基于集對分析的不同分類方法對汛期分期的影響

虞 慧，劉 星 根，王 姣，王 永 文，彭 圣 軍，胡 強

(1.江西省水利科學研究院，江西 南昌 330029； 2.江西省水工程安全工程技術中心，江西 南昌 330029；3.江西理工大學 土木與測繪工程學院，江西 贛州 341000； 4.中國科學院 南京地理與湖泊研究所，江蘇 南京 210008； 5.南昌工程學院 水利與生態工程學院，江西 南昌 330099)

1 研究背景

利用分期汛限水位調控洪水資源，是處理水庫防洪與興利矛盾、實現洪水資源安全利用的重要途徑，對緩解區域水資源短缺危機、改善生態環境和實現水資源可持續利用具有重要的現實意義[1-3]。水庫控制流域汛期的合理劃分(汛期分期)是確定分期汛限水位的基本前提。國外的汛期分期研究主要圍繞洪水季節規律性和水庫庫容重新分配等問題，如Cunderlik等[4-5]提出矢量統計法和相對頻率法，并采用年最大值取樣法(AMM)和超定量取樣法(POT)在英國洪水季節性規律上進行比較研究?？傮w而言，國外水庫汛期分期的研究[6-8]開始時間較早，但近期研究相對較少。在我國，關于水庫汛期分期的研究案例豐富，常見的研究方法有模糊統計法[9-11]、分形法[12-13]、Fisher分割法[14-16]和系統聚類法[17-19]等，然而，這些方法存在考慮指標單一(模糊統計法、分形法)、指標選取范圍隨意性較大(Fisher最優分割法)、難以判別最優分期范圍(系統聚類法)等問題，在使用上仍存在一些局限性[20-21]。

集對分析法(Set Pair Analysis，SPA)由于原理簡單，計算過程直觀形象，使用方便等優勢[22-23]，許多研究者將其應用于水庫汛期分期。在利用集對分析法進行汛期分期時，常見的集對分析分類方法有均值法、均值標準差法、距平百分率法等[24-26]。例如，謝飛等[24]利用均值分類分析了灤河潘家口水庫的汛期分期；白樺等[21]使用距平百分率和水文特征值分類標準分析了贛江中上游流域的汛期和枯水期分期問題；孟彩俠等[25]采用均值標準差分類法探討了長江上游流域的汛期分期；莫崇勛等[26]基于均值標準差分類法研究了澄碧河水庫汛期分期。然而，將集對分析法用于汛期分期時，分期結果不僅與分類方法密切相關，還受分類方法的閾值選取影響。例如，均值標準差分類法的閾值選取存在明顯的主觀經驗性。目前，大部分研究者在集對分析中僅使用一種分類方法，且在閾值選取時并未進行最優閾值分析，因此集對分析不同分類方法和不同閾值選取是否影響汛期分期結果不得而知。在上述背景下，本文基于集對分析法，通過綜合比較均值標準差分類方法、距平百分率分類方法下的汛期分期結果，探討不同分類方法對其影響程度和原因。同時，在此基礎上，探究了均值標準差法、距平百分率法中k閾值和p閾值的最優取值，旨在揭示不同分類方法對汛期分期的影響，為今后將集對分析應用于水庫汛期分期提供科學依據。

2 研究方法

2.1 集對分析法

集對分析法將研究對象看成一個確定性和不確定性系統，借助其相互依存、相互聯系、相互滲透的屬性[22]，建立集對分析中的同、異、反聯系度，從而揭示該系統的屬性和特征。

假設有關聯的兩個集合A、B，即A=(a1，a2，…，am)，B=(b1，b2，…，bm)。描述所構建集對H(A，B)間關系的聯系度定義為[27]

(1)

式中：S為2個集合相同特性數；F為2個集合既不相同也不對立的特性數；P為2個集合相互對立的特性數；S/m、F/m和P/m分別為2個集合在具體問題下的同一度、差異度和對立度；I為差異度系數，在(-1，1)區間視不同情況取值，有時僅起差異標記作用；J為對立系數(恒等于-1)，有時起對立標記作用。

簡易表達式為三元聯系度，可改寫為

μ=a+bI+cJ

(2)

式中：a，b，c為聯系度分量，分別稱為集對H(A，B)的同一度、差異度和對立度，且滿足歸一化條件a+b+c=1。

如將三元聯系度進一步拓展，可將式(2)的bI進一步拓展，得到多元聯系度：

μA-B=a+b1I+b2I+…+bk-2Ik-2+cJ

(3)

