用光電門測物體加速度的兩類偏差分析*

羅章

(湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)湖南 長沙410006)

研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，除了使用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器計(jì)時(shí)外，還常用到數(shù)字計(jì)時(shí)器.數(shù)字計(jì)時(shí)器常與氣墊導(dǎo)軌配合使用.計(jì)時(shí)系統(tǒng)的工作要借助于光源和光敏管(俗稱光電門).光源與光敏管相對，它射出的光使光敏管感光.當(dāng)滑塊經(jīng)過時(shí)，其上的遮光條把光遮住，與光敏管相連的電子電路自動(dòng)記錄遮光時(shí)間的長短，通過數(shù)碼屏幕顯示出來.根據(jù)遮光條的寬度和遮光時(shí)間，可以算出滑塊經(jīng)過時(shí)的速度[1,2].因?yàn)檫@樣的計(jì)時(shí)系統(tǒng)可以測出0.001 s的時(shí)間，并且能直接以數(shù)字顯示，所以又叫數(shù)字毫秒計(jì).

測出物體經(jīng)過光電門時(shí)的速度，進(jìn)而可以測定物體的加速度.人教版高中物理實(shí)驗(yàn)教科書必修1第一章第5節(jié)問題與練習(xí)題4如下.

【例1】為測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度為3.0 cm的遮光板.滑塊在牽引力作用下先后通過兩個(gè)光電門，配套的數(shù)字毫秒計(jì)記錄了遮光板通過第一個(gè)光電門的時(shí)間為Δt1=0.29 s，通過第二個(gè)光電門的時(shí)間為Δt2=0.11 s，遮光板從開始遮住第一個(gè)光電門到開始遮住第二個(gè)光電門的時(shí)間為Δt=3.57 s，求滑塊的加速度.

解析：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理必修1教師教學(xué)用書給出

滑塊通過第一個(gè)光電門的平均速度為

通過第二個(gè)光電門的平均速度為

則滑塊的加速度

評價(jià)：以上解法將滑塊通過光電門的平均速度處理為瞬時(shí)速度，再利用加速度定義求出了加速度值.

1 由時(shí)間的不精確所帶來的偏差

設(shè)滑塊從瞬時(shí)速度為v1到瞬時(shí)速度為v2所經(jīng)歷的時(shí)間為Δt′

滑塊的真實(shí)加速度為a′

得到的滑塊真實(shí)加速度a′略大于a，形成偏差的原因是“將遮光板通過光電門的平均速度看作遮光板前緣通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度”.對于a′大于a，可以通過圖1來理解.取遮光板開始遮住第一個(gè)光電門為t=0時(shí)刻，圖中0～t2內(nèi)遮光板通過第一個(gè)光電門，時(shí)間為Δt1；t3～t5內(nèi)遮光板通過第二個(gè)光電門，時(shí)間為Δt2.t1是0～t2的時(shí)間中點(diǎn)，t4是t3～t5的時(shí)間中點(diǎn).

圖1 滑塊運(yùn)動(dòng)“速度-時(shí)間”圖像

滑塊勻加速通過兩個(gè)光電門，可知

Δt1>Δt2

而0～t3表示時(shí)間Δt，t1～t4表示時(shí)間Δt′,則

加速度真實(shí)值公式為

注意到a與a′相差不大，若為粗略計(jì)算，所求的滑塊加速度a為4.76 cm/s2是完全可以的.但時(shí)間間隔Δt′和Δt差別較大，卻忽視其差別，機(jī)械地套用Δt來計(jì)算，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【例2】如圖2所示，為了測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度d為3.0 cm的遮光板.滑塊向右勻加速直線運(yùn)動(dòng)依次通過兩個(gè)光電門A和B.光電門上的黑點(diǎn)處有極細(xì)的激光束，當(dāng)遮光板擋住光束時(shí)開始計(jì)時(shí)，不遮擋光束時(shí)停止計(jì)時(shí).現(xiàn)記錄了遮光板通過第一個(gè)光電門所用的時(shí)間為Δt1=0.3 s，通過第二個(gè)光電門所用的時(shí)間為Δt2=0.10 s，光電門從第一次計(jì)時(shí)結(jié)束到第二次計(jì)時(shí)開始經(jīng)歷的時(shí)間為0.30 s，則滑塊的加速度應(yīng)為( )

圖2 測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度

A.0.67 m/s2B.0.14 m/s2

C.0.40 m/s2D.0.22 m/s2

錯(cuò)解：滑塊通過第一個(gè)光電門的平均速度為

通過第二個(gè)光電門的平均速度為

則滑塊的加速度

66.7 cm/s2=0.67 m/s2

選A.

