一種新型半對稱三平移一轉動(3T1R)并聯操作手的運動學研究

孫馳宇 沈惠平， 袁軍堂 楊廷力

1.南京理工大學機械工程學院,南京,210094 2.常州大學現代機構學研究中心,常州,213016

0 引言

三平移一轉動(3T1R)并聯操作手在汽車、電子產品的裝配及醫療業有著潛在的應用價值，應用前景廣闊[1-5]。

石志新等[6]基于方位特征(position and orientation characteristic，POC)集理論，綜合并優選了一種新型3T1R并聯機構，給出了其運動學正逆解；陳海等[7]基于螺旋理論和獨立驅動原則，綜合了一類3T1R完全解耦并聯機構；史巧碩等[8]基于GF集提出了3T1R并聯機構的構型方法，并列舉出具有確定運動特征的支鏈，綜合了一類3T1R機構；楊廷力等[9-11]基于方位特征輸出矩陣，綜合出一系列3T1R并聯機器人；劉辛軍等[12-13]研制出一臺具有單動平臺且能實現3T1R輸出的X4型并聯機構樣機。SéBASTIEN等[14]在H4機構的基礎上，提出了一種全新的3T1R并聯機構I4，構建了其運動學模型，并給出了樣機；OSCAR等[15]基于位移群理論設計了一種滿足Sch?nflies運動的新型3T1R機構，推導出了其位置正逆解，并對其速度及奇異位形進行了分析；KIM等[16]綜合出一種具有大工作空間的3T1R并聯機構，通過對其工作空間和運動學各向異性進行分析，優化了其工作能力；SéBASTIEN等[17]提出了一種名為Pantopteron-4的3T1R四自由度解耦并聯操作手，對其運動特性及工作空間進行了分析并給出了樣機模型。

上述國內外學者研究的3T1R機構中，H4操作手機構的綜合性能較為突出，已有較好應用。本文提出的新型2RRPaR+2RSS機構與H4機構相比，拓撲結構更加簡單；同時，選取與H4操作手相同的尺寸參數，2RRPaR+2RSS機構的工作空間更大、轉動能力更強。本文對該機構進行運動學研究，得到了位置正逆解，并進一步對其工作空間、轉動能力、奇異位形作了系統分析。

1 2RRPaR+2RSS機構及其拓撲分析

1.1 機構描述

本文根據基于PCD方程的并聯機構拓撲設計理論與方法，提出了2RRPaR+2RSS機構，如圖1所示，它由定平臺0、動平臺1、2條RSS型無約束支鏈及2條3T2R輸出的混合支鏈組成，每條混合支鏈中包含1個2S2R平行四邊形結構，可表示為-R∥R(∥R(2S2R)∥P(2S2R))⊥R-(其中，∥表示平行，⊥表示垂直)。在定平臺0上的4個驅動副位于各邊中點；動平臺1上2個轉動副R的軸線需平行于動平臺法線。當定平臺上4個轉動副R驅動機構時，動平臺1可實現3個移動輸出和1個平行于動平臺法線方向的轉動輸出。

H4操作手機構含有4個平行四邊形并聯結構[11]，而2RRPaR+2RSS機構僅含兩個，因此，與H4機構相比，本文的設計機構的拓撲結構更為簡單。

1.2 機構的坐標系建立及其參數標注

機構的坐標系建立及其參數標注如圖2所示。在長寬分別為2a、2b的矩形定平臺的幾何中心設立定坐標系OXYZ，其X軸方向與R11R31連線重合(其中R11、R31分別為驅動副R11和R31的中心點，其他類同)，Y軸方向與R21R41連線重合，依據右手定則可確立Z軸方向；在邊長為n、對角線長為2c的動平臺的幾何中心設立動坐標系puvw，其u軸方向與R11R31連線平行，v軸方向與R21R41連線平行，同樣，依據右手定則確立其w軸方向。

