向心加速度公式的教具制作及其教學研究*
——基于Tracker和Phyphox軟件的定量探究

王盼伊 顧思漪 張璟 劉嘉麗 袁婧

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

方偉

(上海師范大學數理學院 上海 200234；上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室 上海 200234)

向心力和向心加速度是高中物理教學的一大重點與難點，學生對于向心力概念一直很難理解，在對物體進行受力分析時，往往還外加一個向心力[1].該知識點前承牛頓第二定律，后引圓周運動的相關應用，并為萬有引力這一概念做鋪墊.但這一知識點在高中課本上僅做了簡單的分析及公式推導.在教學實驗中，教師往往無法做課堂演示實驗，DIS實驗盡管能做相關工作，但其普及性不高，集成性卻過高，使得學生的參與感不強，因而大大降低了學生參與向心加速度實驗的積極性，且不利于學生對向心加速度這一概念的充分理解.另一方面，隨著科技和我國經濟的發展，智能手機已越來越普及，且其集成了各種微型傳感器，精確度和靈敏度都很高，若教師能帶領學生開發自制教具，利用集成了各種傳感器的智能手機，并輔以Tracker和Phyphox等軟件[2]，將可實現對向心加速度的定量探究和驗證，其教育意義將不可小覷.偉大的物理學家麥克斯韋也曾說過：“實驗的教育價值，往往與儀器的復雜性成反比.學生用自制儀器，雖然經常出毛病，但他們卻會比用仔細調整好的儀器，學到更多的東西”[3].

在本文的第一部分，闡述了本教具的實驗構想和實驗原理的理論推導，并在第二部分詳細講解了教具的制作過程.在第三部分，我們利用自制教具進行了基于控制變量的定量探究實驗，研究了向心加速度ac與圓周運動半徑r和角速度ω(周期T)的關系，并在第四部分進行了實驗的誤差分析.最后指出該實驗通過適當的教學設計，可以作為高中學生的探究性或驗證性實驗及課外科創活動，還提供了測量當地重力加速度的一種新方法.整個自制教具的制作和實驗探究過程具有較強的教育啟示意義.

1 教具構想和實驗原理

本文的教具構想和實驗原理為：利用可調速電動機制作教具，讓智能手機作為質點繞桿做擺長為L的勻速圓錐擺運動(圖1)，此時手機在水平面內即做勻速圓周運動.由圖1受力分析易得手機所受合力F合=mgtanθ，此力在水平面內，即是提供手機在水平面內做勻速圓周運動的向心力，因而向心加速度大小為

ac=gtanθ

(1)

另一方面，質點做勻速圓周運動的向心力公式為F向=mω2r，因而有

ac=ω2r

(2)

式(1)和式(2)在理論上應該相等.利用本文所述自制教具(見后述圖2)，手機上裝載的Phyphox軟件可直接測得手機做圓周運動的角速度ω和向心加速度ac，而Tracker軟件可測到手機繞桿做圓錐擺運動時懸線與豎直方向的夾角θ，以及手機在水平面內做圓周運動的半徑r.有了ac,θ,ω,r的實測數據，即可在誤差允許范圍之內，驗證或者探究向心加速度表達式.

圖1 圓錐擺運動的受力分析

2 向心力實驗的教具制作

圖2所示為可用Tracker軟件和智能手機軟件Phyphox驗證向心加速度公式的教具實物圖.

圖2 教具實物圖

教具主要是由一個可調速的電動機、智能手機、多股細銅絲、鋼管支架和不銹鋼底座(購于五金店)組成，其中可調速的電動機是由一個低速旋轉電動機(200 r/min、24 V電壓、36.5 mm直徑、單電機)，一個直流電機調速器(CCM5D數顯PWM微型直流減速電動機調速控制器)和一個直流開關電源所組成，將電動機嵌入一個內徑與電動機直徑相同的鋼管中，并將鋼管和一個不銹鋼底座進行焊接，鋼管的長度盡量長，多股細銅絲要足夠長，以避免手機自身長度帶來的誤差.此外，由于原電動機自帶的法蘭螺母過于小，在手機旋轉的時候會產生繞線的現象，故我們在法蘭螺母的基礎上焊接了多個法蘭片(圖3)，使整個轉盤大于電動機的直徑，解決了繞線問題.另外，懸掛手機的懸線L可用軟硬適中的多股細銅絲替代棉質繩(圖4)，這將有效解決手機在旋轉過程中的自轉問題.

