兩跨連續梁的單邊接觸屈曲分析

倪曉文

(同濟大學土木工程學院，上海 200092)

0 引言

彈性地基梁理論在實際的工程應用中較為廣泛，尤其是在海底的沉管、地下建筑結構中。Timoshenko等[1]最先研究了單跨有限長彈性地基梁的線性屈曲問題。近年來，眾多學者對彈性地基梁的屈曲問題開展了一系列研究。2011年，于永平等人[2]針對無限長預應力彈性地基梁后屈曲問題給出了數值解。事實上，對于此類問題，將土體簡化成Winkler彈性地基仍有不足，比如土體對桿件的受拉約束可以忽略，因此彈性地基梁的屈曲問題本質上屬于“單邊接觸屈曲問題”[3]。2018年，Wang等[4]研究了隧道施工中頂管的屈曲問題，將頂管周圍的土體簡化為僅受壓不能受拉的彈簧，采用有限條法分析鋼管的屈曲，研究了徑厚比、基床剛度系數對鋼管屈曲的影響。本文將針對彈性支承的兩跨連續梁單邊接觸屈曲問題采用解析法進行求解，并研究彈簧剛度對屈曲模態的影響。

1 控制方程的建立

如圖1所示，一彈性支承的兩跨連續梁承受縱向荷載，彈簧僅能受壓、不能受拉，彈簧剛度常數為k。虛線為可能發生的失穩形式。

桿件的彈性彎曲應變能：

(1)

彈簧的應變能：

(2)

體系的荷載勢能：

(3)

其中，θ為桿件微段的轉角。考慮小變形：

彎曲應變能變分：

(4)

彈簧應變能變分：

(5)

對式(4)進行分部積分：

(6)

注意，上式用到了邊界條件：

(7)

同理，體系勢能變分：

(8)

能量泛函：

∏=U1+U2+V

(9)

上式代入Euler-Lagrange方程：

(10)

可以得到連續彈性地基梁進行線性屈曲分析時的控制方程：

(11)

2 控制方程的求解

為了后續推導方便，建立局部坐標系x1,x2,x3，如圖1所示，設桿件與彈簧的接觸長度為a，則方程(11)可以寫為：

(12)

方程(12)的解答為：

(13)

式中:

(14)

根據邊界條件與變形協調條件：

(15)

將式(13)代入式(15)，得到關于待定系數Ai,Bi，Ci，i=1,2,3,4的線性代數方程組。系數矩陣記為K(N,a)，是臨界荷載N的非線性函數。桿件發生彈性失穩時，系數矩陣奇異，則桿件的屈曲方程為方程(17)，即系數矩陣K(N,a)的行列式值為0。

(16)

Γ(N,a)=det[K(N,a)]=0

(17)

方程(17)為關于臨界荷載N與接觸長度a的非線性方程，顯然，對于不同的接觸長度a，方程(17)可以求得不同的N值。然而臨界荷載Ncr對應唯一的接觸長度，因此可以把原問題轉化為一個非線性規劃問題，即尋求使得方程(17)的解取得最小值的a：

(18)

由圖2可以看出，對于單邊約束的兩跨連續彈性地基梁，當其發生彈性失穩時，一跨會脫離彈簧的約束，變形顯著；另一跨變形較小，并且與彈簧發生接觸，相當于為變形顯著的一跨提供彈性轉動約束。本文在求解時，僅僅考慮彈簧剛度較大情況，即桿件與彈簧接觸后會再分離，當彈簧剛度較小時，桿件將會有一跨與彈簧完全接觸。

3 彈簧剛度系數對臨界荷載的影響

隨著彈簧剛度的變化，連續梁的屈曲模態與臨界荷載也會發生改變，比如當彈簧剛度k→0時，其屈曲模態見圖3。

此時桿件的臨界荷載等同于兩端鉸接時的情況：

(19)

當彈簧剛度k→∞時，桿件屈曲時將不會與彈簧發生接觸，如圖4所示。

此時桿件的臨界荷載等同于一端鉸接、一端剛接的情況。

(20)

圖5,圖6給出了彈簧剛度為有限值時，不同彈簧剛度對應的臨界荷載與接觸長度。

4 結語

通過以上計算與分析，可以得出以下結論：

1)隨著彈簧剛度的增大，彈性地基梁的屈曲臨界荷載逐漸增大，增大的趨勢逐漸變緩，并逐漸趨近于一端鉸接、一端剛接時的臨界荷載。2)隨著彈簧剛度的增大，彈性地基梁屈曲時與彈簧的接觸長度逐漸減小，當彈簧剛度足夠大時，桿件屈曲時將幾乎不會與彈簧發生接觸。3)Abaqus

的計算結果總是偏小是因為在有限元軟件中施加的是離散形式的彈簧，離散形式的彈簧對桿件的約束比連續分布的彈簧約束弱。4)單邊接觸屈曲問題由于接觸的非線性，給求解增加了困難，確定接觸范圍是求解的關鍵。