式中：b1，b2，…bk-2代表差異度分量，即差異度的程度高低。

2.2 基于集對分析的水庫汛期分期

(1) 指標集合的確定。根據流域特性，篩選出能反映汛期變化的影響因子，并考慮影響因子的可量化性，確定指標x1，x2，…，xj，其中j為指標數目，并對相關指標進行數據統計和分析。

(3) 標記歸屬區間(符號量化)。根據分類標準將落入該標準范圍內的集合元素進行符號量化。分類標準可根據汛期的時長確定，如汛期歷時長，若只將汛期劃分為3期(K=2)，期與期之間轉換過于突然，可將分類標準數K=3。此時分類界限值有兩個，定義界限值分別為sk，sj，當評價指標xj∈(0，sk)時為前后汛期，標記為集合B1=(1，1，…，1)；當xj∈(sk，sj)為過渡期，標記為集合B2=(2，2，…，2)；xj∈(sj，)時為主汛期，標記為集合B3=(3，3，…，3)。分類界限值sk，sj按照步驟(2)確定。

(4) 計算聯系度。構建集對H=(Ai，Bd)，計算集對H=(Ai，Bd)的聯系度uAi-Bd。聯系度計算式如下：

(4)

式中：S為集合Ai與Bd符號相同的個數(同一度)；F為符號相差為1的個數(差異度)；P是符號相差為2的個數(對立度)[28]。

(5) 確定分期結果。對I取值，根據前人研究結果，一般取0[24，26]，由公式(4)求出聯系數。根據分類判別準則：聯系數越大，屬于該類的可能性越大。比較μAi-B1，μAi-B2，μAi-B3的大小，確定集合Ai類別以及汛期分期結果。

(6) 分期結果的合理性檢驗。汛期分期結果是否最優需要經過合理性檢驗。本文使用陳璐和劉俐等[29-30]提出的基于自助法取樣、相對頻率、廣義距離、模糊隸屬度理論的汛期分期合理性檢驗方案。該方法采用非參數統計自助法對洪水樣本進行抽樣，然后計算不同汛期方案的洪水相對頻率與置信區間的廣義距離，最后運用模糊優屬度函數對汛期的合理性進行檢驗。相對優屬度等于1的分期方案為理想的最優方案，相對優屬度等于0時的分期方案是設想的最差方案。該方法已在多個水庫的汛期分期研究中得到應用[29-30]。汛期分期的合理性檢驗的詳細介紹詳見文獻[30]，此處不再贅述。

3 實例計算

3.1 七一水庫分期計算

3.1.1研究區概況

七一水庫位于江西省玉山縣，坐落于信江上游的金沙溪中游，壩址以上控制流域面積324 km2，是一座以灌溉為主，兼有防洪、發電、供水等綜合效益的大(2)型水庫。水庫所處流域屬亞熱帶季風性氣候，處贛東北暴雨中心邊緣，在春夏季(3～7月)常有孟加拉海灣與南海的暖濕氣流與自北南下的冷空氣交匯從而形成的大量降雨，該階段占全年降雨的65%；5～6月份降雨以亞熱帶鋒面氣旋雨為主，降雨歷時長、雨區廣、雨量大，該階段占全年降雨的34%；7～9月份則以不穩定熱氣上升形成的雷陣雨為主，歷時短、強度大。秋冬季(10月至次年2月)受來自內蒙古、貝加爾湖的南下寒流影響，氣候寒冷干燥，降雨次數極少、強度小，該階段僅僅占全年降雨的22%。因此流域降雨年內分配不均，3～9月占全年降雨的78%，其中4～6月降雨量最多，約占年降水的50%。近年來，江西省入汛時間較往年有所變化，以2019年為例，其比往年提前28 d入汛，即3月份提前進入汛期，為更好對水庫所處流域進行全汛期周期分析，本文選取3～9月進行研究。

3.1.2數據資料

本文采用了七一水庫站1979～2017年共39 a的逐日降雨資料和實測入庫流量資料，以3月上旬至9月下旬作為樣本時間段Ai(i=1，2，…，21)。通過對七一水庫所處流域的分析，選取了4個特征指標(m=4)：旬暴雨日數x1、旬平均雨量x2、旬多年平均流量x3、年最大洪峰出現次數x4，通過對基礎數據進行統計分析(見表1)，量化后得到各時段劃分指標特征值。

