基于應變能理論的多米諾雪糕棒鏈能量轉化問題分析

李純　高婧　馬佳　吳世寶

摘 要：針對多米諾雪糕棒鏈效應中的能量轉化問題，在定性和定量分析雪糕棒能量轉化過程的基礎上，基于應變能理論給出了一種能夠闡明多米諾雪糕棒鏈效應中能量轉化現象及其成因的新解釋，且實驗的結果也基本說明了此解釋的正確性，為從多角度解釋該物理現象提供了新思路。

關鍵詞：多米諾雪糕棒鏈效應;應變能理論;能量轉化

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.10.078

0 引言

多米諾雪糕棒鏈效應（Domino Popsicle Chain Reaction），是近來在各大網絡平臺上十分火爆的一個趣味性物理實驗。在進行該實驗時，實驗者首先需要將一系列相同的雪糕棒通過輕微彎曲的方式編織成一個鏈條，然后拉動鏈條端部的一根處于平衡狀態的雪糕棒并使其產生一定的位移，即可觸發此效應。此實驗可觀察到的現象是：鏈條中的雪糕棒會依次彈起，在豎直方向上產生一定大小的位移，且越接近鏈條尾端的雪糕棒彈起的高度越高。目前，多數學者普遍認為，多米諾雪糕棒鏈效應的成因與多米諾骨牌效應的成因類似，即雪糕棒彈起的高度越來越高是由于編織雪糕棒鏈時儲存在雪糕棒內的彈性勢能不斷地疊加而引起的。另一方面，由固體力學的相關理論可知，當物體受到外力而產生彈性變形時，其內部會儲存一定的應變能，而這部分應變能在數值上與該物體因發生彈性形變而產生的彈性勢能沒有特別大的差異。因而，從應變能的角度出發來解釋多米諾雪糕棒鏈效應的成因也成為一個新的研究熱點。

雖然現有的基于彈性勢能疊加的理論已經可以較為細致地解釋多米諾雪糕棒鏈效應的成因，但是對于如何利用應變能理論解釋多米諾雪糕棒鏈效應的成因這一問題，現有的文獻資料中仍缺乏相關的討論和分析。因而，本文的主要工作就是根據應變能理論提出一種針對多米諾雪糕棒鏈效應的新的解釋思路，以便于更好地從多個角度理解多米諾雪糕棒鏈效應成因。

1 多米諾雪糕棒鏈效應能量轉化的定性分析

首先對該效應中的能量轉化問題進行簡單的定性分析。由于整個雪糕棒編織鏈中所有雪糕棒都發生了的彎曲變形，所以整個系統中就產生了彎曲應變能。通過觀察多米諾雪糕棒鏈效應被觸發后的現象不難發現，釋放雪糕棒編織鏈后，雪糕棒編織鏈系統中儲存的應變能開始轉化為雪糕棒的重力勢能、雪糕棒的動能、雪糕棒之間因摩擦產生的能量以及雪糕棒因扭轉和振動而產生的能量等。顯然，雪糕棒編織鏈系統中存儲的絕大多數應變能都轉化為了雪糕棒的重力勢能和動能。接下來本文將以雪糕棒編織鏈系統中單個雪糕棒的能量轉化過程為例說明這部分能量的轉化過程。首先，當多米諾雪糕棒鏈效應被觸發時，雪糕棒內儲存的應變能被釋放并轉化成雪糕棒的初始動能。在初始動能的作用下，雪糕棒開始以一定的初速度豎直向上運動。由于雪糕棒在豎直方向上受重力作用，因而在雪糕棒豎直向上運動的過程中其動能轉化為了重力勢能，隨后又從重力勢能轉化為動能直至雪糕棒落至地面。

然而，由于多米諾雪糕棒鏈效應是連鎖反應，每個雪糕棒的運動還將帶動下一個與之相鄰的雪糕棒發生類似的運動。因此，單個雪糕棒存儲的應變能不僅轉化為了用于自身運動的初始動能，也有一部分應變能傳遞給了與之相鄰的下一個雪糕棒。由此可見，單個雪糕棒在豎直向上運動過程中最大的重力勢能是由該雪糕棒因彎曲變形而儲存的應變能和上一個與之相鄰的雪糕棒傳遞過來的能量轉化而來的。由于相鄰雪糕棒之間的能量傳遞無法進行定量描述，因而在接下來的討論中，本文將重點分析單個雪糕棒因的彎曲應變能與其向上運動過程中的最大重力勢能之間的聯系。