圖2 2RRPaR+2RSS并聯機構簡圖Fig.2 2RRPaR+2RSS PM structure diagram

定平臺0上4個驅動副R11、R21、R31、R41的輸入角分別為α1、β1、γ1、θ1。支鏈1中2S2R平行四邊形結構與定平臺夾角為α2，其擺動內角為α3；支鏈2中2S2R的平行四邊形結構與定平臺夾角為β2，其擺動內角為β3。動平臺1繞其幾何中心處法線方向的姿態轉角為γ，其角速度以w軸逆時針方向為正，如圖3所示。

圖3 動平臺姿態角Fig.3 Rotating angle of moving platform

機構桿件的尺寸分別為：R11R12=R21R22=la；2S2R平行四邊形結構的長邊長為lb；Q1R13=Q2R23=q；R31S32=R41S42=lc；S32S33=S42S43=ld。

1.3 機構的自由度計算及動平臺的POC集[18]

(1)選定動平臺1的幾何中心p點為基點。

(2)確定支鏈末端構件的POC集：

其中，Mbk(k=1,2,3,4)為支鏈k的POC集；t3表示三維移動；r2表示二維轉動；(Rk1,Rk3)表示Rk1、Rk3(k=1,2)軸線所構成的平面。

(3)確定由支鏈1、2組成的第1個回路(即第1個子并聯機構)的獨立位移方程數：

ξL1=dim{Mb1∪Mb2}=

第1個子并聯機構的自由度和POC集分別為

式中，dim{·}表示POC集的維數；F(1-2)為支鏈1與支鏈2串聯后的自由度；Mpa(1-2)為支鏈1與支鏈2并聯后的POC集；fi為第i個運動副的自由度；m為運動副數。

(4)確定由第1個子并聯機構和支鏈3組成的第2個回路(即第2個子并聯機構)的獨立位移方程數：

第2個子并聯機構的自由度和POC集分別為

Mpa(1-3)=Mpa(1-2)∩Mb3=

(5)確定由第2個子并聯機構和支鏈4組成的第3個回路自由度的獨立位移方程數：

機構整體的自由度和POC集分別為

因此，動平臺1具有3個移動輸出和1個平行于R13軸線方向的轉動輸出。

1.4 機構的耦合度計算[18]

第1個回路為支鏈1、支鏈2串聯構成的第1個單開鏈(single open chain,SOC)，即

Loop1{-R11∥R12(∥R(2S2R)∥P(2S2R))⊥R13∥
R23(⊥P(2S2R)∥R(2S2R))∥R22∥R21-}

其約束度

第2個回路由第2個SOC構成，即

Loop2{-R31-S32-S33-}

其約束度

第3個回路由第3個SOC構成，即

Loop3{-R41-S42-S43-}

其約束度

式中，mj為第j個SOC的運動副數；Ij為第j個SOC的驅動副數。

綜上可知，該機構僅包含一個基本運動鏈[18]，其耦合度為

式中，v為獨立回路數。

因耦合度κ=2，故對其進行位置分析時可建立包含兩個虛擬變量的非線性方程，并采用二維搜索法，可求出該機構的位置正解。

2 位置正解

該機構的位置正解問題可描述為：已知主動輸入轉角α1、β1、γ1、θ1，求動平臺1幾何中心的位置(xp,yp,zp)及姿態轉角γ。

2.1 在約束度Δ1=2的Loop1上求解各運動副

在支鏈1上，由直角坐標法可依次通過R11、R12、R13點坐標最終求得p點坐標，即

(1)

同樣，由支鏈2可求得p點坐標，即

(2)

令

t1=b-lacosα1-lbsinα3cosα2
t2=a-lacosβ1-lbcosα3
t3=lasinα1-lasinβ1+lbsinα3sinα2

則由式(1)、式(2)可得

(3)

易知γ及(xp,yp,zp)僅與虛擬變量α2、α3有關。

由式(3)可得

令k1=tan(γ/2),即

γ=2arctank1

(4)