表1 汛期劃分指標統計值Tab.1 Indexes of floodperiod division

3.1.3分類標準的確定

考慮到汛期時間較長，為精細劃分出流域的時程分配特點及更好進行水庫汛限水位動態調整，設置分類標準數K=3，前后汛期可構建集合B1=(1，1，1，1)，過渡期可構建集合B2=(2，2，2，2)，主汛期構建集合B3=(3，3，3，3)。采用均值標準差法和距平百分率法確定分類標準，分別對應區間(0，sk)，(sk，sj)，(sj，)，分類結果見表2?？傮w而言，兩種方法劃分的分類區間基本一致，比如旬暴雨日數x1的主汛期區間界限為[10.2，∞)；過渡區間界限[8.3，10.2)。同時，不同k或p取值條件下旬暴雨日數的分類區間存在顯著差異(見圖1)。k或p取值越大，過渡期區間范圍越寬，而前后汛期、主汛期的區間范圍越窄。

表2 不同分類方法的分類區間Tab.2 Classification interval of different classification methods

圖1 不同k或p取值條件下的分類區間(以旬暴雨日數為例)Fig.1 Classification interval under different K or P values(taking ten-day rainstorm days as an example)

3.1.4符號量化和聯系度計算

根據2種不同分期標準將集合Ai=(1，2，…，21)中的元素進行符號量化處理。同時構建集對H=(Ai，Bd)，計算集對H=(Ai，Bd)的聯系度。將Ai與標準B1、B2、B3對應的符號元素進行對照，并統計符號相同的個數、符號相差為1的個數和符號相差為2的個數，其分別對應為S，F，P的值，根據公式(4)求出聯系數，進而判別其所屬分期。表3以均值標準差分類法(k=0.56～0.58)為例，結果顯示A1～A3、A6(對應3月上旬至3月下旬、4月下旬)屬于前汛期，A4，A5(4月上、中旬)、A7～A10(5月至6月上旬)屬于前過渡期，A11，A12(對應6月中、下旬)屬于主汛期，A13(7月上旬)屬于后過渡期，A14～A21(對應7月中旬至9月下旬)屬于后汛期。

表3 聯系數及分期結果(均值標準差分類法，k=0.56～0.58)Tab.3 Contact number and stage results(meanstandard deviation classification，k=0.56～0.58)

3.2 分期結果

循環采用上述步驟即可得出均值標準差法(不同k取值)和距平百分率法(不同p取值)的汛期分期結果(見圖2)?？傮w上，不同k(均值標準差法)和p(距平百分率法)取值條件下的汛期分期結果存在一定的差異。均值標準差法中k或距平百分率法p取值較小或較大時汛期劃分結果與水庫暴雨徑流時程分配特征存在較大差異(見表4)。

圖2 不同k或p取值條件下的汛期分期結果Fig.2 Results of flood season stages with different K or P values

表4 均值標準差和距平百分率法不同步長下的劃分結果Tab.4 Division results of mean standard deviation method and anomaly percentage method under asynchronous length

均值標準差法中k取值較小(0.02～0.26)時，汛期劃分大致為3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至7月上旬為主汛期，7月中旬至9月下旬為后汛期，缺失后過渡期；當k取值較大(0.6～0.9)時，汛期劃分結果大致為3～6月上旬為前過渡期，6月中、下旬為主汛期，7月上旬至7下旬為后過渡期，8月上旬至9月下旬為后汛期，缺失前汛期；在k取值(0.38～0.55)時，汛期劃分結果大致為3月為前汛期，4月至5月下旬為前過渡期，6月上旬至6月下旬為主汛期，7月上旬為后過渡期，7月中旬至9月下旬為后汛期。

距平百分率法中p取值0.02～0.06時，汛期劃分結果大致為3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至7月上旬為主汛期，7月中旬至9月下旬為后汛期，缺失前、后過渡期；當p取值0.08～0.28時，汛期劃分結果大致為3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至5月下旬為前過渡期，6月上旬至7月上旬為主汛期，7月中旬至9月下旬為后汛期，缺失后過渡期；當p取值0.68～0.90時，劃分缺乏前汛期；當p取值0.38～0.66時，汛期劃分結果大致為3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至6月上旬為汛前過渡期，6月中旬至6月下旬為主汛，7月上旬至7月下旬為汛后過渡期，8月上旬至9月下旬為后汛期。

