板式樓梯的優化設計方法

馬登欣

(山東萊克工程設計有限公司，山東 東營 257000)

1 概述

隨著我國高速發展，多層鋼筋混凝土房屋被廣泛應用于一般的工業與民用建筑中。其中，鋼筋混凝土樓梯作為樓層間的垂直交通樞紐，起著通行和疏散的功能，是樓房的重要組成部分。不同的房屋結構類型，對樓梯性能要求不同，樓梯結構形式也不一樣。樓梯種類和形式較多，如室內和室外樓梯；板式、梁式和螺旋樓梯；板式樓梯又分單跑、雙跑、三跑樓梯。其中，使用最多的是雙跑板式樓梯，因板式樓梯具有板底平整、制模方便等優點。當前，針對日趨激烈的建筑市場競爭，房地產業面臨的形勢頗為嚴峻，市場趨于飽和等難題已經讓我國房地產業面臨困難。鑒于此，通過對樓梯計算模型進行比較計算分析，以期更為優化材料配置，使材料利用更為合理、高效。

2 受力模型選取

2.1 樓梯間墻體為鋼筋混凝土墻

這類建筑主要為剪力墻結構或樓梯間布置有剪力墻的框架剪力墻結構。樓梯主要由梯段板(TB)、平臺板(PB)、平臺梁(TL)組成，其一般剖面圖見圖1，此結構樓梯間設置剛度足夠大的抗震墻，樓梯構件對主體結構剛度影響較小，可不參與整體計算[1]。傳統設計時均進行了簡化處理，樓梯不參與整體結構的內力計算,而是將樓梯處樓板開洞,僅將樓梯的豎向荷載折算到承重墻或框架梁上,樓梯再單獨進行豎向荷載作用下的構件計算和配筋。梯段板兩端視為部分鉸接支座,如圖2所示，下文稱模型一。跨中彎矩系數根據支座條件的不同,按1/8～1/10取值；平臺板通常四邊支撐，一般按短跨方向單向簡支板設計，但平臺板一般比梯段板跨度要小，相差懸殊時有可能在平臺板出現較大負彎矩，而通常做法為在構造上按經驗予以加強；梯梁兩側梯段板和平臺板的板塊邊界變形條件不同，梁受力除豎向荷載作用下的彎曲變形，梁兩側不平衡彎矩帶來的扭轉變形影響或未可知，通常做法按經驗增設抗扭腰筋。筆者提出較傳統設計方法更為契合實際的模型進行內力分析，將現澆板式樓梯的梯段板和平臺板當作連續板來處理，并考慮梯梁對平臺板和梯段板的約束作用，如圖3所示，下文稱模型二。分析時采用以下假定：不考慮軸線變形和剪切變形影響；梯梁處于彈性工作階段。與受力模型一相比較，傳統設計時梯段板的支座處按鉸接，僅需按構造配筋，而實際上彈性工作階段時支座處存在很大的負彎矩，如此一來，支座就會開裂，進入塑性階段。雖說，支座開裂對安全沒有任何影響，但是考慮到住戶的心理，出現開裂可能就會帶來麻煩。同時，進入塑性階段后，內力重分布，彎矩會向跨中轉移。筆者提出按剛接，實際上是認為支座處連續或者不開裂，可以使梯段板在使用上和安全上均得到保證。

為便于比較分析內力，增加一對比模型將現澆板式樓梯的梯段板和平臺板當作連續板來處理，但忽略梯梁對平臺板和梯段板的約束作用，下文稱模型三。

2.2 樓梯間墻體為填充墻

這類建筑主要為框架結構或樓梯間布置有填充的框架剪力墻結構。樓梯主要由梯段板(TB)、平臺板(PB)、平臺梁(TL)、梯柱(TZ)組成。此類結構，樓梯構件與主體結構整澆時，梯板起到斜撐作用，對結構整體影響較大，應參與抗震計算[1]；但目前現階段地震作用下樓梯對主體結構的影響規律研究不足，國內計算軟件不能合理模擬出樓梯對整體結構的作用，因此工程實踐中一般采用滑動支座支撐平臺板，其一般剖面圖見圖4。