2.2 在約束度Δ2=-1的Loop2上建立位置相容方程1

由支鏈3可得S32、S33在定坐標系中的坐標：

由桿長約束S23S33=ld，有

(5)

2.3 在約束度Δ3=-1的Loop3上建立位置相容方程2

由支鏈4可得S42、S43在定坐標系中的坐標：

由桿長約束S42S43=ld，有

f2(α2,α3)=(xp+csinγ)2+

(6)

于是，可得到有關兩個中間變量α2、α3的兩個位置相容方程(式(5)、式(6))；使用二維搜索法改變α2、α3的賦值，使f1(α2,α3)=0、f2(α2,α3)=0，可得到真實的α2、α3；再將α2、α3真實值代入式(1)，可得到p(xp,yp,zp)，再代入式(4)，可得姿態角γ，即解得機構的位置正解。

3 位置逆解

該機構的位置逆解問題可描述為：已知動平臺1的幾何中心位置(xp,yp,zp)及姿態角γ，求主動副輸入轉角α1、β1、γ1、θ1。

3.1 求驅動副R11的輸入角α1

基于機構支鏈1，由式(1)可得

其中ya=b-ccosγ-xp,yb=zp-q,整理可得

令k2=tan(α1/2)解得

則

α1=2arctank2

(7)

3.2 求驅動副R21的輸入角β1

基于機構支鏈2，由式(2)可得

其中,yc=a-ccosγ-yp,整理可得

A2cosβ1+B2sinβ1+C2=0

A2=-2yclaB2=-2ybla

令k3=tan(β1/2),解得

則

β1=2arctank3

(8)

3.3 求驅動副R31的輸入角γ1

由支鏈3的桿長約束S32S33=ld，可得

令

則有

A3cosγ1+B3sinγ1+C3=0

令k4=tan(γ1/2),解得

則

γ1=2arctank4

(9)

3.4 求主動副R41的輸入角θ1

由支鏈3的桿長約束S42S43=ld，可得

令

則有

A4cosθ1+B3sinθ1+C4=0

令k5=tan(θ1/2)，解得

則

θ1=2arctank5

(10)

將動平臺基點p的位置坐標(xp,yp,zp)及姿態角γ分別代入式(7)～式(10)，可得4個驅動副的驅動角α1、β1、γ1、θ1，即解得機構的位置逆解。

4 正逆解算例驗算

4.1 正解算例

2RRPaR+2RSS機構與H4操作手包含相同的平行四邊形結構，為便于性能比較，現取相同的主要尺寸參數進行計算分析，分別如下：la=375 mm，lb=800 mm，lc=375 mm，ld=800 mm，a=400 mm，b=400 mm，c=400 mm，q=40 mm。

給定兩組輸入角：①α1=119.05°,β1=134.81°,γ1=122.44°,θ1=108.93°;②α1=119.32°,β1=121.21°,γ1=120.20°,θ1=120.65°。

利用MATLAB軟件，對式(1)～式(6)進行編程，通過二維搜索法可分別得出兩組輸入角條件下的兩組實數正解，如表1所示。

表1 2RRPaR+2RSS機構位姿正解的數值解Tab.1 Numerical solution of forward kinematics for 2RRPaR+2RSS PM

4.2 逆解算例

將尺寸參數導入式(7)～式(10)中，可得16組實數逆解(略)，其中，一組逆解為：α1=119.05°,β1=134.81°,γ1=122.44°,θ1=108.93°。可以發現，該組逆解與給定的一組輸入角條件一致，由此可驗證正逆解的正確性。

5 工作空間分析

將第3節中求解的各輸入角α1、β1、γ1、θ1的位置逆解公式作為約束條件，可通過邊界數值搜索法對工作空間進行求解。取4.1節中的尺寸參數，采用柱坐標系在300 mm≤Z≤1200 mm、0≤ρ≤900 mm、-π≤θ≤π、-π≤γ≤π的范圍內進行搜索，其中，Z、ρ分別為工作空間的高度及柱坐標系搜索半徑，θ、γ分別為柱坐標系搜索角度及動平臺姿態角。搜索步長越小即搜索結果越精確，取ΔZ=Δρ=20 mm，Δθ=Δγ=0.01 rad。

