理的理解與掌握，加強對數學思想方法與規律的認識和理解，進一步提高學生應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

學科能力的內涵

學科能力是指學生在面對數學相關的生活實踐或學習探索問題情境時，有效地發現問題、分析問題、解決問題所必備的能力. 它是人才培養體系中所必須培養的、支撐終身發展和適應時代要求的能力，是發展學科素養、培養核心價值所必須具備的能力基礎[2].

學科能力的培育

基于數學學科特點和考查功能，復習課中教師應培育學生的歸納整理、閱讀理解、操作實踐、語言表達、演繹推理能力.

現以七年級（下）第二章“相交線與平行線”的單元復習為例.

一、歸納整理能力

數學教學中教師不但要讓學生掌握基本的數學知識，還要注重培養學生的數學思維能力. 歸納和整理是思維訓練的一個基本內容，教學中有針對性地開展歸納整理能力訓練，是發揮學生主體作用的重要環節，對學生數學學科能力的培養有著積極的意義.

1. 歸納結構框架

就平行線和相交線的內容結構而言，其“基本事實（公理）—概念—判定—性質—應用”的公理化體系清晰明確，可以呈現一個完整的“抽象數學概念—形成聯結數學概念的判斷而得出的命題—通過推理、論證，形成一個層次分明、結構嚴密的邏輯系統”的過程，展現“從特殊到一般”“從定量到定性”的研究路徑及發現和提出問題的思想和方法[3].

2. 整理知識要點

就平行線和相交線的內容知識而言，在同一平面內，從兩點的位置關系，拓展到點與直線的位置關系，延伸到兩直線的位置關系，引入這章學習的起點，再引導學生把握這章的知識要點. 復習知識要點，可以讓學生對教材中的概念、定理進行補充與延伸、鞏固與深化、補救與強化.

（1）同一平面內的兩條直線的位置關系只有相交與平行兩種.

（2）兩直線相交所成的四個角中，有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.

（3）兩直線相交所成的四個角中，有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角. 對頂角的性質：對頂角相等.

（4）兩直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，那么就稱這兩條直線相互垂直.

（5）垂線的性質：

①在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;

②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

（6）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離.

（7）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

（8）兩條直線被第三條直線所截，構成八個角，在那些沒有公共頂點的角中，

①如果兩個角都在截線的同側，在兩條被截直線的同一方，那么這一對角叫同位角;

②如果兩個角在截線的異側，且在兩條被截直線之間，那么這一對角叫內錯角;

③如果兩個角都在截線的同側，在兩條被截直線之間，那么這一對角叫同旁內角.

（9）平行線的判定方法.

（方法一）由定義：在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行.

（方法二）平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

（方法三）平行線的判定公理：同位角相等，兩直線平行.

（方法四）平行線的判定定理：內錯角相等，兩直線平行.

（方法五）平行線的判定定理：同旁內角互補，兩直線平行.

（10）平行線的性質：兩條直線被第三條直線所截，

①兩直線平行，同位角相等.

②兩直線平行，內錯角相等.

③兩直線平行，同旁內角互補.

二、閱讀理解能力

閱讀理解能力是指學生能從語言文字與數學符號中獲取正確意義所需要的信息，把語言文字描述的圖形想象出來，并描繪出來，再對圖形加工、整理，進一步抽象其中包含的解題關鍵信息.

例1已知∠1以及∠1內一點P.

（1）在圖2中畫出∠P，使∠P的兩邊分別與∠1的兩邊平行，且用量角器量一下∠1，∠P的度數，可以發現：它們之間的數量關系是______;

（2）在圖3中畫出∠P，使∠P的兩邊分別與∠1的兩邊平行，且與（1）中的方法不同，量出∠1，∠P的度數，可以發現：它們之間的數量關系是______;

（3）由上述兩種情況可以得出結論：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角______.

本題要求學生在閱讀試題后，根據敘述畫出圖形，讓學生動腦動手親身經歷探究問題的過程，經歷從定量到定性的過程，從而獲得研究的初步體驗，加深對問題的思考與感悟，激發學生探索問題的求知欲，促使學生養成獨立思考和重視解決實際問題的學習習慣. 此題考查了平行線的性質，掌握平行線的性質是解決問題的前提，等量代換起到非常重要的作用，也考查了分類討論思想的應用.

三、操作實踐能力

數學源于對現實生活的抽象，通過抽象得到了數學研究的對象. 數學實踐操作是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式;是在教師的引導下，學生通過實踐操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的數學活動. 實踐操作具有直觀性，能將抽象的數學問題可視化，增強學生對知識的感性認識.