傳統設計方法中，亦簡化為簡支梁按模型一進行設計。筆者提出按圖5所示計算簡圖進行設計，下文稱模型四。

3 內力計算

3.1 模型三計算公式

忽略圖2所示模型二中梯梁轉動剛度即為模型三計算簡圖，內力分析可采用多種方法，在此我們用位移法[2]推導出一套內力計算公式，如下：

i1=EI1/L1,i2=EI2/(L2cosα),i3=EI3/L3,

γ11=3i1+4i2,γ12=γ21=2i2,γ22=4i2+3i3,

Z1=(γ22R1P-γ12R2P)/(γ11γ22-γ12γ21),

Z2=(γ11R2P-γ21R1P)/(γ11γ22-γ12γ21)。

得到彎矩圖后，軸力圖、剪力圖即可由平衡條件求出，毋須贅述。

3.2 模型二計算公式

圖2所示模型二，內力分析用位移法[2]推導出一套內力計算公式，如下：

其中，矩形截面梁橫截面上扭轉角計算公式[3]φ=TL0/(GIt),設it表示矩形截面梁轉動剛度，由單位轉角φ=1，得it=GIt/φL0=GIt/L0。

i1=EI1/L1,i2=EI2/(L2cosα),i3=EI3/L3,

γ11=3i1+4i2+it,γ12=γ21=2i2+it/2,γ22=4i2+3i3+it,

Z1=(γ22R1P-γ12R2P)/(γ11γ22-γ12γ21),

Z2=(γ11R2P-γ21R1P)/(γ11γ22-γ12γ21)。

軸力圖、剪力圖即可由平衡條件求出。

3.3 模型四計算公式

圖5所示模型四，內力分析原理同模型二。公式如下：

i1=EI1/L1,i2=EI2/(L2cosα),

γ11=3(i1+i2)+it,

軸力圖、剪力圖即可由平衡條件求出。

4 計算實例

通過一個算例，分析比較圖1所示樓梯三種算法結果差異。某住宅為剪力墻結構，混凝土強度等級為C30，樓梯開間3 m。

采用現澆板式樓梯，剖面如圖6所示，其中，梯段板TB1踏步高150 mm，踏步寬280 mm。樓面工程做法為50 mm厚水泥砂漿，頂棚工程做法為20 mm厚水泥砂漿。活荷載按3.5 kN/m2。現將PB1，TL1，TB1按兩種算法得到的內力結果匯總于表1。

表1內力計算結果

平臺板(PB1)：模型一中，計算按鉸接時不考慮支座彎矩，導致頂部計算鋼筋配置不足，按傳統設計方法為頂筋配置底筋的1/2，此時支座彎矩小于表1中模型二及模型三支座彎矩，即按傳統設計配筋時支座處頂部開裂，進入塑性；模型三中，得到頂部彎矩較大，梯梁兩側彎矩可以平衡，但未考慮梯梁截面的轉動剛度。模型二可在充分發揮梯梁抗扭作用的前提下，優化平臺板板頂配筋。

梯段板(TB1)傳統設計跨中彎矩較彈性階段跨中彎矩放大超55%，不利于鋼筋應力的充分發揮；模型二跨中彎矩占模型三為94%，可見按模型二可進一步優化梯段板厚度。

梯梁(TL1)受力復雜，屬彎剪扭構件，模型一、模型三忽略其扭矩，模型二得出其扭剪比[4]較大，須按計算配置扭筋。

工程實踐中，模型二計算可較真實反映各構件實際受力，建議按模型二設計。

5 結語

本文通過引入轉動剛度并將樓梯視為連續板，推導出樓梯內力計算公式。

傳統設計方法與筆者所提出方法在內力分析上存在較大偏差，傳統設計方法為滿足變形要求往往將梯段板加厚，不僅增加造價還影響美觀，并且梯梁受力較實際受力較小，可能存在安全隱患，難以實現精細化設計要求。筆者提出方法可較準確求出樓梯各構件內力情況，有利于精細化設計，可將板式樓梯做得既安全又經濟美觀。

本文未考慮鋸齒形踏步對梯段板剛度增大[5]的有利作用，樓梯空間的整體作用，綜合考慮這些影響，將會使板式樓梯設計更加合理。