利用MATLAB軟件，可得到該機構的三維立體工作空間圖(圖4)以及不同高度Z下的X-Y截面圖(圖5)。

圖4 2RRPaR+2RSS機構的三維工作空間Fig.4 3D workspace of 2RRPaR+2RSS PM

由圖4和圖5可以看出：①當空間高度Z∈[500 mm,1100 mm]時，工作空間光滑連續，無空腔，覆蓋體積較大；②取不同Z值時所得的截面皆關于對角線t-t對稱，且隨著Z值的增大，截面面積逐漸減小；③在不考慮連桿干涉、運動副轉角約束的情況下，該機構工作空間比H4操作手的工作空間大。

本文參考文獻[19]的相應參數，給定如下搜索范圍:0≤ρ≤1000 mm、500 mm≤Z≤1150 mm，可計算出H4操作手的工作空間體積為6.167×108mm3，本文機構工作空間體積為7.886×108mm3，因此，與H4操作手相比，本文機構的工作空間體積增大了27.87%。

(a) Z=500 mm

6 轉動能力分析

同樣，采用邊界數值搜索法，基于第3節中的機構逆解公式，在柱坐標系中某一高度下的截面內，通過改變搜索半徑ρ及搜索角度θ，搜索高度為Z的截面內姿態角γ的取值范圍。

為與H4機構對比，現取相同尺寸參數(參數設置與4.1節相同)和相同截面高度Z=1000 mm，并利用MATLAB軟件進行分析，可得在Z=1000 mm高度下X-Y截面上各點的轉角最大值αmax、轉角最小值αmin分布，如圖6所示。

由圖6可知：本文2RRPaR+2RSS機構在X-Y截面的轉角范圍為-120°≤γ≤120°，而H4機構在該截面處的轉動范圍為-110°≤γ≤120°，因此，本文機構的轉動能力相比于H4機構的轉動能力提高了4.35%。

同時，可選取兩種機構的截面內任一點進行轉角范圍的比較。現選取點A(-100 mm，-50 mm，1000 mm)進行研究對比，H4機構的轉動范圍為-50°≤γ≤80°，而本文機構的轉動范圍為-100°≤γ≤100°。由此可見，本文2RRPaR+2RSS機構的動平臺在不添加轉角放大裝置的情況下，即可獲得較大的轉角范圍。

7 奇異位形分析

7.1 基本原理及方法

并聯機構奇異位形是指當機構處于某種姿態時，在一個或者多個方向上失去約束，此時，機構處于位形奇異狀態，機構的工作性能會降低，因此，須識別出奇異位形。本文采用求解機構的雅可比矩陣，令該矩陣的行列式的值為零，從而可得到機構的第一類、第二類及第三類奇異位形。

圖2中的Q1點坐標可同時由如下兩個矢量方程得到：

OR11+R11R12+R12Q1=OQ1

Op+pQ1=OQ1

即

(11)

同理，可用兩種方式表示點Q2、S33、S43的坐標，可得

(12)

(a) 本文機構αmax分布

(13)

(14)

其中，γ2、γ3、γ4及γ5、γ6、γ7分別為S32S33桿、S42S43桿與定坐標系X、Y、Z軸的夾角,即有約束方程：

(15)

由式(11)～式(15)可得

(16)

在式(16)中各等式的等號兩邊，分別對時間t求一階導數，可得

(17)

(18)

(19)

(20)

