網絡擁塞控制模型Hopf分岔的PD控制

侯 萍

(南京郵電大學 管理學院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

網絡服務質量是網絡應用的重要保障。對網絡系統的穩定性和動力學特性的研究具有現實意義[1-7]。網絡擁塞控制算法的主要目的是維持系統的穩定性，使信息流趨于特定的穩定值，力求最大的鏈路容量利用率[8]。一般來說，系統穩定性的喪失隨之而來的是阻礙通信發展和鏈路容量的浪費，其中分岔行為可能引起振蕩，誘發網絡不穩定，所以需要控制分岔。文獻[9]討論了一種利用狀態反饋控制器對網絡擁塞控制系統的流體流模型進行Hopf分岔控制的問題。在狀態反饋控制下，Hopf分岔的發生被成功地延遲，從而使穩定域得以擴展，通過調整控制器的線性部分和非線性部分的參數來確定分岔周期解的性質。文獻[10]研究了由非線性延遲微分方程控制的無線接入網絡的Hopf分岔分析，如果延遲超過臨界值，閉環系統將不會保持穩定，并且發生Hopf分岔，應用積分滑模控制作為非線性魯棒主動隊列管理控制器來阻止網絡擁塞。文獻[11]為了控制不理想的Hopf分岔，提出了一種混合控制策略,通過線性穩定性分析，表明適當調整混合控制策略的控制參數，可以在不改變系統平衡點的情況下延遲甚至完全消除Hopf分岔。文獻[12]提出了一種具有參數時滯的反饋控制方法，用于控制時滯分數階雙擁塞模型的分岔控制。利用參數時滯反饋控制器可以大大提高系統的穩定性，但在沒有控制器的情況下，Hopf分岔會提前產生。

該文針對用于無線網絡擁塞控制算法設計的TCP Westwood/AQM流體流模型進行穩定性和Hopf分岔分析，應用中心流形和規范型理論確定Hopf分岔周期解的方向和穩定性，并應用PD控制器控制Hopf分岔，最后給出數值實例及仿真證明算法的有效性。

1 TCP Westwood/AQM擁塞控制系統的Hopf分岔

通常在通信網絡的傳輸層中實現的傳輸控制協議(TCP)可以檢測其發生后的擁塞。但是，由于時變衰落和分組錯誤率，在具有無線接入鏈路的網絡中，擁塞控制可能更加有挑戰。

TCP Westwood是專門為高速無線網絡設計的，完全符合高速無線網絡的特點，大大提高了網絡帶寬的利用率，改善了網絡性能。同時使用健壯的主動隊列管理來防止擁塞，并對無線環境的嚴重干擾具有一定的容忍度。

文獻[13-14]提出了源端采用TCP Westwood擁塞控制協議，路由器端采用隨機早期檢測算法(RED)的網絡系統的流體流模型，在這里假設網絡中僅有一條單鏈路，并且所有的TCP連接都遵循TCP Westwood擁塞控制協議。為控制Hopf分岔來實現一些預期的動力學行為，引入帶有一個輸入e(t)和一個輸出u(t)的PD控制器，表示如下：

(1)

其中，輸出偏差信號定義為e(t)=p(t)-p*，kp，kd分別為比例控制參數和微分控制參數。

因此，帶有通信時延的受控擁塞控制模型[15]如下：

(2)

系統式(2)在平衡點處線性化，得到：

(3)

其中，y1(t)=W(t)-W0，y2(t)=q(t)-q0。

式(3)的特征方程為：

λ2+mλ+ne-λR=0

(4)

令特征根λ=±iω0,其中ω0>0，代入特征方程式(4)，虛部實部分開，則有：

(5)

從中可以看出ω0R0<π/2。

引理1：當往返時間R=R0時，特征方程式(4)有唯一一對純虛根λ=±iω0，且ω0R0<π/2。

引理2[17]：對于特征方程式(4)，如果令M(R)={λ:Re(λ)≥0,Q(λ,R)=0}，該式表示使得特征方程Q(λ,R)=0具有非負實部的特征根的個數，設R2>R1≥0，如果對于任意的往返時間R∈[R1,R2],特征方程在虛軸上沒有解，則M(R1)=M(R2)。

引理3：當R

證明：當R=0時，特征方程為Q(λ,0)=λ2+mλ+n=0。又因為m>0,n>0，所以Q(λ,0)=0的特征根都有負實部，得到M(0)=0。從上面的分析得到當往返時間R

