結構不良數學問題的特征、應用及教學邏輯

劉海龍 徐輝 傅海倫T

摘? ?要

在數學素養逐漸成為中學數學教學與測評核心目標的背景下，辨析了結構不良數學問題的特征，給出了結構不良數學問題在近年高考全國卷的表現，并結合結構不良數學問題的素養測評效能評析，進而提出解決結構不良數學問題的教學策略和建議。在數學測評中合理設計運用結構不良問題，能夠誘導出反映學生數學知能水平的關鍵行為表現，是數學教學和測評實現素養導向的可行和有效途徑。

關鍵詞

高考? 結構不良問題? 問題解決模式? 數學核心素養

2019年12月，教育部考試中心正式發布了“一體四層四翼”的高考評價體系，在高中課程標準數學學科核心素養的基礎上提出了高考考查的數學學科素養——理性思維、數學應用、數學探索和數學文化[1]，完善了中學數學教育評價體系的關鍵一環。近年來，在課程標準與高考評價體系的指引下，高考命題以素養為導向[2]，創新運用了多種新題型，結構不良問題是其中重要的一類[3]。

一、結構不良數學問題的特征

對于特定的學習者而言，結構良好問題與結構不良問題是屬性相互對立的兩類問題，前者是問題的初始狀態、目標狀態、解決問題的模式（算子）三者都清晰明確的問題，而后者則是上述三種要素至少有一個沒有明確界定的問題[4]。

有關結構良好的問題，常見于我們的學科課程之中，例如求解一元二次方程x2-x-1=0。這個問題的初始狀態、目標狀態以及解決問題的模式對于初中學生來說都是明確的，學生只要掌握必需的知識，運用一定的操作程序即可求得正確的答案，問題解決過程和答案都是穩定的。而有關結構不良問題，常源于實際生活，而且學生在未來生活中遇到的問題多數是結構不良的，例如“病毒的傳播機制問題”。要解決這個問題，需要掌握一定的數學分析、微分方程、概率、統計等知識技能，在大量的醫學和社會學調查的基礎上，提出合理的病毒傳播的數學模型假設，在解釋和運用模型過程中，評估所建構的模型對實際情況的估計和推斷的準確性[5]，并不斷對模型進行調整，以求得到對未來病毒傳播的更加準確的預判。結構良好問題和結構不良問題的特征見表1。

對于解決結構不良的數學問題，需要重構問題給出的信息，對問題進行充分的表征和分析，探尋問題解決的路徑，樹立評價意識，要隨時對解題路徑的設計規劃、解題操作、最終效果進行評估。在這個過程中，學生既是一名問題解決方案的設計者，也是一個問題解決的操作者。應用場景多元、思考方式多元、解決方法多元、結論多元、評價多元，決定了合理運用結構不良問題，對學生的數學問題解決模式的學習、認知與元認知能力提升、數學核心素養的提升、創造性才能的培養都是十分有利的。特別是在大規模數學考試中運用的結構不良問題，能發揮出許多結構良好問題所不具備的優勢，更為深入地評價學生在問題解決過程中的判斷能力、思辨能力、創新能力、探究能力，促進學生形成應對未來的生活和挑戰的數學素養。

二、結構不良數學問題在高考全國卷中的應用

在數學考試測評中設計和運用的結構不良問題，首先，綜合考慮考試與測量評價目標的要求。問題必須在課程標準、考試評價體系所確定的框架內設計開發，以測量評價學生數學能力為目的，在知識、技能、素養、價值觀等各維度均有明確的測量目標，對于數學教學具有啟示和導向的價值。其次，創設的問題需要貼近學生的社會認知，與學生的學科知能素養水平相符，能讓多數學生在一定時間內完成或部分完成試題，并可以通過考生的作答來判斷和鑒別考生在數學知識、技能、素養上的差異。為使結構不良問題在數學考試中起到較好的測評效用，問題的規模不能太大，要控制問題發散的程度，可在問題初始狀態、目標狀態和問題解決模式這三個要素中，局部加入不確定性，使問題呈現結構不良的屬性，以滿足在有限時間內實現對學生數學水平考查的要求。