解析：光電門從第一次計(jì)時(shí)結(jié)束到第二次計(jì)時(shí)開始經(jīng)歷的時(shí)間為Δt=0.30 s，滑塊從瞬時(shí)速度為v1到瞬時(shí)速度為v2所經(jīng)歷的時(shí)間為

滑塊的加速度

正確答案選C.

評價(jià)：因題給光電門從第一次計(jì)時(shí)結(jié)束到第二次計(jì)時(shí)開始經(jīng)歷的時(shí)間為0.30 s，若從第一個(gè)光電門開始計(jì)時(shí)到第二次計(jì)時(shí)開始，所經(jīng)歷的時(shí)間就為0.60 s，再按例1方式求解其加速度為

無論是錯(cuò)解中的0.67 m/s2還是0.33 m/s2均與真實(shí)加速度0.4 m/s2相差甚遠(yuǎn).究其原因，兩題中Δt1與Δt2相差無幾，但例2中Δt值不滿足遠(yuǎn)大于通過光電門時(shí)間.

2 由位移的不精確所帶來的偏差

【例3】為測定氣墊導(dǎo)軌上滑塊的加速度，滑塊上安裝了寬度為d的遮光板.滑塊在牽引力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，先后通過兩個(gè)固定在導(dǎo)軌上相距為L的光電門.配套數(shù)字毫秒計(jì)記錄了遮光板通過第一個(gè)光電門的時(shí)間為Δt1，通過第二個(gè)光電門的時(shí)間為Δt2.將遮光板通過光電門的平均速度作為遮光板前沿通過光電門時(shí)的瞬時(shí)速度.請回答：

(1)加速度的表達(dá)式為a=________.

(2)如果操作方法正確無誤，用上述方法測得的加速度的值________(選填“大于”“等于”或“小于”)加速度的真實(shí)值.

為便于分析，在圖1中標(biāo)出字母A,B,…,G，如圖3所示.圖3中梯形OABC與GDEF的面積均等于遮光板的寬度d；梯形OADG的面積等于兩光電門間距離L.H和J兩個(gè)時(shí)刻遮光板的瞬時(shí)速度分別等于v1和v2.若用S1和S2表示梯形OAIH與GDKJ的面積，則L1=L-S1+S2.

圖3 滑塊運(yùn)動(dòng)“速度-時(shí)間”圖像

分別過I和K作橫軸的平行線PQ和MN，如圖4所示.由幾何關(guān)系知，矩形OPQC與梯形OABC的面積相等，矩形GMNF與梯形GDEF的面積相等.它們均等于遮光板的寬度d.用ΔS1和ΔS2分別表示三角形API和DMK的面積，則

圖4 滑塊運(yùn)動(dòng)“速度-時(shí)間”圖像中的矩形和梯形

代入L1=L-S1+S2得

L1=L+(ΔS1-ΔS2)

由于ΔS1和ΔS2也分別表示三角形IQB和KNE的面積.因?yàn)檎诠獍遄黾铀龠\(yùn)動(dòng)，三角形KNE的面積小于IQB的面積，則在圖4中ΔS2<ΔS1,所以L1=L+(ΔS1-ΔS2)>L，進(jìn)而

即a>a真，則第(2)小題答案為“大于”.

3 屬于哪一類偏差問題的鑒別

在解決具體問題時(shí)，需要鑒別屬于哪一類偏差.

【例4】圖5為測量物塊與水平桌面之間動(dòng)摩擦因數(shù)的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，細(xì)線平行于桌面，物塊和遮光板的總質(zhì)量為M，重物的質(zhì)量為m，遮光板的寬度為d.讓物塊從光電門A的左側(cè)由靜止釋放.配套數(shù)字毫秒計(jì)記錄了遮光板通過光電門A和B所用的時(shí)間分別為t1和t2，遮光板從開始遮住第一個(gè)光電門到開始遮住第二個(gè)光電門的時(shí)間為Δt.求物塊與水平桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù).

圖5 測量動(dòng)摩擦因數(shù)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

解析：滑塊運(yùn)動(dòng)的加速度為

設(shè)細(xì)線的拉力為T，物塊與水平桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，分別以物塊(包括遮光板)和重物為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律有

T-μMg=Mamg-T=ma

聯(lián)立得

評價(jià)：不考慮由時(shí)間不精確帶來的偏差所得加速度應(yīng)為

由前述知a′

圖6 測量重力加速度實(shí)驗(yàn)裝置

總之，光電門及與其配合使用的小球或遮光板都有一定的寬度，此時(shí)不能視為質(zhì)點(diǎn).最能代表光電門精確位置的是光電門的發(fā)光孔所在的位置，最能代表小球或遮光板位置的是小球球心或遮光板的前緣.這兩類位置間的差異可能造成由時(shí)間的不精確或位移的不精確帶來的偏差.解決這類有關(guān)問題的偏差時(shí)，需要認(rèn)真鑒別，再作出準(zhǔn)確判斷.