圖3 電動機轉盤

圖4 多股細銅絲

本實驗裝置設計合理，簡單易做，成本較低，操作簡便，方便攜帶.通過巧用智能手機軟件，使向心加速度、角速度等物理量的測量變得便利，實驗誤差做到了最大化的控制.該教具可作為課堂演示教具，將理論概念可視化，為物理實驗教學提供新思路.同時也激發了學生通過智能手機進行物理學習的興趣，變沉溺手機的低頭族為利用手機學習的陽光族.

3 向心加速度實驗定量探究

現利用本文介紹的自制教具來驗證向心加速度的公式，即定量探究向心加速度ac與圓周運動半徑r和角速度ω兩者之間的關系.在實驗中我們利用控制變量法，即改變r和ω中的一個變量，保持另一個變量不變.利用手機Phyphox軟件直接測量得出手機的角速度ω和向心加速度ac，利用視頻分析軟件Tracker測量出圓周運動半徑r和懸線與豎直方向的夾角θ，通過多次實驗，得出相關關系.以下是向心加速度實驗的數據及結果分析.

(1)保持角速度ω不變，通過改變線長L從而改變圓周運動半徑r，改變8次線長L，得出向心加速度ac與圓周運動半徑r的關系(數據見表1，關系圖見圖5).

表1 保持角速度ω不變時改變線長L的測量數據

圖5 向心加速度ac與圓周運動半徑r的線性關系

(2)保持圓周運動半徑r不變，通過改變電動機轉速來改變角速度ω，改變5次角速度ω，得出向心加速度ac與角速度ω的關系(數據見表2，關系圖見圖6).

需要注意的是，本實驗中的轉速ω和圓周運動半徑r,由于和調速電動機、懸掛物質量以及線長有關，在實驗中無法做到嚴格的控制變量，只能做到近似不變，從表1和表2中數據即可看出.

表2 保持圓周運動半徑r不變時改變角速度ω的測量數據

圖6 向心加速度ac與角速度ω2的線性關系

說明：表1及表2中的ac1為Phyphox軟件直接測量值，ac2為通過向心加速度公式(式2)ac2=ω2r由測量量ω,r計算出的值，ac3為物體所受合力根據牛頓第二定律(式1)ac3=gtanθ,由測量量θ計算出的值，誤差1計算的是ac1與ac2之間的誤差，誤差2計算的是ac3與ac2之間的誤差.

由圖5、圖6可知，向心加速度ac在ω一定時與圓周運動半徑r成正比，當r一定時與角速度的平方ω2成正比.這與理論式ac=ω2r所呈現的關系非常好的吻合.需要指出的是，本實驗在誤差范圍內分別驗證了ac1=ac2和ac3=ac2，但其物理內涵并不一樣.

(1)ac1=ac2：驗證了向心加速度的表達式ac=ω2r，即向心加速度ac與r,ω2成正比.

(2)ac3=ac2：即驗證了gtanθ=ω2r，將等式兩邊同乘質量m，即可得到結論：

手機在水平方向做勻速圓周運動的過程中，所受合力大小等于向心加速度大小與質量的積，即合力提供了向心力，從而說明向心力并不是如重力、電場力一樣的某種性質的力，而只是一種效果力，從而厘清學生頭腦中關于向心力的錯誤概念.

4 實驗誤差分析

由于本實驗的各個測量量都可直接測得，所以我們的數據處理對比了向心加速度的直接測量值即ac1和利用向心加速度公式計算得出的ac2，平均誤差控制在0.587%，即本裝置作為定量驗證向心加速度公式的演示實驗，其實驗效果會相當好.同時，我們也計算了ac3與ac2之間的誤差，即由測量量θ計算出的向心加速度ac3和同樣利用向心加速度公式計算得出的ac2之間的誤差，平均誤差控制在0.891%，也在合理范圍之內，但后者誤差稍大，分析其原因在于ac1為Phyphox直接測量值，而ac3是由視頻分析軟件Tracker測量的θ值而計算得到的.Tracker除了軟件本身的系統誤差外，還會引入視頻錄制過程中的人為誤差.本實驗的誤差主要集中于以下幾點：

