光刻調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)算法比較研究?

范 偉 李世光 武志鵬 段 晨 宗明成

（1.中國(guó)科學(xué)院微電子研究所 北京 100029）

（2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

1 引言

光刻機(jī)是大規(guī)模集成電路芯片制造的核心設(shè)備，對(duì)焦控制［1］是保障光刻機(jī)成像質(zhì)量、光刻工藝窗口和產(chǎn)品良率的重要技術(shù)保障，調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)是光刻機(jī)對(duì)焦控制的核心部件。調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理精度影響光刻機(jī)的對(duì)焦控制性能［2］，計(jì)算速度影響光刻機(jī)的產(chǎn)能［3］，因此需要綜合考慮這兩個(gè)因素。本文對(duì)比分析多項(xiàng)式擬合算法（polynomial fitting）［4］、RF（random forest）算法［5～6］和XGBoost（extreme gradient boosting）算法［7］在調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)中的測(cè)量精度與計(jì)算耗時(shí)，提出適用于光刻調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)的擬合算法。

2 調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量

本實(shí)驗(yàn)室搭建的調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)［8］基于光學(xué)三角法測(cè)量硅片高度，探測(cè)器接收到的O光與E光信號(hào)［9］為

式中，N為光柵狹縫個(gè)數(shù)，P是矩形光柵周期，Δx是硅片高度變化為h時(shí)從投影光柵出射的光束中心位置在探測(cè)光柵處產(chǎn)生的偏移，c是（偏振片+分光晶體）組件的透射率。

對(duì)O光和E光信號(hào)進(jìn)行歸一化差分處理［9］后得到hraw，即當(dāng)硅片在調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)零位附近± 1.25μm范圍內(nèi)變化時(shí)，hraw隨h近似線性變化。光柵狹縫個(gè)數(shù)為29，周期為30，采樣點(diǎn)數(shù)為7520個(gè)，仿真生成該范圍內(nèi)連續(xù)掃描35次的hraw與h數(shù)據(jù)，如圖1所示。通過(guò)擬合算法得到硅片表面高度h隨hraw的變化關(guān)系模型后，即可通過(guò)hraw計(jì)算得到硅片表面擬合高度hfit。不同的擬合算法得到的這種變化關(guān)系模型具有不同的計(jì)算精度和速度。

使用基于Python的Scikit-learn工具包對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。將hraw與h輸入到模型中可得擬合算法模型，將hraw代入擬合算法模型中即可得到硅片表面高度擬合值hfit，記錄獲得hfit的耗時(shí)，計(jì)算硅片表面真實(shí)高度h與擬合高度hfit的差herror及其3σ值，即，式中μ為herror的均值，N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

圖1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

3 本研究采用的擬合算法

本研究采用3種擬合算法：多項(xiàng)式擬合、RF算法和XGBoost。多項(xiàng)式擬合算法是曲線擬合的基本方法，其形式簡(jiǎn)單且易于工程實(shí)現(xiàn)。RF算法是Bagging集成算法［10］的典型代表，通過(guò)并聯(lián)多個(gè)基學(xué)習(xí)器的結(jié)果提高精度。XGBoost算法是Boosting集成算法的典型代表，通過(guò)串聯(lián)多個(gè)基學(xué)習(xí)器的結(jié)果提高精度。

3.1 多項(xiàng)式擬合算法

多項(xiàng)式擬合函數(shù)為多次方程，其形式為

式中αi為擬合系數(shù)，由最小二乘法確定，即最小化

3.2 RF算法

RF由多個(gè)決策樹（decision tree）并聯(lián)組合而成，對(duì)單個(gè)決策樹的結(jié)果進(jìn)行結(jié)合后作為RF集成方法的結(jié)果，算法主要參數(shù)為決策樹的總個(gè)數(shù)n與單個(gè)決策樹的最大深度（max depth），其框架示意如圖2所示。

決策樹在構(gòu)建過(guò)程中采用平方誤差準(zhǔn)則（square error criterion）進(jìn)行特征選擇構(gòu)建二叉樹。對(duì)于輸入樣本(xi,yi)，單個(gè)決策樹的模型［11］如下：

式中，R1，R2，…，RM為輸入空間可劃分成的M個(gè)區(qū)域，Cm為每個(gè)區(qū)域Rm上的輸出值。

3.3 XGBoost算法

XGBoost由多個(gè)決策樹串聯(lián)組合而成，前一個(gè)決策樹的輸出結(jié)果作為輸入傳送到下一個(gè)決策樹中，經(jīng)過(guò)多個(gè)決策樹得的輸出作為RF集成方法的結(jié)果，主要參數(shù)為決策樹的總個(gè)數(shù)n與單個(gè)決策樹的最大深度（max depth），其框架示意如圖3所示。

