利用圖像法巧解一類均勻帶電雙圓環問題

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

對于單個均勻帶電圓環在垂直于圓面的軸線上產生的電場，其場強變化具有一定的規律性.首先定性分析軸線上的場強變化特點，可大致畫出圓環一側軸線上的場強隨距離變化的圖像如圖1所示.由于在圓心處場強為零，在無窮遠處場強也為零，那么場強必然先增大后減小，因此在軸線上的場強存在最大值，其位置離圓環很近，由此可判斷場強從零開始很快增大，然后緩慢減小.由于圓環兩側的場強方向相反，則在定義域內的整個圖像關于原點對稱，可根據對稱性畫出圓環另一側軸線上的場強矢量隨距離變化的圖像，位于橫軸的下方.

圖1 均勻帶電圓環一側軸線上的場強分布

由圖1可見，在原點O處的場強為零，其余各點處的場強均大于零，那么原點O關于場強最大值位置對稱點c處的場強必大于零.由此推知，在點O與c之間，到場強最大值位置相等距離的任意兩點a和b處的場強不相等，而是左側a點處的場強小于右側b點處的場強，即Ea

還可進行定量推導證明.設圓環半徑為R，帶電荷量為Q，在過圓心O垂直于圓環平面的軸線上有一點P，到圓心的距離為OP=x，利用對稱性和微元法可推導出軸線上的場強隨距離變化的關系式為[1]

為了證明Ea

利用數學公式和一定的數學技巧，通過大量的數學運算，可推出一個等價不等式

4l4+4R2l2-7R4<0

這是關于l2的一元二次不等式，利用拋物線的性質和求根公式可得

對有關兩個相互平行而且正對的均勻帶電圓環在軸線上產生電場的分布特點問題，若用定量推導的方法進行解答則很繁瑣，而利用圖像法進行解答，可化繁為簡.下面利用單個圓環軸線上的場強隨距離變化的圖像來解答兩道有關雙圓環產生靜電場的物理問題.

【例1】如圖2所示[2]，兩個相同圓環相隔一定距離同軸固定在豎直平面內，點O1和O2分別為兩圓環的圓心，兩圓環均勻分布有等量異種電荷.一個不計重力的帶正電的粒子從無窮遠處以某一初速度沿軸線穿過兩圓環，則帶電粒子在運動過程中( )

圖2 例1題圖

A.在點O1處粒子的加速度方向水平向左

B.從點O1到O2的過程中粒子電勢能一直增加

C.軸線上O1點右側存在一點，在該點粒子動能最小

D.軸線上O1點右側，O2點左側都存在場強為零的點，它們關于O1與O2連線中點對稱

解析:對于選項A，需判斷O1點處的場強方向.右側圓環在O1點產生的場強為零，左側圓環在O1點產生的場強方向向左，因此兩個圓環共同在O1點產生的場強方向向左，那么帶正電的粒子受到的電場力方向向左，所以粒子的加速度方向水平向左，選項A正確.對于選項B，需判斷O1與O2之間的場強方向.由于兩個點電荷在O1與O2之間產生的場強方向相同，都向左，因此合場強方向向左，所以在帶電粒子從O1點運動到O2點的過程中，電場力始終做正功，則粒子的電勢能一直減少，選項B錯誤.

對于選項D，需尋找軸線上合場強為零的點.對于軸線上的合場強分布特點，可用圖像法來分析.以O2點為原點，以軸線為x軸建立直角坐標系，對圓環軸線的左右端而言，規定水平向左為空間場強的正方向，在同一坐標系中分別畫出兩個圓環在軸線上產生的場強隨距離變化的圖像如圖3所示.

為了在軸線上尋找合場強為零的點，可在坐標系中畫縱軸的平行線，分別與橫軸上方和橫軸下方的兩個圖像相交，只要兩個交點到橫軸的距離相等，那么縱向直線與橫軸的交點就表示空間合場強為零的位置，由對稱性可知，場強為零的位置共有兩點F和G，故選項D正確.

圖3 兩均勻帶等量異號電荷圓環軸線上的場強分布

對于選項C，需判斷軸線上某點合場強是否為零，而且粒子是否先受阻力，后受動力.在O1點右側的合場強為零的點F，在過該點的虛線的左側，兩個圖像對應的縱坐標之和大于零，或者說由圖像表示的合場強大于零，表明空間合場強的方向與規定的正方向相同，即水平向左，畫一個小箭頭來表示；在虛線的右側，由圖像表示的合場強小于零，表明空間合場強的方向與規定的正方向相反，即水平向右.由此可見，在軸線上的空間合場強為零的點是合場強的方向發生改變的位置，可知帶正電粒子向左運動經過點F前后受到的電場力先為阻力，后為動力，那么帶電粒子先減速運動后加速運動，因此帶電粒子經過該點時的動能最小，故選項C正確.可以判斷，當粒子經過點G時動能最大.

圖4 兩均勻帶等量異號電荷圓環距離大于時的場強分布

【例2】如圖5所示[3]，兩個固定的相同細圓環相隔一定距離同軸放置，點x1和x2為兩圓環的圓心，兩圓環分別帶有均勻分布的等量正電荷，x軸垂直于環面而且過兩細圓環的圓心.下列說法中正確的是( )

圖5 例2題圖

A.x1點的場強沿x軸正方向

B.x2點的場強沿x軸正方向

C.點x1與x2之間沿x軸正方向電勢逐漸升高

D.點x1與x2之間沿x軸正方向電勢逐漸降低

解析:左側圓環在x1處產生的場強為零，右側圓環在x1處的場強方向向左，因此兩個圓環共同在x1處的場強方向向左，即沿坐標軸負方向，選項A錯誤.左側圓環在x2處的場強向右，右側圓環在x2處的場強為零，因此兩個圓環共同在x2處產生的場強方向向右，即沿坐標軸正方向，選項B正確.

圖6 兩均勻帶等量正電荷圓環間距為時軸線上的場強分布

由于極值點兩側到場強最大值位置相等距離的兩點處的場強不相等，因此在軸線上的合場強為零的位置只有一個，即為點x1和x2連線的中點.可知合場強的方向先向左，后向右，那么沿x軸正方向的電勢先升高，后降低，故選項C和D都錯誤.

圖7 兩均勻帶等量正電荷圓環間距小于時軸線上的場強分布

圖8 兩均勻帶等量正電荷圓環間距大于時軸線上的場強分布