大學普通力學實驗中單擺線彈性對重力加速度測量結果的影響*

朱旭鵬 李佳楠 廖峻 薛書文

(嶺南師范學院物理科學與技術學院 廣東 湛江 524048)

單擺實驗通過伽利略發現和研究后，在歷史長河中被不斷地改進和應用.當下，在大學普通物理實驗教學中，通過單擺來測量重力加速度的大小同樣是既簡單又可以極大引起學生探究興趣的實驗項目之一[1].當一個質點用一條長度不變、質量不計的線懸掛時，可以在重力的作用下沿著某一鉛垂面做簡諧振動.這一被稱作為單擺的結構，其運動周期可以通過經典的單擺公式來計算，周期值與擺長和重力加速度有關系.反過來，通過測量單擺的周期可以間接測量出當地的重力加速度[2].但是，事實上用來懸掛質點的擺線是具有彈性的，那么整個單擺振動過程中，彈性對擺動周期如何影響，彈性對重力加速度的測量值如何影響，是大學學生的興趣點之一，掌握擺線彈性對重力加速度測量值的影響是充分理解單擺實驗教學的重要因素.

1 參數設置及材料選擇

圖1 單擺結構及不同的擺線

圖2 擺線測量裝置及在不同負載下的長度伸長率

2 結果與討論

圖3 不同線型在不同擺長下的周期平均值

圖4 不同線型在不同擺長下的周期不確定度及周期差值

以上結果表明，不同線型單擺周期平均值的變化并沒有和長度伸長率變化相一致，彈性系數最小的魚線測得的周期在大多數擺長下測得的周期處于其他兩條擺線所測的周期值之間.考慮到0.2 mm銅線由于材料本身在單擺固定點具有一定的切向力，能夠對單擺周期造成一定的影響，因此，我們通過魚線和尼龍線的比較來研究擺線的彈性對單擺周期值的影響，但魚線和尼龍線做擺線時不大的周期平均值差值無法支持擺線的彈性系數越大時，單擺周期越長這一結論.再結合擺球的質量較小，同時擺角小于5°，單擺在平衡位置對擺線的張力不大，因此，擺線的彈性對單擺周期平均值的測量有影響，但影響較小，可以忽略，這符合單擺中擺線剛性不可伸長的理想假設.

圖5給出了通過單擺周期經典公式

及誤差傳遞方程

計算的重力加速度和重力加速度不確定度.

圖5 重力加速度和重力加速度不確定度

從圖5可知，銅擺線所測的重力加速度在9.800～9.820 m/s2之間，大于魚線和尼龍線測得的9.740～9.780 m/s2之間的值，魚線測得的重力加速度在大多數擺長下稍大于尼龍線測得的值.從不確定度與擺長的關系來看，隨著擺長的增加，重力加速度值的不確定度不斷減小，表明單擺擺線越長，測量重力加速度時受到的外界因素越小.我們對不同線型不同擺長下測得的重力加速度及不確定度求平均，其值如圖6所示.

圖6 不同線型不同擺長下重力加速度平均值及其不確定度

從以上結果來看，銅線測得的重力加速度值為(9.810±0.015) m/s2，其值大于地球各點重力加速度近似公式計算的值9.782 m/s2,其近似計算公式為

其中g0是地球標準重力加速度，9.806 65 m/s2；&和h分別是測量點的緯度和高度；R是地球的平均半徑6 370 km.魚線和尼龍線測得的重力加速度分別為(9.762±0.015) m/s2和(9.757±0.015) m/s2，其值小于地球各點重力加速度近似公式計算的值，主要誤差來源可能來源于擺線質量和小球半徑，另外空氣浮力和阻力對測試結果也有一定的影響.因此,彈性系數較小的魚線測得的重力加速度值和彈性系數較大的尼龍線測得的值稍大，但相應不確定度的覆蓋程度進一步說明，擺球質量較輕，擺角很小的單擺受擺線彈性的影響極小，可以忽略.

3 結論

本文對比了3種不同彈性的擺線對單擺周期及重力加速度測量值的影響.彈性系數最大的銅線由于在單擺頂端的切向阻力導致單擺周期偏小，重力加速度值偏大.彈性系數較小的魚線測得的重力加速度值略大于彈性系數較大的尼龍線做擺線時的值，考慮到不確定值的覆蓋度，擺線的彈性對重力加速度測量的影響很小，符合單擺理想化過程中的擺線長度不變的假設.另外隨著擺線長度的增加，重力加速度不確定度減小，單擺測量實驗受其他次要因素的影響越小.本結果在明確擺線彈性在單擺測量重力加速度實驗過程中的影響程度，提高教師在整個實驗環節中對各個影響因素把控程度方面具有一定的參考價值.

現將筆者的實驗數據分別列于表1和表2中,可供參考.其中表1為負載對不同線型擺線的影響,表2為不同擺線、不同擺長的單擺周期.

表1 負載對不同線型擺線的影響

表2 不同擺線、不同擺長的單擺周期