例2圖4是長方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖5，則∠FGD=_____，再沿BF折疊成圖6，則圖6中∠DHF=_____.

本題是一道折疊問題，第1問面向全體學生，要求他們利用平行線的性質直接找出同位角;第2問要求學生具有審慎思考、分析推理、圖形重構等多種能力. 此題考查了平行線的性質、翻折對應角相等，熟練掌握平行線的性質和翻折變換的性質是解決問題的關鍵，也考查學生從形象思維過渡到抽象思維的能力.

四、語言表達能力

語言表達能力不僅是對數學語言運用能力的考查，更是對思維過程的考查，通過學生的答題過程判斷學生是否理解數學概念、性質定理，是否真正掌握數學思維方法、是否具有信息處理能力. 教師在批閱作業時完全通過書面答題判定，學生沒有當面說明、解釋和展示的機會，因此要求他們做到能夠用精確、簡約的數學語言去表達對數學的想法和思考的過程.

例3已知AB∥CD，點M，N分別在直線AB，CD上，E是平面內一點，∠AME和∠CNE的平分線所在的直線相交于點F.

（1）如圖7，當E，F都在直線AB，CD之間且∠MEN=80°時，∠MFN的度數為_________;

（2）如圖8，當E在直線AB上方，F在直線CD下方時，探究∠MEN和∠MFN之間的數量關系，并證明你的結論;

（3）如圖9，當E在直線AB上方，F在直線AB和CD之間時，直接寫出∠MEN和∠MFN之間的數量關系.

本題是一道需要通過作輔助線來求解的問題，添加輔助線對于學生的語言表達要求較高. 語言表達能力要求學生能正確運用數學術語、符號、算式、推理步驟表達自己的思想，同時要求規范，符合數學表達程式和要求，具有邏輯性和條理性. 只有條理清晰的思維，才能有規范流暢的表達. 此題要應用分類與整合、化規與轉化的思想.

五、演繹推理能力

邏輯推理是數學學科六個核心素養之一. 邏輯推理包括從特殊到一般的歸納推理，以及從一般到特殊的演繹推理. “數學教育的主要價值，學習數學的最主要目的是培養人的思維能力，特別是邏輯思維能力，使學生善于思考，有獨創精神.”[4]

例4如圖10，PQ∥CN，A，B為PQ上兩點，AD平分∠CAB交CN于點D，E為AD上一點，連接BE，AF平分∠BAD交BE于點F.

（1）若∠C=40°，則∠EAF=______;

（2）作AG交CD于點G，且滿足∠1=∠ADC，當∠2+∠GAF=180°，試說明：AC∥BE;

（3）在（1）問的條件下，將AC繞點A以每秒10°的速度逆時針轉動，將DN繞點D以每秒30°的速度逆時針轉動，DN轉至射線DC后立即以相同速度回轉，若它們同時開始轉動，設轉動時間為t秒，當DN回到出發的位置時同時停止轉動，則在轉動過程中，當AC與DN互相平行或垂直時，請直接寫出此時t的值.

此題考查了平行線的性質和判定，還考查了學生分析推理能力，分類討論思想、數形結合思想的應用. 教師不僅要讓學生掌握獲得知識的策略、方法，更要讓學生運用已有的知識解釋現象產生的原因，運用數學的邏輯方法推理結論的合理性，發展表達有理有據的推理能力.

小結

以上復習教學過程，首先從基礎知識出發，然后應用已學知識解決問題，既能覆蓋全章知識要點，又具有方法的典型性. 筆者從既能激發學生的思維又具有一定探索性的問題出發，設計整理歸納、閱讀理解、操作實踐、語言表達、拓展延伸等教學環節，創造多維度思維平臺. 筆者在培養學科能力的驅動下展開教學，引導學生經歷知識的生成、歸納、應用和延伸的過程，變教學實踐為思維活動再現，進而讓知識成為思維活動的結果. 在教學中筆者引導學生注重基礎知識的理解、基本模型的構建、思想本質的挖掘、基本方法的應用，讓學生實現“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把數學基本思想、基本活動經驗落實在基礎知識、基本技能的教學過程中，使數學學科能力真正落地.

參考文獻：

[1]鄭瑄，沈吉爾. 也談好的例題教學是照亮學生解題的燈塔[J]. 數學通報，2020（8）.

[2]任子朝，趙軒，郭學恒. 基于高考體系的關鍵能力的考查[J]. 數學通報，2020（8）.

[3]章建躍. 研究三角形的數學思維方式[J].數學通報，2019（4）.

[4]章建躍. 章建躍數學皎月隨想錄（上卷）[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.