2 雪糕棒的彎曲應變能與最大重力勢能的關系

在分析雪糕棒的彎曲應變能與其向上運動過程中最大重力勢能的關系之前，需要對雪糕棒的彎曲應變能進行簡單的說明。假設雪糕棒在彎曲時可以視為一個矩形截面梁，由應變能的定義可知，雪糕棒彎曲應變能的表達式為：

其中，Vε是雪糕棒的應變能，M（x）是雪糕棒因彎曲而產生的彎矩，E是雪糕棒的彈性模量，I是雪糕棒對其彎曲中性軸的慣性矩。由式（1）可知，雪糕棒的應變能Vε與雪糕棒所受的彎矩M（x）密切相關。顯然，雪糕棒所受的彎矩M（x）越大，雪糕棒因彎曲而儲存的應變能Vε越大。由此可見，雪糕棒的彎曲應變能與其向上運動過程中的最大重力勢能之間的關系可以用雪糕棒彎曲時的彎矩大小與其向上運動過程中的最大重力勢能之間的關系來反映。接下來，本文設計了相關實驗以具體研究雪糕棒彎曲時的彎矩大小與其向上運動過程中的最大重力勢能之間的關系。

在實驗中，為了改變雪糕棒在彎曲時所受的彎矩，本文選取了幾種不同長度的雪糕棒，采用相同的編織方法編織成了多條總長度大致相同的雪糕棒編織鏈。通過采用相同的編織方式，可以使雪糕棒承受相同的載荷，而在雪糕棒截面尺寸不變的情況下，增大單個雪糕棒的長度，可以增大雪糕棒因彎曲產生的彎矩。為了獲得雪糕棒向上運動過程中的最大重力勢能，本文利用Tracker軟件，測出了雪糕棒向上運動到最高點時距離地面的高度，以此來反映雪糕棒最大重力勢能的大小。顯然，雪糕棒向上運動的最高點越高，雪糕棒的最大重力勢能越大。將本文測得的不同的單個雪糕棒長度下對應的雪糕棒向上運動過程中的最大高度繪制成散點圖并進行直線擬合，得到的圖像如圖1所示，擬合直線的表達式如式（2）所示。

y=0.264x-20.57（2）

由圖1可知，隨著單個雪糕棒長度的增加，單個雪糕棒豎直向上運動過程中的最大高度越大，說明隨著單個雪糕棒所受彎矩的增加，單個雪糕棒的最大重力勢能也隨之增加，進而說明了單個雪糕棒因彎曲而存儲的應變能越大，由此轉化而來的豎直向上運動過程中的最大重力勢能越大。由此可見，本文提出的利用應變能觀點對多米諾雪糕棒鏈效應的解釋與實驗現象基本吻合。

3 結語

本文在對多米諾雪糕棒鏈效應中的能量轉化過程進行定性分析的基礎上，找到了多米諾雪糕棒鏈效應中最主要的能量轉化關系——系統儲存的能量與重力勢能之間的關系，隨后從應變能角度出發，提出了一種新的關于多米諾雪糕棒鏈效應成因的解釋，即雪糕棒因變形所儲存的應變能是雪糕棒向上運動過程中重力勢能的主要來源，相關的實驗結果也說明了這一新觀點的正確性，從一個新的角度說明了多米諾雪糕棒鏈效應的成因。

參考文獻

[1]沈繼紅.從“多米諾骨牌模型”談穩定性分析[J].數學建模及其應用，2019，8（04）：20-29.

[2]Jérémy Sautel，Andréane Bourges，Aude Caussarieu，et al.The physics of a popsicle stick bomb[J].American Journal of Physics，2017，85（10）：783-790.

[3]Jean-Philippe Boucher，Christophe Clanet，David Quéré，et al.Popsicle-stick cobra wave[J].Physical Review Letters，2017，119（08）：084301.

[4]高天歌.“多米諾冰棒棍”的物理原理及應用[J].內燃機與配件，2017，（10）：111-114.

[5]劉鴻文.材料力學[M].6版.北京：高等教育出版社，2016.

[6]鐵摩辛柯，吉地爾.彈性理論[M].3版.北京：清華大學出版社，2004.

基金項目：沈陽航空航天大學2019年校級大學生創新創業訓練計劃項目（201910143429）。

作者簡介：李純（1999-），女，沈陽航空航天大學創新創業學院本科在讀，研究方向：通信工程; 馬佳（1984-），女，博士，副教授，研究方向：計算物理（通訊作者）。