傅里葉思想的精髓及其偉大之處

蔡志東

(鎮(zhèn)江高等專科學校丹陽師范學院 江蘇 鎮(zhèn)江 212310)

1 傅里葉生平簡介

讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉(Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日-1830年5月16日)，法國歐塞爾人，著名數(shù)學家、物理學家.

1780年，就讀于地方軍校.1795年，任巴黎綜合工科大學助教，跟隨拿破侖軍隊遠征埃及，成為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官.1817年，當選法國科學院院士.1822年，擔任該院終身秘書，后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席，敕封為男爵.主要貢獻是在研究熱的傳播和熱的分析理論，他所創(chuàng)立的一套數(shù)學理論，對19世紀的數(shù)學和物理學的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠影響.1830年5月16日，在巴黎去世，時年63歲.

2 傅里葉思想的精髓及其偉大之處

2.1 傅里葉思想的精髓

傅里葉的核心思想概括起來有以下兩條.

(1)任何一個復雜的函數(shù)(或描述事物變化的物理量)在一定的條件下都可以分解為許多簡單的正弦或余弦函數(shù)的和.具體內(nèi)容有以下4條.

1)任何一個周期函數(shù)(在滿足所謂的“狄利克雷或狄里希利條件”下)均可以看成無窮多個(頻率躍變的)正(余)弦函數(shù)之和.

用物理學的術語來講：自然界任何一個隨時間或空間做周期性變化的事物(物質(zhì)系統(tǒng)或描述它的物理量)都可以看成無窮多個(頻率躍變的)諧振動(即正弦或余弦振動)的疊加.

2)任何一個定義在有限區(qū)域上的非周期函數(shù)，均可以通過“延拓”的方法把它轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)，從而仍然可以把它看成無窮多個(頻率躍變的)正(余)弦函數(shù)的疊加.

用物理學的術語來講：自然界任何一個局限于一定空間范圍內(nèi)的事物，都可以看成無窮多個(頻率躍變的)諧振動的疊加.

3)任何一個(定義在無限區(qū)域上的)非周期函數(shù)，都可以看成無窮多個頻率連續(xù)變化的正(余)弦函數(shù)的和(積分).

用物理學的術語來講：自然界任何一個不受限制且表面上看似無規(guī)律的事物，都可以看成無窮多個頻率連續(xù)變化的諧振動的疊加.

4)定義在無限小空間區(qū)域(即一個點)上的非周期函數(shù)(即所謂的δ函數(shù))，可以看成無窮多個頻率連續(xù)變化的正(余)弦函數(shù)的和(積分).

用物理學的術語來講：自然界任何一個可以視作點的事物(如質(zhì)點、點電荷等)都可以看成無窮多個頻率連續(xù)變化的諧振動的疊加.

(2)世界的本原是一種(諧)振動，靜止或不變只是一種表面現(xiàn)象，(周期性)變化才是世界的本原.

2.2 傅里葉的思想和牛頓-萊布尼茨思想的不同之處

傅里葉首先是一個物理學家，他在求解熱傳導方程時，創(chuàng)立了一套數(shù)學理論(核心即傅里葉變換)，解決了一類偏微分方程的定解問題.這一點和牛頓頗為相似.牛頓在解決引力問題時，創(chuàng)立了一種新的數(shù)學工具——微積分，在開普勒三定律的基礎上導出了引力的基本公式，并進而推廣為萬有引力定律.但是，他們兩個的思維方式是不同的.

牛頓認為，不變是世界的本原.微積分的核心思想就是用無窮多個無限小的直線段來代替曲線(每個直線段的斜率是不變的)，即變化的曲線可以看成許多(斜率)“不變的直線”組合而成.牛頓的絕對時空觀和他的微積分的思想也有一些相似之處.盡管時間本身在不停地流逝，但是其量度(時間的長短)卻是絕對不變的，而空間長度、物質(zhì)質(zhì)量等也是如此.總之，在牛頓的意識中，“不變”占據(jù)主導地位，變化只是一種表面現(xiàn)象.

