非圓齒輪差動輪系往復機構反求設計與運動學分析

汪飛雪 劉 亞 臧新良

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004 2.河北省輕質結構裝備設計與制備工藝技術創新中心，秦皇島，066004

0 引言

高頻往復運動已廣泛應用于工程實際，通常采用電機作為其動力源，通過各種傳動裝置或執行機構來實現往復轉動[1]。盡管此類機構具有較高的承載能力、運行速度和生產效率，能較好地滿足現實要求，但針對特殊形式的往復運動規律時，其傳動系統復雜、沖擊載荷大、傳動方式缺乏柔性，難以適應產品多樣性的要求[2-3]。

非圓齒輪兼有凸輪及齒輪兩者的優點：既能實現凸輪的變速傳動又易于控制，既能實現齒輪的高效傳動又能保持動載平衡，是一種集成化的機械元件[4-6]。非圓齒輪傳遞效率高，接近于圓形齒輪，遠高于其他的變速比傳動機構[7-9]。差動輪系通過調節兩個輸入的轉速差來實現輸出齒輪的往復轉動。因此，將非圓齒輪與差動輪系組合的結構不僅具備傳統往復機構高速、高效的優點，而且能簡潔有效地實現需要的往復轉動[10-13]，是目前傳動領域的研究熱點。

孫以濤等[14]提出一種非圓齒輪和差動輪系組合的機構實現往復擺動，但需要兩個伺服電機作為輸入來實現變速傳動。陳建能等[15]提出一種非圓齒輪行星輪系機構實現往復直線運動，并將其應用到引緯機構，但該機構因由兩級非圓齒輪行星輪系、一級圓柱齒輪定軸輪系和一級圓錐齒輪定軸輪系組成而結構相對復雜。貴新成等[16]提出一種新型機械無級變速器，通過非圓齒輪和差動機構組合來實現無級變速，但它不能實現往復運動。上述研究對非圓齒輪理論的發展具有積極的推進作用，然而，通過上述研究給出的機構實現特殊形式的往復直線運動規律比較困難，上述研究中影響節曲線的關鍵因素尚需進一步研究。

本課題組提出了一種僅需一個電機作為輸入的差動輪系與非圓齒輪組合的往復直線運動機構，該機構形式相對簡單、運行可靠，通過對節曲線的合理設計，完成了特殊規律的往復運動。本文對所提結構進行了運動學分析，由預先給定的執行部件的運動規律反求得到滿足要求的機構參數，并分析了各參數對反求節曲線的影響機制。

1 非圓齒輪差動輪系機構

1.1 非圓齒輪差動輪系機構原理

提出了一種非圓齒輪差動輪系組合并配以齒條來實現往復直線運動的新型機構，傳動系統原理圖見圖1。其中，齒輪1、齒輪2為非圓齒輪，齒輪3、齒輪4為圓齒輪，齒輪8為輸出齒輪。常用差動輪系類型如圖2所示，差動輪系由齒輪5、齒輪6(6′)、齒輪7和行星架H組成。非圓齒輪差動輪系組合機構中齒輪4與齒輪5同軸轉動，齒輪7與齒輪8同軸轉動，齒輪8與固定在執行部件上的齒條相嚙合來實現往復運動。對于該非圓齒輪差動輪系，根據給定的執行部件運動規律和已設定的部分機構參數，可以反求得到相應的非圓齒輪節曲線。

圖1 傳動系統原理圖Fig.1 Transmission system schematic diagram

(a) NGW型

1.2 非圓齒輪差動輪系機構分析

如圖1和圖2所示，該輪系由定軸輪系、差動輪系及齒輪齒條三部分組成。對輪系進行分析，可得非圓齒輪副的傳動比為

(1)

對于NGW型(2K-H負號機構)差動輪系，有

式中，zi為齒輪i的齒數，下同；ωH為行星架H的角速度，rad/s。

對于WW型(2K-H正號機構)差動輪系，有

對于ZUWGW型(2K-H錐齒輪負號機構)差動輪系，有

對于NGWN Ⅰ型(3Z型)差動輪系，有

由上述分析可以看出，對于負號機構，m<0；對于正號機構，m>0；對于3Z型機構，m的正負取決于機構中具體齒數，正負均可取。

2 非圓齒輪節曲線設計原理

根據非圓齒輪的傳動特性，可得主從動非圓齒輪向徑及從動齒輪角位移與傳動比的關系為

(2)