圖3 XGBoost算法框架示意圖

對(duì)于給定N個(gè)樣本、m個(gè)特征的數(shù)據(jù)集D={(xi,yi)}(|D|=N,xi∈Rm,yi∈R)，集成樹模型使用K棵CART決策樹結(jié)果的累加值作為預(yù)測(cè)值［6］：

式中，fk(xi)是樣本(xi,yi)在第k棵樹的葉子結(jié)點(diǎn)上的權(quán)重。F={f(x)=wq(x)}（q:Rm→T，w∈RT），q表示將樣本映射到相應(yīng)葉子結(jié)點(diǎn)的樹結(jié)構(gòu)，T表示樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。wi表示第i個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的評(píng)分（score）。

4 仿真結(jié)果與分析

將圖1原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成hraw-h曲線，如圖4（a）曲線所示。使用多項(xiàng)式、RF和XGBoost算法對(duì)該曲線進(jìn)行擬合，擬合高度hfit分別如圖4（a）曲線所示。3種算法計(jì)算得到的hfit與h相減后得到擬合誤差，如圖4（b）～（d）所示。誤差圖中的水平線縱坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)誤差的±3σ值，多項(xiàng)式擬合誤差為0.001nm，RF擬合誤差為0，XGBoost擬合誤差為10.789nm。其中，RF算法擬合誤差為0的原因?qū)⒃?.2節(jié)分析。

圖4展示的是某特定參數(shù)下不同算法的擬合高度、誤差和3σ值。實(shí)際上，算法的擬合精度3σ與計(jì)算耗時(shí)會(huì)隨擬合參數(shù)變化而變化，下文對(duì)此變化關(guān)系進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)分析，并說(shuō)明圖4（b）～（d）的擬合參數(shù)設(shè)置過(guò)程。

圖4 擬合高度與誤差圖

4.1 多項(xiàng)式擬合算法分析

改變多項(xiàng)式擬合階數(shù)，對(duì)圖4（a）中hraw-h曲線進(jìn)行擬合，擬合誤差的3σ值如圖5所示，小圖為局部放大圖。隨著擬合階數(shù)的增加，擬合誤差的3σ值不斷減小。多次統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式擬合算法計(jì)算耗時(shí)總小于1ms，這是因?yàn)槎囗?xiàng)式擬合算法簡(jiǎn)單，時(shí)間復(fù)雜度小。

圖5 多項(xiàng)式擬合算法3σ 值隨階數(shù)變化圖

4.2 RF擬合算法分析

RF算法中影響精度與計(jì)算耗時(shí)的主要因素是決策樹的最大深度與決策樹的個(gè)數(shù)n，使用網(wǎng)格搜索［12］方法改變這兩個(gè)參數(shù)，擬合誤差的3σ值與計(jì)算耗時(shí)如圖6所示。

由圖6（a）可知，RF算法中，決策樹的最大深度對(duì)擬合誤差有較大影響，決策樹個(gè)數(shù)的變化對(duì)擬合誤差影響小。這是因?yàn)镽F算法采用的并行計(jì)算策略在決策樹增多時(shí)可以降低擬合方差，擬合誤差的減少主要依靠單個(gè)決策樹的最大深度，決策樹的最大深度越深，擬合誤差越小。由圖6（b）可知，計(jì)算耗時(shí)隨決策樹個(gè)數(shù)與決策樹的最大深度的增加呈增加趨勢(shì)，模型復(fù)雜度的提升會(huì)造成計(jì)算時(shí)長(zhǎng)的增加。

在RF算法中，單個(gè)決策樹的輸入為hraw，輸出為該決策樹得到的擬合高度hfit，由于仿真數(shù)據(jù)是沒(méi)有噪聲影響的采樣點(diǎn)序列，當(dāng)決策樹最大深度增加時(shí)，算法對(duì)數(shù)據(jù)的擬合能力不斷增強(qiáng)，算法能獲得hraw序列和h序列間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如同構(gòu)建了鍵為hraw，值為h的映射表，通過(guò)查詢hraw，可直接得到對(duì)應(yīng)的h，因此圖4（c）中誤差為0。

