一種小波閾值函數構建的圖像去噪算法研究

萬莊姝，譚碧瑩，段雅倩，閔鋼，舒忠,

（1.荊楚理工學院，荊門448001；2.荊門日報社荊門新聞網，荊門448000）

0 引言

當今，針對圖像處理的應用已涉及眾多領域，特別是圖像識別和人工智能等方面，圖像處理都是重要的組成環節和重要基礎。圖像中的噪聲嚴重影響到了圖像識別或人工智能等技術應用，在這些技術應用中，圖像邊緣檢測是最重要的處理過程之一，是圖像增強[1-2]、圖像分割[3-4]等處和圖像特征分類[5-6]、圖像特征提取[7]等處理的關鍵，噪聲所造成的影響都具有較強的破壞性，因此，圖像去噪具有較高的研究和實用價值。

在圖像去噪處理中，需要考慮的主要因素是在去除噪聲的同時，必須確保圖像自己具有特征的完整性，這些特征主要包括：圖像邊緣輪廓信息、圖像紋理信息和圖像色彩等。因此，在圖像去噪處理方法的應用也特別重要。針對不同的噪聲種類[8-9]，在已有的圖像去噪方法中，一些濾波算法可以有效地去除噪聲，但對圖像的邊緣信息和紋理信息都會產生不同程度的破壞；一些濾波算法則雖然可以有效保護圖像的正常信息，但去噪效果不理想，很難將圖像中的高頻信息全部準確分離出來；一些算法對某一種噪聲去除效果良好，但其他噪聲則無能為力；還有一些得法運算效率不高，等等。

小波圖像去噪方法的提出，其主要依據是圖像經過小波變換后，可以通過小波系數對圖像進行稀疏性描述，將圖像的組成信息進行分割，將屬于噪聲的信息分離出來。其中，屬于噪聲的信息其小波系數通常都偏小，通過設置系數閾值，獲取圖像中的噪聲信息就不是難事。采用小波閾值法去除圖像噪聲，關鍵的兩步是：首先構建小波閾值函數，然后通過閾值函數計算出閾值。目前，主要小波閾值去噪方法中，常用的是軟閾值去噪函數[10]和硬閾值去噪函數[11]兩類。小波閾值去噪，首先需要對圖像進行小波變換，并對變換后的小波系數進行統計，依據小波系數的統計結果，以閾值函數計算的閾值的衡量標準，對直接進行小波變換后的小波系數進行調整，調整的主要原則是盡量多地將小波系數置為零，并用于圖像去噪處理，調整后的小波系數集合，決定了圖像的去噪效果。軟閾值圖像去噪方法是將多數的小波系數進行置零處理，應用于圖像去噪處理中，是否置零依據閾值大小決定。硬閾值去噪方法則是通過與閾值進行比較，對高于閾值的小波系數不作任何處理，而小于閾值的小波系數全部置為零，再將調整后的小波系數應用于圖像去噪處理中。基于以上小波閾值去噪策略，研究人員對此也進行了一系列的研究與實驗。

在小波圖像去噪中，閾值的選取起到了決定性的作用，閾值的大小控制至關重要。閾值大了，則小波系數大部分會被置零，圖像中有效的信息就會作為噪聲被處理掉；閾值小了，則小波系數少部分會被置零，圖像中的噪聲信息不可能全部被選出來。在已有的閾值計算方法中，有固定一個閾值和多閾值兩種方法，在多閾值選取方法中，又分為頻率分割閾值確定與空間分割閾值確定。頻率分割閾值是直接在圖像小波頻率域對圖像小波系數的組成集合進行分類，分類結果有幾組，則閾值就有幾個；空間分割閾值是對小波頻率域對應的圖像空間，進行小波系數的組成集合分類，同樣是分類結果有幾組，則閾值就有幾個。兩種多閾值方法，都具有一定的自適應圖像去噪閾值控制功能。

圖像的去噪過程，是一個對最理想圖像的預估為基礎的處理過程，在理論上，要想得到完整無缺的效果是根本不可能的，這是圖像去噪的主要難點所在。同時，圖像去噪處理還涉及到一個圖像噪聲判定問題。去噪方法有選擇，還需要考慮到噪聲類型和噪聲信息在圖像中的分布問題，特別找出噪聲信息在圖像中的分布特征尤為重要。因此，噪聲模型的建構也是圖像的去噪重要環節，圖像去噪處理主要是依托相應的噪聲模型進行實驗，獲取一些有效的去噪處理方法。當前，噪聲模型的定義，主要針對一些細微因素進行構建，重點是對噪聲的分布進行描述，較為典型的噪聲模型有：高斯分布模型、高斯與分辨率混合分布模型、高斯與拉普拉斯混合分布模型等[12-14]。依據這些噪聲模型，在進行圖像去噪處理中，也面臨著諸如：閾值函數和閾值的最佳選擇、多種混合噪聲的去除、需要進行噪聲模型構建與驗證等難題。