JpV=Jqω

其中，Jp矩陣中各元素的具體計算表達式分別如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

Jq矩陣中各元素的具體計算表達式分別如下：

7.2 奇異位形分析

7.2.1第一類奇異

當det(Jq)=0時，機構的驅動副將失去某個方向的運動能力，此時，至少有一個運動鏈運動到了工作空間邊界的臨界位置，則機構產生第一類奇異。

令det(Jq)=0，則Jq矩陣的行列式解的集合可表示為

D=D1∪D2∪D3∪D4

D1={sin (α1-α2)=0}

(25)

D2={sin (β1-β2)=0}

(26)

D3={cosγ2sinγ1-cosγ4cosγ1=0}

(27)

D4={cosγ6sinθ1-cosγ7cosθ1=0}

(28)

式(25)～式(28)分別對應支鏈1～支鏈4，當滿足式(25)～式(28)任意一式時，對應支鏈處于直線姿態，此時，該機構發生第一類奇異，如當滿足式(25)時，機構如圖7a所示，支鏈1呈直線姿態；當滿足式(27)時，機構如圖7b所示，支鏈3呈直線姿態。

(a) 支鏈1呈直線姿態

7.2.2第二類奇異

當det(Jp)=0時，固定機構的驅動副，末端執行器仍存在瞬時運動，表明機構至少獲得了一個瞬時自由度，此時，并聯機構失去剛度，無法承受任何負載，則機構產生第二類奇異。

將矩陣Jp視為由4個行向量組成的矩陣，即

為使det(Jp)=0，有以下3種情況。

7.2.2.1 兩個向量線性相關

設se1=e2(即e1、e2線性相關)，則有

由式(21)、式(22)可得

此時直線R21Q1與直線R22Q2在空間內平行，如圖8所示。

圖8 第二類奇異位形(情況1)Fig.8 Singularity of type 2 (case 1)

設se3=e4(即e3、e4線性相關)，則有

由式(23)、式(24)可得

此時桿S32S33與桿S42S43在空間內平行，如圖9所示。

圖9 第二類奇異位形(情況2)Fig.9 Singularity of type 2 (case 2)

設se2=e3(即e2、e3線性相關)，則有

由式(22)、式(23)可得

此時直線R22Q2與桿S32S33在空間內平行，如圖10所示。

圖10 第二類奇異位形(情況3)Fig.10 Singularity of type 2 (case 3)

7.2.2.2 三個向量線性相關

設e1=s1e2+s2e3，此時，s1、s2的解無法解出，此種情況不存在。

設e2=s1e3+s2e4，此時，s1、s2的解無法解出，此種情況不存在。

7.2.2.3 四個向量線性相關

設e1=s1e2+s2e3+s3e4，此時，s1、s2、s3的解無法解出，此種情況不存在。

7.2.3第三類奇異

當det(Jq)=0且det(Jp)=0時，第一類奇異、第二類奇異同時發生，機構驅動關節及末端執行器都存在瞬時非零的輸入及輸出，此時，機構發生第三類奇異。取u11=0，u22=0，u33=0或u44=0代入第二類奇異分析，易得第二類奇異不成立，由于第一類奇異與第二類奇異不能同時發生，故該機構不存在第三類奇異。

8 結論

(1)提出了一種新型三平移一轉動(3T1R)并聯操作手機構2RRPaR+2RSS，該機構為半對稱結構；且與H4操作手機構相比，該拓撲結構簡潔，易制造、裝配。

(2)根據該機構的拓撲結構特性及幾何約束條件，建立了兩個含兩個虛擬變量的桿長相容方程，采用二維搜索法，得出了機構位置正解，推導出了機構的位置逆解，并驗證了正逆解的正確性。

(3)基于機構位置逆解，采用邊界數值搜索法對本文2RRPaR+2RSS機構的工作空間及轉動能力進行求解。在桿件尺寸參數選取相同的情況下，與H4機構相比，該機構的工作空間體積增大了27.87%，其轉動能力提高了4.35%。

(4)基于機構位置逆解，求解出了2RRPaR+2RSS機構的雅克比矩陣，并對其三類奇異位形進行了分析。