(1)手機系統自帶誤差.本實驗使用的是iPhone 8手機.由于手機版本不同，芯片制造商不同，最終的測量精確程度也會有所不同[4].利用手機Phyphox軟件我們測量的量是向心加速度ac和角速度ω，通過陀螺儀測量角速度ω，并通過加速度計得到向心加速度ac.比如iPhone 8的陀螺儀標準偏差為0.003 3 rad/s，加速度計的標準偏差為0.009 8 m/s2，而華為P20的陀螺儀標準偏差為0.000 41 rad/s，加速度計的標準偏差為0.004 1m/s2，所以每一種型號的手機，由于芯片不同，所帶來的誤差也會有所不同.

(2)Tracker軟件誤差.利用Tracker軟件測量圓周運動半徑r和懸線與豎直方向的夾角θ時，測量的畫面是人工選取的，且幀率最大可達80幀/秒，所以在選取畫面的時候也會有一定的誤差.此外，拍攝角度是否正向也會對r和θ的測量造成誤差.

(3)調速器誤差.直流電機調速器無法維持在一個固定值，會在一個區間內浮動，所以產生一定的誤差.

(4)圓周運動半徑誤差.由于每個手機的陀螺儀等芯片的位置會有所不同，故我們將桿到手機中心的距離近似定義為圓周運動的半徑.

以上為本實驗的主要誤差，由于在實驗中較為細致，本實驗的最大誤差也只在2.1%左右，對于利用自制教具來進行的普通物理實驗，已較為難得.

5 小結與教學啟示

就在本文工作開展之際，筆者發現江偉欣等人基于定性探究實驗的原理，設計并制作了一個定量的向心力演示裝置[5]，通過電機帶動鉤碼做勻速圓周運動，利用替代思想將壓力傳感器測得的壓力代替拉力，從而探究影響勻速圓周運動中向心力的因素.該教具制作精美，原理簡單，實驗時很容易控制變量，能很好地幫助學生理解向心力概念.不過該教具制作工藝相對復雜，且用壓力傳感器測到的壓力來替代拉力，不夠直觀.相比而言，本文介紹的教具制作簡單，成本較低，且巧妙利用圓錐擺運動，通過簡單受力分析即可直接得到向心力(向心加速度)大小，無需由壓力來替代拉力，物理圖像更為清晰、直觀.不過由于式(1)和式(2)中的質量被約去，本教具僅可探究向心加速度ac與角速度ω和半徑r之間存在的定量關系，不能探究Fc與質量m之間的定量關系.

高中課堂無法對向心加速度的理論部分有過多解釋，DIS實驗也只是對向心力公式做一個驗證性的實驗，而無法向學生們直觀展示向心加速度這一物理量，且在做向心力實驗時，DIS實驗會由計算機直接計算給出向心力Fc的大小，缺乏讓學生自主計算研究的過程.在本實驗中，角速度ω和向心加速度ac可直觀顯示在智能手機軟件Phyphox的測量界面上.通過轉動調速器旋鈕，學生可以明顯觀察到手機旋轉速度的變化，結合手機界面數據的變化，可以讓學生直接觀察到向心加速度和角速度的實時變化過程.

除驗證性實驗外，本實驗也可以設計成探究向心加速度ac與r和ω之間關系的探究性實驗.在實驗前，教師需先引導學生定性發現向心加速度可能與哪些物理量有關，待確定后，再利用控制變量法研究.與此同時，教師還可以假設向心加速度ac與圓周運動半徑r和角速度ω的關系為

ac=ωαrβ

利用量綱分析法求出α=2，β=1，配合實驗探究，與量綱分析結果比較，會極大地調動學生學習物理的積極性，提高學生探究實驗的參與度，增強學生自我探索的興趣.

在文本的數據處理和誤差分析時，曾簡單地取重力加速度g=9.8 m/s2，但當我們查閱上海當地的重力加速度數據并將g取為9.796 4 m/s2之后，發現整體誤差均有了較大幅度的減少，這一事實啟發我們，除驗證或探究向心加速度公式外，本教具還可以提供測量當地重力加速度的新方法，可用在課外學生科技創新活動中.

最后，本實驗裝置的構造和組合搭建并不復雜，學生可在課下以小組形式自主完成，自行深入探究向心加速度公式，可鍛煉學生的動手能力和協作能力，培養學生的科學素養.