1.初始狀態和最終狀態不明晰的結構不良數學問題

結構不良問題可以采取條件開放或結論開放的形式構建，為問題的初始狀態和最終狀態呈現不確定性。例如，2020年新高考全國卷第17題：

試題設計了三個開放性的可選擇的條件，導致問題的結論同樣是開放的。學生可以比較容易地初步確定問題解決的方案，那就是先從問題已固化的條件出發，進一步挖掘信息，初步化歸條件，然后結合已有的知識和經驗，觀察已知條件與待選條件之間是否存在有利的聯結，進而解出三角形，或者判定三角形不存在。這種方案的選擇大概率源于學生平日注重提升解題效率、尋求最優化的解題方法的訓練，因為大多數學生潛意識里會認為，不同的條件可能會對應不同的計算難度和計算量，通過解出三角形得到有解的結論會要比判定三角形無解來說更為有利。

正弦、余弦定理的運用模式和化歸，是解決這個問題的首要的必備知識和關鍵能力。首先，已固化的條件sinA= sinB是兩個角的關系，而未固化的條件中則有兩個邊邊關系、一個邊角關系可選擇，所以，通過運用正弦定理將兩個角的關系轉化為邊邊關系a= b，是學生容易想到的操作。得到這個關系后，最容易觀察到的就是可以結合條件③c=b，得到a=c= b，從而初步判斷此三角形是B=120°，A=C=30°的等腰三角形。而此后可以通過判斷sinA≠ sinB與題設矛盾而得到三角形不存在的結論，也會有相當多的學生在后續解三角形過程中發現方程無解，才得以證明三角形并不存在。實際上，問題結合條件③后，只給出了等腰三角形的腰和底邊的比例以及底角，假如符合條件的三角形存在的話，將會是無數個相似的三角形，也并不能求出的c值。

當然，此問題的解決模式遠遠不止上述幾種，但實際上各種模式之間沒有優劣之分，只是體現了不同學生的思維特征和習慣的差異，涉及的計算量和思維含量相近，不論選擇什么路徑解決問題對學生來說都是公平的。

這道典型的結構不良試題，立意于素養導向，立足于對必備知識和關鍵能力的考查，體現了方程思想和化歸思想的運用，實現了基礎性、綜合性、應用性、創新性的統一。試題通過構造不明晰的問題初始狀態和最終狀態，增強但又合理限制了試題的開放性，為學生的作答提供了充分的反應空間，體現了探究性和問題解決模式的自主建構，是傳統的結構良好的問題較難實現的。考生不僅僅要解決問題，還要設計解決問題的方案和路徑，預設各種可能性并思考應對的方法，并隨著問題解決的推進，時刻評估解題操作成功的可能性。

2.問題解決模式不明晰的結構不良數學問題

高考試題在創制時，問題的初始狀態雖然以學生熟悉的內容為基礎，但常立足于知識交匯，體現數學思維的創新。當知識的聯結和解題模式超出學生既有的經驗時，解決問題的操作模式就會變得模糊和不確定，需要學生創造性地建構解題路徑，探尋解題的方法。例如，2020全國新課標I卷（理科）第12題：

若2a+log2a=4b+2log4b，則

A.a>2b? ? ?B.a<2b? ? ?C.a>b2? ? D.a

問題給出的條件方程和目標狀態都是明確的，但顯然不可能通過解方程或賦值法找到答案，問題的解決模式需要進一步探尋。學生比較容易想到的是將指數式和對數式分離，并且調整指數式和對數式的底數進行化歸，從而找到問題解決的契機。即由條件得2a-22b=log2b-log2a=log2（b/a），（a>0，b>0）。經此操作，既在等式左側構造出了與A、B選項相關的差式，又可以進一步通過對數運算化簡等式右側。此時，問題解決的模式已經明晰起來，即要想比較兩個指數式的大小，實際上就是要討論a與b的大小關系：

（1）當a>b時，log2（b/a）<0，則b

（2）當a0，則a>2b，矛盾;