圖6 RF算法3σ 值與計(jì)算耗時(shí)圖

4.3 XGBoost擬合算法分析

改變決策樹的個(gè)數(shù)和最大深度，XGBoost算法擬合誤差的3σ值與計(jì)算耗時(shí)如圖7所示。

圖7 XGBoost算法3σ 值與計(jì)算耗時(shí)圖

由圖7（a）可知XGBoost算法中測(cè)量精度隨決策樹的最大深度與決策樹的個(gè)數(shù)增加而增加。由圖7（b）可知計(jì)算耗時(shí)隨決策樹個(gè)數(shù)n與決策樹最大深度的增加而增加。RF算法中各決策樹相互獨(dú)立，而XGBoost算法中，前一個(gè)決策樹的輸出作為下一個(gè)決策樹的輸入，hfit為各個(gè)決策樹的輸出加權(quán)和。XGBoost與RF算法計(jì)算機(jī)制的不同，使得盡管RF和XGBoost均采用決策樹個(gè)數(shù)和最大深度作為擬合參數(shù)，兩者的擬合精度有較大差異。

4.4 擬合算法對(duì)比分析

分別改變多項(xiàng)式擬合算法的階數(shù)、RF和XG?Boost算法中的最大深度與決策樹個(gè)數(shù)，對(duì)圖1所示的數(shù)據(jù)重新進(jìn)行擬合。當(dāng)多項(xiàng)式擬合階數(shù)在2～8范圍內(nèi)變化，決策樹個(gè)數(shù)在1～100范圍內(nèi)變化，最大深度在2～15范圍內(nèi)變化時(shí)，得到不同參數(shù)下的3σ值。在光刻機(jī)中，為了兼顧對(duì)焦精度和產(chǎn)能，必須兼顧算法的擬合精度與擬合時(shí)間，最終得到一個(gè)優(yōu)化方案。因此在參數(shù)選取時(shí)，設(shè)定兩個(gè)約束條件：1）計(jì)算當(dāng)前參數(shù)與前一次參數(shù)下的3σ差值Δ3σ，只選取保證Δ3σ＜0.3nm的參數(shù)。其中，0.3nm是個(gè)擬合實(shí)踐值，當(dāng)Δ3σ＜0.3nm時(shí)，可以認(rèn)為擬合精度基本維持在最高精度，不隨參數(shù)遞增而提高；2）設(shè)定計(jì)算耗時(shí)小于某給定計(jì)算時(shí)間。這是因?yàn)橛?jì)算耗時(shí)越長(zhǎng)，擬合精度通常更好，而工程實(shí)踐一般不允許擬合時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。對(duì)于多項(xiàng)式擬合算法，在8階擬合范圍內(nèi)，計(jì)算時(shí)間均小于1ms，滿足Δ3σ＜0.3nm的階數(shù)有4，6，7，8。擬合殘差3σ最小時(shí)（0.001nm）對(duì)應(yīng)的階數(shù)為7和8，由于7階對(duì)應(yīng)的計(jì)算時(shí)間短，因此選擇7階作為多項(xiàng)式擬合的階數(shù)。對(duì)于RF算法和XGBoost算法，約束條件1）具體為：當(dāng)前參數(shù)對(duì)（i，j）得到的3σ值（i為決策樹個(gè)數(shù)n，j為最大深度max depth），與參數(shù)對(duì)（i-1，j）和（i，j-1）得到的3σ值的差異都滿足Δ3σ＜0.3nm 。由圖6和圖7可知，同時(shí)滿足上述兩個(gè)約束條件的（i，j）通常不唯一，為了得到最佳擬合效果，選取擬合殘差3σ最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的那組（i，j）作為該曲線的擬合參數(shù)。繪制不同計(jì)算時(shí)間下的3σ曲線如圖8所示，小圖為局部放大圖。圖4表示的是當(dāng)計(jì)算時(shí)間為3ms時(shí)（圖8矩形框區(qū)域所示），3類算法的擬合高度與誤差曲線，此時(shí)多項(xiàng)式擬合為7階；RF決策樹個(gè)數(shù)為3，最大深度為8；XGBoost決策樹個(gè)數(shù)為8，最大深度為10。

由圖8可知，多項(xiàng)式擬合算法精度隨時(shí)間變化不敏感，7階多項(xiàng)式擬合的3σ值為0.001nm，RF算法和XGBoost算法精度隨計(jì)算時(shí)間的增加迅速提升，RF算法在2ms時(shí)，對(duì)仿真數(shù)據(jù)完全擬合，誤差為0，XFBoost算法在5ms時(shí)，擬合精度基本趨于穩(wěn)定，為0.6nm。在計(jì)算時(shí)間比較關(guān)鍵的情況下，例如計(jì)算時(shí)間為1ms，多項(xiàng)式擬合算法精度最高，其次為RF算法。

