GM-AR組合模型在盾構穿黃隧道中的應用

趙曉陽 周項通

(黃河勘測規劃設計研究院有限公司，河南 鄭州 450003)

由于直接通過GM(1,1)模型預測，往往會存在一個滯后的誤差，會導致預測的結果偏差較大。為了避免滯后誤差的影響，有學者對GM(1,1)模型進行優化，但是改進的GM(1,1)模型的預測精度也會隨著時間增加而降低。本文將改進后的GM(1,1)模型同時間序列AR模型進行組合，生成GM-AR模型,并通過后續實測數據對預測精度進行驗證。

1 灰色預測GM(1,1)模型

1.1 灰色GM(1,1)模型的建模原理

灰色GM(1,1)模型是通過原始數據序列的一次累加生成數據序列進行建立的[1]。如果一組非負離散數列：x(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3)，…，x(0)(n)}，n為該組序列長度，對x(0)進行一次累加計算，就可以得到一個新的序列：x(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3)，…，x(1)(n)}，對這一組新的序列建立一階微分方程，則GM(1,1)模型可表示為：

(1)

其中，a，u均為灰參數，根據最小二乘法進行求解，可得：

(2)

(3)

則模型還原值為：

(4)

1.2 灰色GM(1,1)的精度檢驗

經過灰色GM(1，1)模型預測的精度在根據后驗方差比、關聯度及小誤差概率來進行驗算檢驗，預測效果同后驗方差成反比。當關聯度W>0.6時，則該模型具有良好的預測精度，否則應通過殘差分析計算來提高預測模型的精度。

后驗方差比、關聯度及小誤差概率分別用下式表示為：

方案三：公路—汽車—半移動式破碎站—膠帶聯合開拓運輸方案，場內公路汽車運輸至破碎站平均運距0.96km，場外平均運距5.3km，年剝離總量1408.4萬m3需新增108t 級礦用卡車39 輛。首期在露天采場出口1 805m處建立破碎站，隨著采剝的推進將破碎站分別搬遷至東幫1744m 平臺和北幫1684m 平臺，巖石場內采用公路汽車運輸至破碎站，巖石經破碎系統破碎后，通過轉運膠帶接力運輸至落家井排土場由排土機排土，其余巖石由礦用汔車直接運輸排土場。

1)后驗方差比：

C=S2/S1

(5)

2)小誤差概率：

(6)

3)關聯度：

(7)

灰色GM(1,1)模型預測結果精度評定表見表1。

表1 灰色GM(1,1)模型預測結果精度評定表

2 改進灰色GM(1,1)模型

3 GM-AR組合模型介紹

從非平穩的原始時間序列中提取出確定性的部分，即變化性趨勢項和周期性趨勢項，通過函數關系式對該序列進行擬合，并將擬合后的數據在原時間序列中剔除，再根據剩余的殘差序列構建時間序列模型，最后將確定性部分和時間序列模型進行合并，從而得到一個新的組合模型。

采用GM(1，1)模型擬合原始序列的趨勢項，再使用時間序列模型擬合原始序列的波動項，疊加兩者，得到最終結果，如下式所示：

Xt=dt+yt

(8)

其中,dt為趨勢項；yt為波動項。

通過GM(1,1)模型得出趨勢項后疊加AR(n)模型，從而得到一個新的組合預測模型：

(9)

4 實例分析

濟南濟濼路穿黃隧道位于濟南市天橋區，該隧道使用盾構法施工，隧道外直徑15.2 m，隧道內直徑13.9 m，是國內在建最大直徑的盾構隧道，也是黃河上第一條公路、地鐵共用隧道。隧道總長3.67 km，盾構段長2.52 km；在黃河南北大堤兩側，采用明挖段，總計1.15 km。北岸大堤樁號為135+929～136+329，總長度為800 m。在隧道工程線位上下游各200 m范圍內沿大堤軸線方向設置監測斷面(距線位樁號上、下游0 m,15 m,30 m,50 m,70 m,90 m,110 m,130 m,150 m,170 m,200 m處)，共設置2個監測斷面，分別在堤頂堤肩處埋設監測點，一個監測斷面21個監測點，共42個監測點。黃河北岸大堤測點平面布置圖見圖1。

為了比較三個模型精度，在此，定義相對精度p：

p=|It-Ipre|/It

(10)

其中，It為真實沉降數據;Ipre為GM(1，1)、優化的GM(1，1)和優化的GM-AR預報的沉降值。根據以上三種預報模型對盾構上方軸線點(即理論最大沉降點)測點預測，可得到后續10 d該測點預測數據，如表2所示。

表2 預報第1天三個模型預測值及殘差 mm

由表2中得到的三種模型的預測結果和實測值，根據式(10)計算其相對精度，就能夠得到未來10 d的沉降預測值的相對精度，如表3所示。

表3 預報后續10 d三種模型預測的相對精度比較

同樣的，根據相同的方法，可以得到在未來第10天～15天預測結果的相對精度，如表4所示。

表4 預報未來第10天～第15天三種模型預測的相對精度比較

通過表3，表4可以得到，GM(1,1)模型、改進的GM(1,1)模型、GM-AR模型前5天預測精度都比較良好，GM(1,1)模型的預測結果的相對精度能夠達到0.3左右，改進的GM(1,1)模型的預報精度可達到0.2，其中GM-AR模型得到的預測結果相對精度最高，均在0.06以內，同改進的GM(1,1)模型和時間序列模型相比，其預測結果相對精度有了明顯地提高。對于隨后10 d～15 d預測數據，三種預報模型的精度都有不同程度的下降，改進的GM(1,1)模型和時間序列模型的相對精度下降較為明顯，但是改進的GM-AR模型預測結果的相對精度仍然是最好的，可以在0.1以下，仍然可以滿足預測結果的精度要求。

通過預測未來15 d的實測數據，可以得出三種預測模型的預測的相對精度都隨著預測時間的增加而降低，GM(1,1)模型、改進的GM(1,1)模型在前10天預測精度較好，在后5天偏差迅速增大，但是改進的GM-AR模型在前10天預測精度較前兩種模型高，在后5天也有較好地預測精度，具有明顯的優勢。為了更加直觀地表示，圖2給出了上述三種模型在未來10 d、未來10 d～15 d預測結果同實測值進行比較。

5 結語

GM(1,1)模型、改進的GM(1,1)模型在盾構導致的大堤沉降前期預測精度較好，但是由于盾構導致的沉降達到一定階段后，會逐漸穩定，GM(1,1)模型和在優化的GM(1,1)模型沒能顧及后續沉降穩定，所以導致預測數據出現離散情況。沉降監測數據的確定性部分通過改進的GM(1,1)模型進行預測，再對其預報得到的殘差部分，經過AR模型進行擬合，從而可以得到沉降監測數據隨機性部分，再疊加后可以得到精確的沉降預測數據。同時，GM-AR模型的參數較少、形式簡單，預測結果精度較其他兩種方法有了明顯提高，可以滿足短期內盾構沉降數據預測需求，可以為以后類似工程提供依據。