超高層建筑STMD峰值運動位移的快速計算方法

李衛(wèi)華

（湖南金輝建設集團有限公司，湖南 長沙 410022）

0 引言

超高層建筑的抗風與抗震問題具有現實意義[1]，2018年臺風山竹登陸上海，致使上海中心大廈的頂部發(fā)生了高達1m的振動位移，明顯的振動位移所伴隨的加速度足以使處于高層的人群產生恐慌，影響超高層建筑的服役性能。實際上，在上海中心大廈的第126層裝有用于抵抗振動的電渦流擺式調諧質量阻尼器，阻尼器利用共振原理將結構的振動能量吸收到阻尼器的彈簧單元上，轉化為阻尼器的自身振動，并利用其設置的阻尼耗能單元將振動能量消耗，進而達到減振的目的。然而目前的工程應用中更傾向于對高層結構減震效果的評價研究，對阻尼器自身的振動的研究十分不完善，阻尼器在進行有效的振動控制過程中其自身會產生振動，而且阻尼器的振動幅度往往是主結構振動幅度的數倍，如果振動幅度過大將會導致阻尼器撞擊主結構，使得主結構產生局部破壞，因此研究STMD的運動位移的幅值具有相當的現實意義和工程價值。

STMD的運動行程主要通過STMD的相對位移動力放大系數（DMFre）來衡量，雖然可以采用精確的位移計算方法，但是精確方法進行有阻尼結構STMD峰值相對位移動力放大系數（max.DMFre）的確定需要進行參數搜索，這使得工程應用時耗時且復雜，為了簡化max.DMFre的計算，本文提出了半理論半經驗的max.DMFre簡化計算公式，計算公式無需任何參數搜索，方便人工計算。簡化公式在工程常用STMD質量比以及結構阻尼比組合下均具有良好的計算精度，本文的方法提供了一種STMD位移的快速計算方法，該方法完全可供STMD的設計采用，特別是STMD設計的初步設計階段。

1 STMD相對位移精確計算公式

此時得到的DMFre是關于荷載激勵頻率g的函數曲線，而在實際的STMD的設計過程中更加關心該曲線的峰值，也即max.DMFre。

不難看出，采用精確方法進行計算時，應首先進行參數搜索，這本身就是耗時的，此外，由于精確方法需要首先尋找一條曲線然后確定其峰值，這決定了其很多計算結果是無效的，這極大地浪費了計算資源。雖然鄧哈托也提出了STMD位移的計算方法，但其估算公式也僅僅適用于無結構阻尼的情形，有結構阻尼時，其估算公式是失效的，而實際的工程結構必然存在阻尼，且阻尼對結構的響應至關重要，特別是高聳結構在渦振時結構阻尼是其振動幅值的決定性物理參數，因此鄧哈托推導的公式是難以應用于實際工程的。本文認為，應該基于精確方法采用簡化策略得到一個可以計及結構阻尼的max.DMFre快速計算方法，使其可以應用于實際的STMD設計并具有較強的靈活性同時保證一定的計算精度。

2 STMD相對位移快速計算方法

2.1 簡化快速計算方法的求解思路

本文所提出的簡化計算方法的確定依據是式1，由式1可以看出，要完全確定max.DMFre，需要五個參數：質量比μ、結構阻尼ζs，頻率比f、STMD阻尼ζ1以及荷載頻率比g。（這里的f和ζ1分別對應由質量比μ和結構阻尼ζs所確定的最優(yōu)參數fopt和ζopt）。

在某一設計的質量比μ以及結構阻尼ζs下，可通過STMD優(yōu)化理論，求得對應一組最優(yōu)的參數f（fopt）和ζ1（ζopt），此過程需要利用程序進行參數搜索[1]。此時，式1中，確定STMD最大位移的參數只有g沒有確定。傳統(tǒng)方法是通過參數搜索得到令DMFre最大的g值的。本文認為，在給定了質量比μ以及結構阻尼ζs時，最優(yōu)的參數f和ζ1，以及待確定的max.DMFre對應的g值可能與給定的參數，即質量比μ以及結構阻尼ζs存在一定的關系，只要能確立這種隱含關系，就可完全計算出max.DMFre。而無需進行f和ζ1的參數尋優(yōu)和g值的參數搜索。