3.3 分期結果合理性檢驗

根據集對分析劃分的分期結果，選取分期數為5期時對應的分期方案，應用自助法取樣、相對頻率、廣義距離、模糊數學的相對優屬度等方法進行合理性檢驗。對表4中分期數為5期時的方案進行組合，得到8種待檢驗的分期方案。合理性檢驗的結果如下表5所示。檢驗結果顯示，第7分期方案為最優分期結果(相對優屬度最高0.90)，對應的分期結果為：3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至6月上旬為前過渡期，6月中下旬為主汛期，7月上旬為后過渡期，7月中旬至9月為后汛期。均值標準差法各分期方案的相對優屬度約為0.87～0.89，其中方案3相對優屬度最高(0.89)，對應的分期方案3月為前汛期，4月至6月上旬為前過渡期，6月中下旬為主汛期，7月上旬為后過渡期，7月中旬至9月為后汛期。該方案與合理性檢驗的最優方案(方案7)最接近。距平百分率法各分期方案的相對優屬度略低(0.72～0.78)，其中方案8的相對優屬度最大(0.78)，對應的分期結果為：3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至6月上旬為前過渡期，6月中下旬為主汛期，7月為后過渡期，8～9月為后汛期。該方案與合理性檢驗的最優方案(方案7)存在一定差異。

表5 汛期分期合理性檢驗結果Tab.5 Test results of flood season stage rationality

3.4 分期結果討論

圖3繪制了七一水庫多個降雨和徑流指標的時程分配。由圖3可知：6月是降雨、徑流最大的時期，尤其集中在6月中下旬。汛前的3～5月大致可分為2個階段，3月降雨、徑流量最小，宜為汛前期，4～5月降雨、徑流量總體上比3月份的大，比6月份的小，因此可劃分為汛前過渡期。汛后的7～9月存在明顯的階段特征，7月上旬的降雨、徑流量明顯比其他時期(7月中旬至9月)大，因此宜劃分為汛后過渡期，而7月中旬至9月為后汛期。

圖3 七一水庫流域汛期的降雨徑流時程分布Fig.3 Time history distribution of rainfall and runoff in flood season of Qiyi Reservoir Basin

為了進一步印證汛期分期結果的合理性，采用Fisher最優分割方法對汛期進行分期。分期結果顯示分類數為5時，最優分割結果為3～4月上旬為前汛期，4月中旬至6月上旬為前過渡期，6月中下旬為主汛期，7月上旬為后過渡期，7月中旬至9月下旬為后汛期。

綜合對比數理統計、Fisher分割法與集對分析法進行檢驗后的最優結果(見表6)可知，Fisher分割法與集對分析法檢驗后得到的最優方案一致。均值標準差的最優方案與最佳方案的優屬度十分接近，而距平百分率的最優方案的優屬度與最佳方案存在一定的差距。2種方法與數理統計法的結果略有差別，但與總體方案基本一致。從檢驗最優結果角度分析，各方案下均值標準差法的相對優屬度整體均高于距平百分率，因此，就集對分析法進行分期來說，均值標準差法更適用于集對分析法。

表6 分期結果比較Tab.6 Comparison of staging results (月-日)

進一步分析k和p值的影響，發現k取值過小(小于0.36)，則前后汛期、主汛期的區間范圍過大，分期結果缺乏前、后汛過渡期；k取值過大(大于0.60)，則前后汛期和主汛期的區間范圍過小，導致汛期分期結果中缺乏前汛期。同理分析可知，p的取值小于0.36時，過渡期的區間范圍較窄，最終導致分期結果中缺乏前、后汛過渡期；而p取值大于0.68，則前后汛期和主汛期的區間范圍過小，導致汛期分期結果中前后汛過渡期較長，缺乏前汛期。因此，就各自方法的最優p和k而言：集對分析中均值標準差法的最優k宜為0.56～0.58，而集對分析中距平百分率法的最優p宜為0.42～0.44。

4 結 論

動態汛限水位調控是水庫洪水資源利用的重要方式，而精確合理的汛期分期可以為動態汛限水位調控提供重要參考。集對分析是水庫汛期分期的主要方法之一，集對分析中分類區間的確定直接影響符號量化過程和汛期分期結果。

(1) 在不同的k取值(均值標準差法)或p取值(距平百分率法)條件下，汛期分期結果呈現顯著的差異，k或p取值越大，過渡期區間范圍越寬，而前后汛期、主汛期的區間范圍越窄；反之亦如此。綜合對比數理統計、集對分析、Fisher最優分割以及合理性檢驗結果發現，適用于集對分析汛期分期的均值標準差法的最優k值宜為0.56～0.58，適用于集對分析的汛期分期的距平百分率法的最優p值宜為0.42～0.44。

(2) 通過汛期結果的合理性檢驗，可以篩選出最優方案。七一水庫的最優分割結果為：3月至4月上旬為前汛期，4月中旬至6月上旬為前過渡期，6月中下旬為主汛期，7月上旬為后過渡期，7月中旬至9月下旬為后汛期。根據合理性檢驗分析，相對于距平百分率法，均值標準差法的最優分期方案更為合理。因此建議今后應用集對分析劃分水庫汛期時應該進行k和p取值篩選和分期結果比較分析。