由于小波變換所構建的閾值函數在閾值處是連續的，可以防止圖像處理中出現新的噪聲，并以線性公式構建閾值函數，可以有效防止閾值偏差。本文以加性高斯和乘性斑點兩種典型圖像噪聲為研究目標，通過對頻域圖像去噪算法的原理進行分析，以小波變換為基礎平臺，通過構建小波閾值函數，獲取精確閾值，最終實現圖像去噪算法的設計。

1 小波頻域去噪原理

在小波變換中，小波的主要參量是時間變化量和頻率變化量，時間變化量是指截獲圖像中第一個時間段內或第二個時間段內的變化量；頻率變化量是指截獲圖像在第一個時間段內中變化比較慢的信息，也就是圖像中的低頻率信息，或者是截獲圖像在第一個時間段內中變化比較快的信息，也就是圖像中的高頻率信息。

圖像小波變換的基本原理是以時間變化參量和頻率變化參量為主體，構建一個族函數，應用這個族函數去表示（或最大程度接近）圖像信息集合，并對獲取的圖像信息集合進行頻率分類（低頻率或高頻率）和分析。小波變換可以表示隨著時間變化而具備的圖像頻率特性，可以進一步準確描述圖像的邊緣信息，這在傅里葉變換中是不能或難于實現的。

設f(t)∈L2(R)，ψ(t)為基本小波函數，其連續小波變換公式為[15]：

圖像通過離散小波變換后，具備可分解性可以充分應用于本文提出的小波閾值函數去噪算法中。

2 本文小波閾值函數去噪算法實現

2.1 小波閾值的預估

依據以上對小波去噪原理的分析，小波圖像去噪的關鍵是對閾值的預估。閾值預估必須遵循一定的規則，在最基本的閾值選取規則中，Sqtwolog 通用閾值、BayesShrink 貝葉斯閾值和最大最小值Miniman 閾值三種選取規則是進行小波去噪閾值構建的研究與應用基礎。

Sqtwolog 通用閾值的定義是：

其中，M×N為圖像的維度，σ為噪聲標準差。該閾值的預估條件為噪聲的小波系數呈現高斯正態分布。

BayesShrink 貝葉斯閾值的定義是TB=σ2σg，其中，σ2為噪聲方差，σg為噪聲高斯標準差。該閾值的預估條件為噪聲的小波系數呈現高斯分布。

最大最小值Miniman 閾值的定義是：

其中，σ為噪聲標準差，k為小波系數的個數。該閾值是對Sqtwolog 通用閾值的改進。

2.2 小波閾值函數的構建

小波閾值函數的作用是對小波系數進行運算，硬閾值函數、軟閾值函數和半軟半硬閾值函數是最基本的小波閾值函數[15]。

硬閾值圖像去噪是對小波系數進行處理的規則是：對小波系數值偏小的系數全部設置為零，小波系數值偏大的系數值則保持不變。依據離散小波變換和小波分解變換原理，硬閾值函數可以定義為：

其中，j為圖像頻率變化范圍取值，k為小波系數的個數，T(j,k)為理想閾值，T為預估閾值。

硬閾值圖像去噪不會破壞圖像的邊緣信息，但硬閾值函數不具有連續性，在處理過程中會產生新的圖像噪聲。

軟閾值圖像去噪是對小波系數進行處理的規則是：對小波系數值偏小的系數全部設置為零，小波系數值偏大的系數值則依據連續性平緩地接近于零，也就是偏大的系數值在原有值的基礎上會依次逐漸進行減小處理。同樣依據前文介紹的離散小波變換和小波分解變換原理，軟閾值函數可以定義為：

（sign 表示不可求導函數）。軟閾值圖像去噪所構建的閾值函數具有平滑的連續性，但強制性對原有小波變換的較大的系數值進行了減小，必須會造成小波變換后圖像中的部分高頻信息被忽略，引起的結果是對圖像的邊緣信息進行了破壞。

由于硬閾值圖像去噪和軟閾值圖像去噪都具有一定的缺陷，因此，出現了半軟半硬閾值去噪方法。半軟半硬閾值去噪方法的關鍵是在軟閾值函數的基礎上，對預估閾值T進行了門限控制，其門限控制參數為λ，半軟半硬閾值函數可以定義為：