2.2 三參數與質量比、阻尼比關系的確定

在max.DMFre的確定過程中，給定質量比μ以及結構阻尼ζs，另需確定三個參數：f、ζ1和g值。為論述方便，本文將其稱為三參數。

（1）f、ζ1與質量比、阻尼比關系的確定。首先研究f、ζ1與給定的質量比μ以及結構阻尼ζs之間的關系。

根據Ioi和Ikeda[2]的研究成果，最優(yōu)參數f、ζ1值可由經驗公式計算，且計算誤差在1%以內。

（2）g與質量比、阻尼比關系的確定。現研究max.DMFre對應的g值與STMD質量比以及結構阻尼之間的關系。為了分別確定質量比和結構阻尼對g值的影響，選取不同的質量比，在每個質量比下選取不同的結構阻尼，做出DMFre隨g值的變化曲線，研究max.DMFre對應的g值對兩種因素的參數敏感性。

選取質量比μ=0.01、0.03、0.05三種工況，每個質量比下選取結構阻尼比為1%和2%[3]，值得注意的是，結構阻尼比不同，對應的f和ζ1的值也會不同，在研究時應考慮在內。計算結果顯示：在任意質量比下，變換結構阻尼比，max.DMFre對應的g值幾乎不會變化，結構阻尼比影響的只是max.DMFre的幅值大小。max.DMFre對應的g值只和質量比μ高度相關。這樣，公式1中的g就可以在質量比確定以后通過對應關系快速求出。另計算質量比為0.02、0.04和0.06、0.07的工況，可得表1。

表1 不同質量比對應的頻率比g值

根據表1繪制圖1，并進行數據擬合。通過圖4可以看出，g值與質量比呈現出明顯的非線性關系，為了兼顧準確性與方法簡化度，采用二次函數進行擬合。

圖1 g與質量比的關系曲線

根據數據擬合結果，可得g關于質量比的函數表達式：

至此，三參數與質量比關系得以確定，當某一結構體系給定了質量比與結構阻尼比，f、ζ1和g值可由質量比μ和結構阻尼比ζs求得近似值，代入式1即可求得max.DMFre。

2.3 STMD峰值相對位移簡化計算步驟與計算結果

根據2.2所述，三參數其實是質量比和阻尼比的二元函數，但是為了問題的簡化，考慮其主要影響因素，可簡單認為g值是STMD質量比μ的一元函數。根據2.2，其計算步驟可用圖2所示流程圖形象表示。

圖2 max.DMFre計算流程圖

土木工程結構中常用鋼結構或者混凝土結構，其中鋼結構的阻尼比一般在0.5%～1%之間，而混凝土結構的阻尼比一般在2%～5%之間[4-5]，為符合工程實際，綜合兩種材料的阻尼特性選取0.75%、2%、3%、4%以及5%五種結構阻尼比的工況進行研究，每種阻尼工況下對應不同的質量比。

利用上述質量比與結構阻尼比下的最優(yōu)參數f、ζ1值的對應關系，代入式1進行g值的參數搜索，獲得max.DMFre的精確值，然后利用本文提供的簡化計算方法獲得每個結構阻尼比下max.DMFre的近似值，對比結果如圖3所示，其中，精確解只能給出某個點狀的解，而本文簡化方法的解是連續(xù)的，圖3反映出了這一點。

通過圖3可以看出，在土木工程常用的結構阻尼比以及對應的STMD質量比下，本文提出的STMD峰值位移簡化計算理論能夠準確計算max.DMFre，只有在質量比較小的情況下，某些結構阻尼比下的計算結果稍有偏離，但整體計算誤差較小，可以滿足實際工程需要。

圖3 計算結果的比較

3 結語

為了方便工程應用，準確評估STMD的運動位移，對相關參數進行了簡化計算，得到了STMD峰值相對位移放大系數max.DMFre的半理論半經驗的簡化表達式，通過簡化公式，僅需給定STMD質量比與結構阻尼比就可快速計算出max.DMFre，且計算結果精確可靠，在土木工程常用的阻尼比取值情況下都取得了滿意的結果。該簡化方法計算過程無需任何參數搜索，易于編程運算及不具備計算資源時的手工快速計算。將計算得到的max.DMFre乘以結構靜位移即可得STMD的運動行程。研究成果可為STMD的實際工程應用提供參考。