(3)

(4)

式中，r1、r2分別為主從動非圓齒輪節曲線接觸點處的向徑，mm；A為非圓齒輪副中心距，mm；φ1、φ2分別為主從動非圓齒輪角位移，rad。

依據式(1)和式(4)，從動齒輪角位移可表示為

(5)

式中，s為執行部件(齒條)的位移，mm。

欲使主從動非圓齒輪的節曲線都是封閉的，則當主動齒輪轉過2π/n1、從動齒輪轉過2π/n2(即主動齒輪轉1/n1圈、從動齒輪轉1/n2圈，n1、n2為正整數)時，執行部件(齒條)應完成一個工作周期。本文以n1=2、n2=3為例進行分析，如圖3所示。當φ1=2π/n1、φ2=-2π/n2時，齒輪8回到初始位置(即s=0)。將上述關系式代入式(5)，可得

圖3 主從動非圓齒輪節曲線與執行部件位移對應關系Fig.3 Corresponding relationship between pitch curve of driving and driven gears and displacement of execution parts

(6)

因為圓柱齒輪3、4為外嚙合齒輪副，所以i34<0，從而有m<1。將式(6)代入式(1)，可得到非圓齒輪副傳動比為

(7)

3 非圓齒輪節曲線設計與分析

非圓齒輪差動輪系機構能實現多種運動規律，本文以余弦加速度和正弦加速度運動規律為例來研究節曲線設計規律。

3.1 余弦加速度節曲線設計與分析

執行部件按余弦加速度規律運動時，其運動曲線見圖4，對進--退--停運動來說，加速度曲線為連續曲線，但在起始點處，加速度有突變，會引起有限的柔性沖擊，而在之后的運動過程中并無柔性沖擊，可以用于中低速場合。

圖4 余弦加速度運動規律運動線圖Fig.4 Cosine acceleration motion line diagram

3.1.1余弦加速度節曲線設計

余弦加速度運動規律的運動方程為

(8)

(9)

(10)

式中，a為執行部件(齒條)的加速度，mm/s2；B0、B1、B2為待定系數，可利用邊界條件確定；θ為主動齒輪角位移；Θ為主動齒輪總角位移。

圖5 工作行程或空回行程對應主動齒輪角位移示意圖Fig.5 Working stroke or return stroke corresponding to angular displacement of driving gear

對于工作行程(0≤φ1≤φC)，其邊界條件為

式中，φC為執行部件位于極限位置時的主動齒輪角位移，rad；h為執行部件行程，mm。

將工作行程邊界條件分別代入式(9)和式(10)，可得到工作行程各待定系數為

將式(9)代入式(7)，并結合工作行程各待定系數，可得到工作行程傳動比為

(11)

式中，κ為齒輪8的擺動角度，rad,κ=h/r8。

將式(11)代入式(4)，可得到工作行程從動齒輪角位移為

(12)

對于空回行程(φC≤φ1≤2π/n1)，其邊界條件為

將空回行程邊界條件分別代入式(9)和式(10)，可得到空回行程各待定系數為

將式(9)代入式(7)，并結合空回行程各待定系數，可得到空回行程傳動比為

(13)

將式(13)代入式(4)，可得到空回行程從動齒輪角位移為

(14)

(15)

(16)

將式(11)和式(13)分別代入式(15)，并將式(12)和式(14)分別代入式(16)，可得φC=π/n1。所以，執行部件按余弦加速度規律運動時非圓齒輪副的傳動比為

(17)

由于主從動非圓齒輪外嚙合，因此其傳動比i12c應小于零，可得各參數應滿足如下條件：

將式(17)分別代入式(2)～式(4)即可得到主從動齒輪節曲線接觸點處的向徑及從動齒輪角位移表達式。

3.1.2余弦加速度節曲線分析

由式(17)可知，傳動比和節曲線與κ、m以及n1、n2有關。

3.1.2.1κ對傳動比和節曲線的影響規律

當m=-0.5、n1=n2=1且κ取不同數值時，傳動比的變化趨勢如圖6所示，主從動非圓齒輪的節曲線分布如圖7所示。從圖6中可以看出，隨著κ的增大，傳動比的變化幅度逐漸增大。從圖7中可以看出，隨著κ的增大，主動齒輪有內凹趨勢，從動齒輪凸角變尖。節曲線內凹或節曲線凸角變尖會給非圓齒輪的加工帶來極大困難，且會增大工作過程中的振動和沖擊，所以κ值不宜取得過大。由此可知，當行程h一定時，在其他條件允許的情況下，齒輪半徑r8的取值應盡可能大。