在公式（7）中，當λ=0 時，T?(j,k)則為硬閾值函數；當λ=0 時，T?(j,k)則為軟閾值函數。引入該策略的主要目的是確保圖像在處理過程中邊緣信息不會被作為噪聲被剔除，又不會在處理過程中產生新的噪聲。但是，針對不同的圖像在經過小波變換后，受到圖像信息本身存在的不定因素，加之半軟半硬閾值在接受了一些優點的同時，并不能完全摒棄硬閾值和軟閾值處理中的缺陷，影響圖像在人眼中的視覺感受是必然存在的。

根據以上對三種基本的小波閾值函數去噪處理原理進行分析，總結了各自存在的問題。在此基礎上，結合以上三種方法的優點，本文將進一步對基本的小波閾值函數進行改進展開研究。

本文構建小波閾值函數的主要思想是：構建的閾值函數要在其閾值處具有連續，目的是防止圖像出現新的噪聲。以最基本的、結構最簡單的線性方程f(x)=x為基礎，建立閾值函數的線性變化標準，使小波系數平緩地接近零值，防止去噪閾值出現有等級區分的偏差，并努力控制閾值偏差出現累加性。在噪聲與有效的圖像信息之間進行有效的平滑處理，實現兩者之間的自然融合，這也是因為任何一種噪聲在預估去噪策略下，在理論上根本無法實現對噪聲進行根除；同時，無論對圖像進行何種處理，在處理完成后，產生新的噪聲是不可避免的。為了對圖像中的噪聲進行更為細致的分離，同時確保在計算閾值的過程中能夠實現自主調整，所構建的閾值函數必然能夠進行微分運算。為了確保以上思想能夠實現，結合離散小波變換和小波分解變換的應用，本文設計的小波閾值函數可以定義為：

在公式（8）中，j為圖像頻率變化范圍取值，k為小波系數的個數，a和b分別為理想閾值T(j,k)與預估閾值T或-T大小比較的系數，系數a表示大于預估閾值，系數b表示小于預估閾值，0.5×λ為小波平緩系數，sgn 表示可求導函數。從公式中可以看出，當λ=0時，可表示為軟閾值函數，當λ的取值逐漸接近0 時，閾值函數也更接近于軟閾值函數；當λ=1 時，系數0.5則還能起到平滑過度的作用，當然，在λ≠0 的一定取值范圍內，同樣可以起到平滑作用，且有助于求導計算。

本文設計的閾值函數，在理想閾值T(j,k)和預估閾值±T相等處都具有連續性。在|T(j,k)| 的值增加時（也就是小波系數大于預估閾值T時），函數f(T(j,k))的值也越接近理想閾值T(j,k)，其所具有的線性特征，確保了閾值變化中不會出現偏差現象。由于構建的閾值函數參量有所增加，而函數可以實現微分計算就可以簡化因參量過多造成的計算復雜度，在預估閾值T處進行微分計算的前提有兩個：一是理想閾值T(j,k)和預估閾值±T相等處連續（該條件已獲得）；二是函數可以進行求導計算。通過計算，當b=(0.5×λ)-a時，構建的閾值函數就可以進行微分計算。因此，通過控制公式中的參量λ和a，就可以得到最佳的圖像去噪閾值函數。

3 實驗及分析

3.1 閾值處平滑性驗證

在進行圖像去噪效果驗證前，首先以線性方程f(x)=x為分析比較基礎，對軟閾值函數、硬閾值函數和本文設計的小波閾值函數在閾值處所具有的連續性進行比較，將其設置為實驗1。實驗1 的方法是：將預估閾值和計算閾值設定為[-20,+20]之間，將預估閾值定義為x，將計算閾值定義為f(x)，分別應用軟閾值函數、硬閾值函數和本文設計的小波閾值函數對f(x)進行計算，在計算結果所形成的直線、折線或曲線中，首先比較f(x)與x所對應的值是否接近，然后比較在f(x)與x所對應的值有較大誤差時，其對應值的差距有多大。比較結果的評判方法是f(x)與x所對應的值越接近，其處理效果所具有的平滑過度特征非常直接；在f(x)與x所對應的值存在差距時，其差距值越小，可以表明其處理效果所具有向平滑過度特征方向控制的意識。另外，三種方法輸出的線性結果圖示中，在f(x)與x所對應的值存在差距的區域中，如果輸出結果是由直線和折線組成的線段，可以表明其處理結果平滑過度特征不明顯（或者說是根本不具備平滑過度特征）；如果輸出結果是由曲線組成的，則可以表明其處理結果具有平滑過度特征。實驗1 所輸出的比較結果如圖1 所示。

圖1

圖1 為使用硬閾值函數、軟閾值函數和本文設計的小波閾值函數經過線性處理后的輸出結果比較圖。

在圖1 中，本文設計的小波閾值函數進行線性處理后的輸出為曲線，可以充分地表示在閾值處具有平滑過度特征；硬閾值函數和軟閾值函數經過線性處理后的輸出均為折線閾值處的處理明顯具有生硬性。