（3）當a=b時，log2（b/a）=0，則a=b=0，矛盾。綜上，a<2b。

這個問題，是以指、對數運算和指、對數函數的性質等必備知識為基，以化歸、分類討論、數形結合的數學思想為引，構造的問題解決模式不明晰的結構不良問題，體現了對數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的考查，對學生的理性思維和數學探索能力提出了較高的要求。

這個問題的解決過程，凸顯了遷移運用和創新建構問題解決模式的重要性。當學生自身的認知和經驗中不存在解決此類問題的模式，或沒有發現自己掌握的模式能夠解決這個問題的時候，樸素的化歸思想會最先發揮作用，學生常對問題初始狀態和目標狀態進行轉化，拉近二者之間的距離。在這之后，學生或者能觀察探究到某種關系，然后發現新的問題和已經掌握的操作模式是相同的，從而實現方法的遷移，并最終解決問題;也可能設計的路徑無法解決問題，則需要重新進行轉化以建構新的操作模式。如果學生能將掌握的概念、性質、方法進行聯結，能夠為問題解決建構起新的認知結構，或者順利實現了方法的遷移運用，也就意味著學生具備了突破結構不良問題的核心能力，反映出學生具有較好的數學素養和隨機應變的能力。

3.綜合性的結構不良數學問題

綜合性的結構不良問題，常來源于現實生活情境，問題的信息、解決模式和最終結論都具有不同程度的開放性和不確定性。例如2019年理科數學全國I卷第4題：

古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（ -1）/2≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是（ -1）/2。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（? ? ）。

A.165cm? ? B.175cm? ? C.185cm? ? D.190cm

題目使用了語言敘述的方式給出了包括人體部位的長度、比例等關聯復雜的信息，這種信息呈現的方式顯然是不夠直觀的，不利于問題的分析和解決。從以往的經驗看，審題時反復閱讀文本，并進行劃線標記等單純的強化記憶的操作并不能有效幫助學生理解題意。而數學模型素養較好的學生，通常能很快地與試題信息展開互動，對信息進行選擇、重構和解釋，進而將信息表征為可以直接用于問題解決的、直觀且便于操作的形式，比如圖形和圖表。

有圖1作支撐，試題條件的深層次的不良結構也會隨之顯現，即長度測量的定義不一致。面對這種不確定性，學生容易陷入建立方程模型求值的思維定式而產生困惑：“頭頂至咽喉的長度”是否等于“頭頂至脖子下端長度”，“肚臍至足底的長度”是否等于“腿長”，所給的條件是否是冗余的等等。而能否綜合不一致的定義、雙重條件、模糊的設問表述等復雜情況，利用條件中的“不相等”關系，建立不等式模型，則是找到解題路徑的關鍵。這個建模的過程既是對學生的數學模型素養的考驗，也是對學生的意志品質、心理素質與臨場應變能力的考驗。

在解模過程中需要不斷評估和調整操作方案：是否需要兩個不等式都要解？如果只解一個就能做出判斷的話，選擇先解哪個更簡便？考慮黃金分割比的根式和數字形式中哪一種更有利于運算？考慮是否可能通過估算來簡化運算，必須使用0.618嗎？使用0.62或使用0.6進行估算，所得到的數值是否會影響到答案的選擇？此過程需要學生預設解運算過程中可能會遇到的問題，在運算前思考，在運算中評估和調整，以獲得更加優化的解決方案，對學生的元認知水平提出了考驗。

“維納斯”一題綜合體現了結構不良問題的特征，它的初始狀態和目標狀態是模糊的，解決問題所涉及的原理和方法也并不容易確定，隨著分析的推進，需要不斷做出新的評估和選擇，對學生的意志力和隨機應變能力提出了較高的要求。因此，試題才能夠綜合體現理性思維、數學應用、數學探索、數學文化的高考素養考查目標，全方位考查學生的信息加工重構能力、問題表征能力、數學建模素養、解題策略監控與調整能力等復雜的認知與元認知能力[7]，凸顯數學測評的素養導向。