圖6 不同κ值余弦加速度傳動比Fig.6 Transmission ratio with cosine acceleration and different κ

(a) 主動非圓齒輪節曲線

3.1.2.2m對傳動比和節曲線的影響規律

當κ=2.5 rad、n1=n2=1且m取不同數值時，傳動比的變化趨勢如圖8所示。從圖8中可以看出，隨著m的減小，傳動比的變化幅度逐漸增大。相應地，與前面類似，隨著m的減小，主動齒輪有內凹趨勢，從動齒輪凸角變尖(非圓齒輪節曲線未列出)。所以，在其他條件允許的情況下，m值不宜取得過小。

圖8 不同m值余弦加速度傳動比Fig.8 Transmission ratio with cosine acceleration and different m

3.1.2.3 非圓齒輪階數對傳動比和節曲線的影響規律

當κ=1 rad、m=-0.5、n2=1且n1取不同數值時，傳動比的變化趨勢如圖9所示，主從動非圓齒輪的節曲線分布如圖10所示。從圖9中可以看出，當n1≠1時，傳動比絕對值的平均值隨n1的增大而減小，非圓齒輪副同時實現了增變速。從圖10中可以看出，相對而言，當n1=1時，得到的主從動非圓齒輪節曲線更加趨近于圓形。所以應盡量減少通過非圓齒輪副傳動來實現增速的情況發生。

圖9 不同n1值余弦加速度傳動比Fig.9 Transmission ratio with cosine acceleration and different n1

(a) 主動非圓齒輪節曲線

當κ=1 rad、m=-0.5、n1=1且n2取不同數值時，非圓齒輪副傳動比的的變化趨勢如圖11所示。從圖11中可以看出，當n2≠1時，傳動比絕對值的平均值隨n2的增大而增大，非圓齒輪副同時實現了減變速。相應地，與前面類似，當n2=1時，得到的主從動非圓齒輪節曲線更加趨近于圓形(非圓齒輪節曲線未列出)。所以應盡量減少通過非圓齒輪副傳動實現減速的情況發生。

圖11 不同n2值余弦加速度傳動比Fig.11 Transmission ratio with cosine acceleration and different n2

3.2 正弦加速度節曲線設計與分析

執行部件按正弦加速度規律運動時，其運動曲線見圖12，在啟動和停止的兩個時刻其加速度為零，故該運動規律既無剛性沖擊，也無柔性沖擊。此種運動規律不僅適用于進--停--退--停運動，也適用于進--退--停運動，可以用于中高速場合。

圖12 正弦加速度運動規律運動線圖Fig.12 Sine acceleration motion line diagram

3.2.1正弦加速度節曲線設計

正弦加速度運動規律的運動方程為

式中，C0、C1、C2為待定系數，可利用邊界條件確定。

執行部件按正弦加速度規律運動時工作行程和空回行程傳動比推導過程與執行部件按余弦加速度運動規律運動類似。工作行程傳動比為

(18)

空回行程傳動比為

(19)

同樣，依據節曲線的封閉要求，可得非圓齒輪副的傳動比以及從動齒輪角位移應滿足式(15)和式(16)。經驗證，φC∈(0,2π/n1)取任意值均能滿足節曲線的封閉要求。

3.2.2正弦加速度節曲線分析

由式(18)和式(19)可知，執行部件按正弦加速度規律運動時節曲線的形狀與κ、m、φC以及n1、n2有關。κ、m以及n1、n2對傳動比的影響規律與執行部件按余弦加速度規律運動時類似。當φC>π/n1時，執行部件的運動存在急回現象。當κ=1 rad、m=-1、n1=n2=1且φC取不同數值時，傳動比的變化趨勢如圖13所示，主從動非圓齒輪的節曲線分布如圖14所示。

