試題呈現有新意 試題解決要創新
——2020年北京市高考適應性測試數學第10題解析

王芝平 肖志軍

(1.北京宏志中學 100013;2.北京工業大學附屬中學 100022)

試題再現學業水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為 A，B，C，D，E五個等級，某班共有36名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業水平測試成績如圖所示. 該班學生中，這兩科等級均為A的學生有5人，這兩科中僅有一科等級為A的學生，其另外一科等級為B. 則該班( )

等級科目 ABCDE物理1016910化學819720

A.物理化學等級都是B的學生至多有12人

B.物理化學等級都是B的學生至少有5人

C.這兩科只有一科等級為B且最高等級為B的學生至多有18人

D.這兩科只有一科等級為B且最高等級為B的學生至少有1人

試題解析題目以表格的方式呈現了物理、化學兩科學業成績各等級的人數，而選項要求我們判斷獲得某種成績的人數情況，如前兩項是判斷物理、化學等級都是B的學生人數范圍，后兩項是判斷物理、化學兩科成績中只有一科等級為B且最高等級也是B的學生人數范圍.

所以我們應想一想，在這次測試中，所有可能的成績有多少種？每一種成績對應多少學生？

在計數原理、古典概型的學習中，我們研究過一些計數問題，其中一些問題可以用表格幫助我們思考.如，我們曾經研究過投擲兩枚骰子的問題，即：

例同時擲兩個骰子，計算向上的點數之和是5的概率是多少?(人教社高中數學A版必修3)

這個問題的一種解決方法(未必是簡單方法，成績好的同學可以不用列表)是列表如下：

1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

兩個骰子分別記作第Ⅰ枚骰子與第Ⅱ枚骰子.以行表示第Ⅰ枚骰子向上的點數，以列表示第Ⅱ枚骰子向上的點數.

通過觀察這個表格，很容易發現兩個骰子向上的點數的結果共有36種，其中向上的點數之和是5的結果共有4種，這種方法能有效避免錯誤.

物理化學 ABCDE合計A530008B5a11a12a13019C0a21a22a2307D0a31a32a3302E000000合計101691036

類比上述過程，我們可以自己設計一個表格，行與列分別表示化學與物理的成績等級，如圖1所示.即“A行”表示化學成績等級為A時，物理成績各等級對應的人數；“B列”表示物理成績等級為B時，化學成績各等級對應的人數.所有可能的成績共有25種.

把已知的數據填入這個表格，該班學生中，這兩科等級均為A的學生有5人，則A行A列填5；又“這兩科中僅有一科等級為A的學生，其另外一科等級為B”，所以，B行A列填5；A行B列填3；從題設表格知，E行與E列填0.

而前兩個選項顯然是想讓我們判斷出物理、化學兩科等級都是B的學生人數范圍，即B行B列位置上的數字(a11)范圍；

后兩個選項是判斷兩科成績只有一科等級為B且最高等級為B的學生的人數范圍，即表中a12、a13、a21、a31四個數字之和的取值范圍.

那么，我們從哪個選項入手呢？當然是從容易判斷正確或錯誤的選項入手，正確得到的話，答案就出來了，否則就排除這一選項.

前三個選項一時不易判斷，第四個選項數字最小，且“至少”的反面比較簡單——若該選項不成立，則這兩科只有一科等級為B且最高等級為B的學生有0人，這樣很快得到一些確定的信息：a12=a13=a21=a31=0.

從B列上看，a11+3=16，即a11=13；從B行上看，a11+5=19，即a11=14.

得出矛盾的兩個結論，這說明假設是錯誤的！所以D必正確. 選D.

反思與啟迪本題以學生熟悉的學業成績為素材，巧妙設計趣味推理型試題，不僅情景真實、貼近學生生活，還有效地避開學生已有的解題套路與現成的公式，體現了數學的人文價值，深入考查了邏輯推理能力和創新應用能力.

數學中的表格既能直觀呈現題目的已知信息，又可以把題目的隱含信息表現出來.所以數學學習要善于讀圖、讀表和用圖與表格表達信息.

面對呈現方式和設問方式的創新設計，要善于從題設中提取信息、從設問中確定所需要的信息，學生在理解問題本質的基礎上，根據自己數學思維活動經驗(記憶系統中儲存的數學信息)選取有關的信息，尋找解題的依據，設計解題策略，尋求合適的解題工具、探索解決問題方法，梳理解題程序，最后用數學語言嚴謹、有序地進行論證、求解.

人類之所以超脫了動物而成為地球的圣靈，原因之一就是發明了自己的語言和文字.數學符號是語言文字范疇中最原始、最精華的部分，數學符號的靈活運用則構成了人類思維與創造的美妙圖案.

我們從簡單選項入手，通過否定該選項推出矛盾而確認該選項的正確性，最終做出正確選擇.如果我們不滿足于答案的獲得，那么應該追問自己，前三個選項為什么是錯誤的呢？能構造出說明它們是錯誤的具體例子嗎？思維的深刻性是重要的思維品質.

物理化學 ABCDE合計A530008B51301019C007007D002002E000000合計1016910

要想說明第一個選項“A.物理化學等級都是B的學生至多有12人”是錯誤的，就要構造物理與化學等級都是B的學生至少有13人的具體例子，為此我們假設物理與化學等級都是B的學生有13人(從B列上看，B行B列處的數最大是13)，即a11=13，則a21=a31=0且a12+a13=1.

若a12=0，a13=1，如圖2所示，若a12=1，a13=0，如圖3，圖4所示，

物理化學 ABCDE合計A530008B51311019C007007D001102E000000合計1016910

物理化學 ABCDE合計A530008B51310019C006107D002002E000000合計1016910

以上三個例子都說明選項A是錯誤的.

為了說明第二個選項“B.物理化學等級都是B的學生至少有5人”是錯誤的，則應假設物理與化學等級都是B的學生有4人，則a12+a13=10，又a12≤9，a13≤1，

所以a12=9，a13=1.所以a22=a23=a32=a33= 0，故a21=7，a31=2. 如圖5所示.

物理化學 ABCDE合計A530008B5491019C070007D020002E000000合計1016910

這就說明選項B，C都是錯誤的.

構造正例與反例是數學學習中的一項基本思維活動.