三、解決結構不良數學問題的教學邏輯

1.構建對結構不良數學問題的正確認知

設計并運用結構不良數學問題，以培養學生發現問題、辨析概念、構建聯結和假設驗證等解決問題的能力[8]，對于面向素養的數學教學與測評是一種必然。因而，教師亟需充分了解數學結構不良問題的特征，在課堂教學、考試測評、研究性學習等不同場景中嘗試開發和運用結構不良問題，分析評價結構不良問題對培養學生數學核心素養的效用，為學生提供更為靈活的數學學習實踐機會，在促使學生從一個被動的信息加工者變成一個主動的問題解決者的同時[9]，促成自身的數學教學價值觀從單純關注學生的知識結構向關注核心素養提升轉變。

2.重視必備知識、關鍵能力的教學

結構不良的數學問題并不是脫離知識和能力框架的問題，而是以落實數學基本概念和方法的掌握為目標設計的、具有創新結構的問題。結構不良問題的解決不存在捷徑，學生只有掌握了扎實的數學基礎知識和熟練的數學技能，知識、能力和核心素養才能有機協同地發揮作用，不同知識、方法之間才能產生新的綜合性的聯結，促進問題解決能力的形成和提升。所以，教師的教學應以提升學生數學素養為引導，耐心幫助和鼓勵學生落實對基礎知識的理解和基本技能的訓練，逐步積累問題解決經驗，發展學生解決實際問題的能力。

3.幫助學生建構自主探究解決問題的空間

為了讓學生真正形成有助于應對未來生活的數學素養，教師應借助結構不良問題的教學，幫助學生建構自主探究解決問題的空間。在學生尚未獲取應對結構不良問題的經驗之前，教師的任務是為學生構建好最近發展區，將學生解決問題所需要的必備知識和關鍵能力提升到位。這些預備性的知識技能和方法作為解決問題的支架，在學生開始嘗試解決結構不良問題時會起到關鍵作用。但隨著學生解決問題的經驗越來越豐富，教師就應該嘗試減少教學過程中的干預，從一開始的啟發式教學，轉向逐步放手的項目式教學。教師應指導學生自主設計問題解決的方案，大膽地將知識準備、信息的處理加工、問題的重構與表征、問題目標的確定、知識間的聯結、方法的類比與遷移、解題策略的評價、解題操作的監控等學習任務交由學生完成。在這個過程中，教師要給學生提供有必要的支撐，而非無原則的鋪墊，要幫助學生認識解決問題過程存在障礙的原因，引導學生自主監控、評價、和調整。只有在此種能夠更加靈活地進行辨析、建構、遷移運用的學習空間里，學生的高階數學思維能力才能形成。當學生脫離了既有的模式和經驗之后，面對新情境新問題，仍然可以運用數學思維和方法，在獨立思考的基礎上發現問題、表征問題和求解問題，則標志著數學素養的最終形成。

參考文獻

[1] 任子朝，趙軒. 基于高考評價體系的數學科考試內容改革實施路徑[J].中國考試，2019（12）：27-32.

[2] 任子朝.從能力立意到素養導向[J].中學數學教學參考，2018（05）：1.

[3]任子朝，趙軒.數學考試中的結構不良問題研究[J].數學通報，2020，59（02）：1-3.

[4] Reitman W R.Cognition and Thought：An Information Processing Model[M].Wiley，1965：312.

[5] 姜啟源.數學模型[M].第2版.北京：高等教育出版社，1987：48-52.

[6] Jonassen，D.H.Instructional design mode for well-structured and ill-structured problem-solving learning outcomes[J]. Educational Technology Research and Development，1997（01），65-95.

[7] 李同吉，吳慶麟.論解決結構不良問題的能力及其培養[J].華東師范大學學報，2006，24（01）：63-68.

[8] 王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J].中國教師，2016（09）：33-38.

[9] 魯志鯤，申繼亮.結構不良問題解決及其教學涵義[J].中國教育學刊，2004（01）：47-50+57.

【責任編輯? 郭振玲】