圖13 不同φC值正弦加速度傳動比Fig.13 Transmission ratio with sine acceleration and different φC

(a) 主動非圓齒輪節曲線

從圖14中可以看出，當φC值較小時，得到的主從非圓齒輪節曲線更加趨近于圓形，所以在實際應用中應綜合衡量急回特性程度、振動和沖擊對執行部件及傳動系統的影響，合理選擇φC值的大小。

3.3 不同運動規律節曲線的比較

由于φC取(0,2π/n1)區間內任意值時，正弦加速度運動規律節曲線均能滿足節曲線的封閉要求，因此執行部件按正弦加速度規律運動時，能實現急回運動。

當κ=2 rad、m=-1、n1=n2=1且φC=π時，執行部件按余弦加速度和正弦加速度運動規律時，傳動比變化趨勢的對比如圖15所示。從圖15中可以看出，正弦加速度運動規律傳動比的變化幅度比余弦加速度運動規律傳動比的變化幅度大。相應地，主從動非圓齒輪的節曲線出現內凹或凸角變尖現象以正弦加速度運動規律更為明顯(非圓齒輪節曲線未列出)，所以當沒有急回特性要求時，選用余弦加速度運動規律能得到較好的非圓齒輪節曲線。

圖15 余弦加速度和正弦加速度傳動比的對比Fig.15 Comparison of transmission ratio between cosine acceleration and sine acceleration

4 實驗驗證

為驗證新型往復直線運動機構的可行性和準確性，以執行部件遵循余弦加速度運動規律輸出為例，搭建了非圓齒輪差動輪系傳動系統原理樣機，其齒輪參數如表1所示，差動輪系部分采用WW型。采用齒廓計算法對非圓齒輪齒廓進行設計，并采用線切割技術加工，使用機加工對傳動系統中的軸類零件、板類零件和支承件等進行加工，傳動系統原理樣機如圖16所示(圖中零件編號與圖1相同)。

表1 原理樣機齒輪主要參數Tab.1 Gear parameters of principle prototype

圖16 非圓齒輪差動輪系傳動系統實物模型Fig.16 Physical model of non-circular differential gear trains transmission system

使用激光測振儀采集輸出齒條的運動學特性，激光測振儀采用非接觸式測量方法，可精確地測試物體的動力學特性(如位移、速度等參數的變化規律)，如圖17所示。主動齒輪角位移由電動機轉角確定，齒條的位移通過激光測振儀采集，在MATLAB環境中設計有限沖擊響應(FIR)濾波器，并對采集得到的信號進行低通濾波。忽略啟動過程中存在的波動，提取穩定階段結果，可得到齒條位移曲線與其理論曲線，兩者的對比結果如圖18所示。從圖18中可以看出，實驗和理論位移曲線基本吻合，表明所設計的機構能夠按照預期的運動規律進行往復運動，從而驗證了所構建的運動學曲線方程以及所建立的運動學分析模型的正確性。

圖17 實驗用激光測振儀Fig.17 Laser vibration meter for experiments

圖18 實驗和理論位移對比曲線Fig.18 Comparison curves of experimental and theoretical displacements

5 結論

(1)非圓齒輪與差動輪系組合機構不僅具備傳統往復機構高速、高效的優點，而且能簡潔有效地實現需要的往復運動。

(2)隨著輸出齒輪的擺動角度κ的增大和差動輪系傳動比m的減小，傳動比的變化幅度逐漸增大，主動齒輪有內凹趨勢，從動齒輪凸角變尖，所以κ值不宜取得過大而m值不宜取得過小。

(3)當n1=n2≠1時，非圓齒輪副同時實現了減(增)變速。相對而言，當n1=n2=1時，得到的主動齒輪節曲線更加趨近于圓形，所以應盡量減少通過非圓齒輪副傳動來實現減(增)速的情況發生。

(4)當執行部件按正弦加速度運動規律運動時，執行部件能實現急回運動。當無急回特性要求時，與正弦加速度運動規律相比，選用余弦加速度運動規律能得到較好的非圓齒輪節曲線形狀。

(5)通過對比原理樣機和理論分析得到的結果，發現輸出構件實驗所得位移曲線與其理論位移曲線的吻合度較高，從而驗證了所設計機構的可行性和正確性。