圖8 不同算法3σ 值隨給定計(jì)算時(shí)間的變化圖

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證上述3種算法在實(shí)際數(shù)據(jù)中的有效性，采集3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，按4.4節(jié)中所示流程獲得不同算法的3σ值隨給定計(jì)算時(shí)間的變化，如圖9所示。3種算法隨計(jì)算時(shí)間變化的趨勢(shì)與圖8相同，多項(xiàng)式擬合精度隨時(shí)間變化不敏感，RF算法和XGBoost算法精度隨計(jì)算時(shí)間的增加而迅速提升，相對(duì)于XGBoost算法，RF算法可以更快地穩(wěn)定到比較高的精度。但總體上，3σ值均有所增加，RF和XGBoost算法趨于穩(wěn)定的時(shí)間有所延長(zhǎng)，RF算法精度在3ms時(shí)超越多項(xiàng)式擬合算法，而XGBoost在5ms時(shí)擬合精度超越多項(xiàng)式擬合算法，且RF算法在處理實(shí)際數(shù)據(jù)上，擬合精度略優(yōu)于XGBoost算法。

從圖9中可知，3次實(shí)驗(yàn)在給定計(jì)算時(shí)間為10ms時(shí)，多項(xiàng)式擬合算法的3σ值分別為14.1nm、25.6nm和17.4nm；RF算法的3σ值分別為7.8nm、24.8nm和13.9nm；XGBoost算法的3σ值分別為9.2nm、24.7nm和14.4nm。在給定1ms的計(jì)算時(shí)間下，多項(xiàng)式擬合算法精度最高。圖9中的3σ值大于仿真結(jié)果中對(duì)應(yīng)的數(shù)值，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)環(huán)境不理想，存在環(huán)境噪聲，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)自身存在10nm的重復(fù)性誤差等。隨給定計(jì)算時(shí)間增加，RF算法與XG?Boost算法擬合精度不斷提升并超越多項(xiàng)式擬合算法，這是因?yàn)槎囗?xiàng)式擬合基于最小二乘法，因此對(duì)噪聲比較敏感，而基于決策樹的RF算法與XG?Boost算法對(duì)噪聲有較好的魯棒性。

圖9 不同算法3σ 值隨給定計(jì)算時(shí)間的變化圖

6 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了多項(xiàng)式擬合、RF算法和XGBoost算法在光刻調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)中數(shù)據(jù)處理的精度與速度。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，多項(xiàng)式擬合精度隨時(shí)間變化不敏感，RF算法和XGBoost算法精度隨計(jì)算時(shí)間的增加而迅速提升。對(duì)于不存在噪聲的仿真數(shù)據(jù)，7階多項(xiàng)式擬合的3σ值固定在0.001nm；RF算法在2ms時(shí)，算法對(duì)仿真數(shù)據(jù)完全擬合，誤差為0；XGBoost算法在5ms時(shí)，擬合精度基本趨于穩(wěn)定，為0.6nm。對(duì)于存在噪聲的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，RF算法相對(duì)于XGBoost算法可以更快地穩(wěn)定到比較高的精度，且擬合精度略優(yōu)于XGBoost算法。隨計(jì)算時(shí)間的增加，RF算法與XG?Boost算法擬合精度不斷提升并分別于3ms和5ms超越多項(xiàng)式擬合算法，這是因?yàn)槎囗?xiàng)式擬合基于最小二乘法，因此對(duì)噪聲比較敏感，而基于決策樹的RF算法與XGBoost算法對(duì)噪聲有較好的魯棒性。在計(jì)算時(shí)間比較關(guān)鍵的情況下，例如計(jì)算時(shí)間為1ms，多項(xiàng)式擬合算法精度最高，其次為RF算法。在光刻機(jī)中，為了兼顧對(duì)焦精度和產(chǎn)能，必須兼顧算法的擬合精度與擬合時(shí)間。在處理實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，RF和XGBoost擬合精度盡管在3ms～5ms以后比多項(xiàng)式擬合精度略有提高，但提高有限，而3ms～5ms處理一組數(shù)據(jù)對(duì)光刻機(jī)產(chǎn)能而言難以容忍。綜合考慮擬合精度與計(jì)算時(shí)間，調(diào)焦調(diào)平測(cè)量系統(tǒng)選用多項(xiàng)式擬合算法較為合適。