而傅里葉則認為，變化才是世界的本原，即使是表面上看起來不變的水平直線，也可以看成兩個相位相差180°的正弦或余弦函數(shù)的疊加.傅里葉當初或許僅僅把“變換”當作一種數(shù)學方法，沒有想到在這“變換”的背后，隱藏著極其深刻的物理思想.

2.3 傅里葉思想的偉大之處

(1)它符合哲學的基本觀點

馬克思主義哲學的核心可以概括為：一個靈魂(實事求是，一分為二)，二個觀點(運動變化的觀點和普遍聯(lián)系的觀點)；三大規(guī)律(對立統(tǒng)一、量變質(zhì)變、否定之否定規(guī)律).

首先，正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)，可以分為上下兩個對稱的部分(一分為二)；其次，它永遠是連續(xù)變化的(符合普遍聯(lián)系，運動變化的觀點)；第三，正弦函數(shù)由兩個既對立又統(tǒng)一的部分組成，當函數(shù)值變化到最高或最低點時轉(zhuǎn)而反向變化，符合量變質(zhì)變規(guī)律.由于是周期性變化，自然符合否定之否定規(guī)律.

同時，它也符合中國古代的哲學思想.道家學說認為，世間萬物均由陰和陽所組成，陰極生陽，陽極生陰，陰陽和合，天人合一.在太極圖上，陰陽分別用黑白魚形圖案表示，其變化規(guī)律和正弦函數(shù)有相似之處.

(2)它符合美學的基本原理

和諧對稱是一種美，連續(xù)平滑的變化也是一種美.直線的對稱性太低(而且沒有變化或變化過于簡單)，圓的對稱性太高(變化過于單調(diào)),冪函數(shù)比較復雜，對稱性也不高，所以都不是很完美.

和諧通常是指兩個不同的事物能夠完美地組合在一起，形成一個相互依存的整體.直線、圓、冪函數(shù)(如n次拋物線)等都不滿足這個要求，都不和諧.把兩個極端(最低對稱性的直線和最高對稱性的圓)巧妙地組合起來，比如讓半徑做圓周運動，半徑在水平軸和豎直軸上的投影就分別形成了余弦和正弦函數(shù)，這是一種完美的曲線，具有許多獨一無二的優(yōu)點(見下面第三大部分).

(3)它符合物理學的最新觀念

現(xiàn)代物理學最偉大的思想有兩個：一是真空不空(愛因斯坦首先意識到這一點，認為沒有任何場的絕對真空是不存在的，量子場論進一步證實了這一點)；二是認識到，一切粒子乃至一切物體，都不過是真實的(三維空間中的)場振動或十一維時空中的“超弦”振動，這些思想不過是傅里葉思想的進一步發(fā)展而已.

(4)它符合數(shù)學自身的特點

數(shù)學除了具有抽象性之外，還具有邏輯上的嚴密性和應用上的廣泛性.傅里葉變換完全具有這些特點，特別是其應用的廣泛性，在眾多數(shù)學工具中并不多見.

3 正(余)弦函數(shù)的獨特優(yōu)點

概括起來，正(余)弦函數(shù)有下列9個優(yōu)點：(1)函數(shù)本身的簡單性；(2)(函數(shù)值的)有限性；(3)對稱性；(4)周期性；(5)導數(shù)的簡單性；(6)連續(xù)平滑變化性；(7)三參數(shù)性；(8)正交性； (9)不變中的變化性.其中最后3個特點尤為重要，現(xiàn)在簡單介紹一下.

正弦函數(shù)y=Asin (ωt+φ)中有3個參數(shù)：角頻率ω，振幅A，相位φ，可以用來表示物理系統(tǒng)的3個特征參量.比如對于一般的系統(tǒng)，我們關注3個最重要的參量：組分的性質(zhì)、組分的數(shù)量或規(guī)模、組分的結(jié)構(排列組合方式).其他的常用函數(shù)一般只有一個或兩個參量，很難完整地描述物理系統(tǒng).