3.2 去噪效果驗證

實驗選取三幅圖像（均為灰度圖像）進行MATLAB仿真實驗，首先通過前文介紹的圖像復原原理，構建一個加性高斯噪聲和乘性斑點噪聲混合的退化模型；然后依據前文論述的硬閾值圖像去噪算法、半軟半硬閾值去噪圖像算法和本文提出的圖像去噪算法原理，分別提取三幅出圖像中的低、高頻信息，最后以峰值信噪比（PSNR）為評價參數，對三種圖像去噪方法進行比較分析，驗證本文提出的圖像去噪方向的優勢所在。實驗2 通過MATLAB 仿真效果如圖2 所示。

圖2 對三幅圖像采用三種去噪方法的效果比較

在圖2 中，加性高斯噪聲和乘性斑點噪聲對三幅原稿圖像的影響都非常明顯，對于去噪效果的比較，本文提出的去噪算法效果最好，硬閾值去噪效果最差。實驗中還使用PSNR 作為圖像去噪效果的客觀評價參數[29]，其MATLAB 仿真實驗獲取參量見表1 所示。

表1 三種去噪算法的PSNR 參數比較表

以上實驗從主觀和客觀兩個方面進行比較都表明：在本文提出的算法具有良好的圖像去噪效果。其中，測試圖像本文算法處理結果與對應原稿基本相似，半軟半硬閾值去噪算法也與對應原稿基本相似，但硬閾值去噪算法明顯與原稿存在差別，去噪效果不徹底。通過使用峰值信噪比進行仿真實驗，本文算法處理結果獲取的參數值更接近理想值（30.00-32.00），同樣，半軟半硬閾值去噪算法也優于硬閾值去噪算法。

3.3 邊緣提取效果驗證

本文為了進一步驗證本文圖像去噪算法的效果。實驗方法是：選取與實驗2 一致的三幅原稿圖像進行MATLAB 仿真實驗，圖像邊緣提取采用二維Otsu 算法[30]，以處理效率的檢測結果作為為評價依據，對硬閾值圖像去噪、半軟半硬閾值圖像去噪和本文圖像去噪方法進行去噪后，使用二維Otsu 算法進行邊緣特征提取，評價實驗2 中三種圖像去噪方法的高效性和優良性。三種圖像邊緣特征提取方法的測試結果如圖3 所示，表2 為使用三種圖像去噪算法后進行邊緣特征提取的運算時間對比表。

圖3 使用三種圖像去噪處理后對圖像邊緣特征進行提取的測試結果

表2 使用三種圖像去噪算法后進行邊緣特征提取的運算時間對比表

以上實驗比較結果表明：使用本文算法進行圖像去噪后，其邊緣特征提取的效果優于另外兩種，其運行效率結果相近。其中，使用本文算法進行圖像去噪后，其邊緣特征提取所保留的圖像邊緣細節最為豐富；使用半軟半硬閾值去噪后，邊緣特征提取所保留的圖像邊緣細節，要優于硬閾值圖像去噪后的邊緣特征提取效果。三種方法進行的圖像邊緣特征提取處理時間相近，主要原因是所采用的邊緣特征提取方法完全相同，也說明了無論采用什么方法進行圖像去噪處理，后續的圖像特征提取在處理效率方面沒有明顯的區別，表2 統計的數據意義并不大。

4 結語

本文通過對小波圖像去噪算法進行分析，以噪聲模型構建為基礎，根據小波閾值函數的運算原理，提出了基于硬閾值、軟閾值和半軟半硬閾值結合的圖像去噪算法，構建的小波閾值函數具有四個特點，通過三個角度進行實驗分析，結果表明本文算法具有一定的優勢。本文研究的主要工作包括：

（1）構建小波閾值去噪是依據預估的閾值進行運算的，其處理過程想達到完全去除圖像中的噪聲很難實現。

（2）小波閾值圖像去噪的流程為：帶噪聲的圖像進行小波正變換→完成小波頻率分解→構建小波閾值函數→使用閾值函數對小波系數進行處理→對處理后的圖像進行小波逆變換→重構建變換后的圖像，得到去噪后的圖像。

（3）小波閾值函數的構建，在閾值處具有連續性的條件，是防止圖像出現新噪聲的有效方法。

（4）以線性方程為基礎，建立閾值函數的線性變化標準，可以防止去噪閾值出現有等級區分的偏差。

（5）在噪聲與圖像信息之間進行有效的平滑處理，可以將一些無法去除的噪聲無影響（或小影響）地融入圖像中。

（6）在小波域實現圖像去噪處理，確保小波閾值函數可以進行微分運算，是簡化運算量和確保閾值自主調整的重要前提。