所謂函數(shù)的正交性，即兩個函數(shù)在一個周期內(nèi)的積分為零，它是矢量正交(或垂直)概念的推廣(兩個矢量正交，則它們的內(nèi)積為零).比如函數(shù)族

不變中的變化性前面已經(jīng)有所提及，就是說，即使是表面上看似不變的直線，也可以看成兩個相位相反的正(余)弦函數(shù)的疊加，運動變化是物質(zhì)的基本屬性.

4 四維協(xié)變的傅里葉變換公式

4.1 傅里葉級數(shù)的主要公式

若f(x)為一個周期函數(shù)，其周期為2l，即f(x+2l)=f(x)，則f(x)可以看成(周期相同的)無窮多個頻率躍變的正(余)弦函數(shù)的和.

(1)

其中的系數(shù)ak,bk相當于“函數(shù)矢量”f(x)的無窮多個分量，正(余)弦函數(shù)則相當于無窮多個“基矢”.文獻[1]給出了系數(shù)的公式

(2)

(3)

定義在有限區(qū)域上的非周期函數(shù)，可以通過“延拓”轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)，然后用類似的方法展開為傅里葉級數(shù).為簡單起見，有時傅里葉級數(shù)也可用復數(shù)表示

(4)

(5)

4.2 傅里葉變換(積分)的主要公式

如果f(x)是定義在無限區(qū)域上的非周期函數(shù)，根據(jù)文獻[1]～[3]可知，可以把它展開為無窮多個頻率連續(xù)變化的正弦或余弦函數(shù)之和(積分)，此即所謂的傅里葉變換，其復數(shù)形式為

(6)

(7)

當然也可以把式(6)、式(7)寫成對稱形式

(8)

(9)

還可以從一維推廣到三維“空間”，即將

ωx→k·r=kx+ky+kz

同時做下列置換

可得三維空間的傅里葉變換公式

(10)

(11)

(12)

(13)

式(12)和式(13)即為量子力學中最常用的變換公式[4].

4.3 四維協(xié)變的傅里葉變換公式

式(12)、式(13)不具有洛倫茲協(xié)變性，因為它只對三維坐標或三維動量進行變換，沒有對時間和能量進行變換.下面導出洛倫茲協(xié)變的傅里葉變換公式.令四維動量矢量[5]

四維坐標矢量

(xμ)=(x1,x2,x3,x4)=(x,y,z,ict)=(r,ict)

則有

(14)

上式右邊采用了愛因斯坦求和約定(相同指標表示求和).作下列替換

式(12)、式(13)化為

(15)

(16)

式(15)、式(16)即為洛倫茲協(xié)變的傅里葉變換公式，具有完美的對稱性和簡潔性，非常優(yōu)美.它是“四維(閔可夫斯基)坐標空間”和“四維動量空間”之間的變換.也就是說，一個空間的函數(shù)可以通過“無窮多個基本函數(shù)”變換到另一個空間的函數(shù)，反之亦然.

與此相似，定義在無限小區(qū)域(一個點上)的非周期函數(shù)，也可以通過傅里葉變換，展開為無窮多個正弦或余弦函數(shù)的和(積分).

5 傅里葉變換的應用領域

由于復數(shù)形式的一維傅里葉變換中，基本函數(shù)為eiωx，其導數(shù)或微分后仍然是這個函數(shù)(前面多一個或幾個常數(shù))，從而使線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解，這在數(shù)學和物理上都非常有用.此外，著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段.離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速算出.由于這些性質(zhì)以及本文第三大部分所講的9個特點，使傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用.

從軍用到民用，從基礎科學(如量子力學)到應用科學(如計算機、通信、激光等).

從周期到非周期函數(shù)，從粒子到場，均可以應用傅里葉變換來解決許多實際問題.其應用領域之廣，除了微積分和微分方程之外，很少有其他工具可以和它相媲美.

很多專家說，傅里葉變換就是從時域變到頻域，這是一種非常膚淺的認識，傅里葉變換所蘊含的思想之深刻，遠遠超越了絕大多數(shù)人的想象.希望本文能有助于讀者加深對傅里葉變換的認識.