引理4：當往返時間R=R0，特征方程式(4)除了有一對純虛根是±iω0外，其他的根都具有嚴格的負實部。

引理6：當往返時間R=R0，特征方程式(4)至少有一個根具有嚴格正實部。

基于上述引理分析特征方程的特征根的分布區域，應用文獻[18]中的有限時滯微分方程的Hopf分岔定理得到具有PD控制器的擁塞控制系統式(2)的分岔定理，如下所示：

定理1：對于帶有通信時延的添加PD控制器的擁塞控制模型式(2)有如下結論：

(1)當往返時間R

(2)當往返時間R>R0，擁塞控制系統式(2)在平衡點(W0,q0)不穩定；

(3)當往返時間R=R0，擁塞控制系統式(2)在平衡點(W0,q0)產生Hopf分岔，出現周期解。

2 Hopf分岔的方向和Hopf分岔周期解穩定性

對已線性化的式(3)在平衡點進行泰勒展開，結果如下：

(6)

設R=R0+υ,u(t)=(y1(t),y2(t))T,ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-R,0]Ck[-R,0]，初始條件φ(θ)=(φ1(θ),φ2(θ))T∈C[-R,0]，則式(6)表述如下：

(7)

Lυφ=G1φ(0)+G2φ(-R)

(8)

F(φ,υ)=

(9)

將式(7)轉換為下述形式：

(10)

對于φ(θ)∈C[-R,0]，令：

(11)

(12)

令q(θ)是A(0)對應于λ(0)的特征函數，即A(0)q(θ)=iω0q(θ)。

對于ψ∈C[0,R]，定義伴隨算子為A*(0)：

<ψ,Aφ>=,對于φ=Dom(A),ψ=Dom(A*)。

則有如下引理：

下面計算υ=0時中心流形C0的坐標，該文采用同文獻[20]Hassard同樣的表示。對于ut當υ=0時，式(10)的解定義為：

j(t)=

(13)

W(t,θ)=ut-jq+jq=ut=2Re{j(t)q(θ)}

(14)

(15)

對于式(10)的解ut∈C0,根據式(11)～式(13)，由于υ=0得：

(16)

(17)

…

(18)

(19)

(20)

(21)

在C0上，

(22)

將式(15)、式(17)代入式(22)得：

(23)

對照式(21)、式(23)系數，得：

(24)

因此，得到：

很明顯，

K1=m13+m14ρ1e-iω0R0

與式(18)比較系數：

為了得到式中的g21，還需要計算出W11(θ)和W20(θ)的值，其中θ∈[-R,0)。根據前面已經得到的式(19)，(20)，對于θ∈[-R,0)有：

上式跟式(18)比較系數，得：

根據式(24)得：

解方程得：

同理得：

根據文獻[13]，最后得到：

(25)

利用前面得到的公式，給出下面的定理：

定理2：對于具有PD控制器的擁塞控制系統式(2)，當R=R0時，Hopf分岔的方向和周期解的穩定性由式(25)和下述結果決定：

(1)Hopf分岔方向由υ2決定。如果υ2>0，則Hopf分岔是超臨界的，當R>R0時系統有周期解。如果υ2<0，則Hopf分岔是亞臨界的，當R

(2)Hopf分岔周期解的穩定性由β2決定。如果β2<0，則系統周期解的軌跡是穩定的；如果β2>0，則系統周期解的軌跡是不穩定的。

(3)系統Hopf分岔周期解的周期由T2決定。如果T2>0，則周期解是增加的；如果T2<0，則系統周期解減少。

3 數值仿真

選取與文獻[14，21]中相同的參數，即N=50，K=0.001，C=1 000，Tp=0.3。當R=0.344時，R0=0.3430)，分岔周期解是穩定的(β2=-0.011 5<0)，分岔周期解的周期是逐漸減小的(T2=-0.079 1<0)。如圖1所示，在沒有加入PD控制器的情況下，原系統已經失去穩定性，發生Hopf分岔。

圖1 R=0.344時無控系統的波形

為了推遲Hopf分岔的發生，加入PD控制器，設置比例和微分參數展示控制效果。當R=0.344，kp=-0.5,kd=-0.5，仿真圖2表明系統出現周期解，是穩定的。

圖2 R=0.344,kp=-0.5,kd=-0.5時PD控制系統的波形

4 結束語

為了彌補TCP協議在無線接入鏈路網絡的局限性，引入應用于高速無線網絡，完全符合高速無線網絡特點的TCP Westwood協議的一種網絡擁塞控制系統模型，即TCP Westwood/AQM網絡的連續流體流模型，通過選擇通信延遲作為分岔參數，分析無線網絡系統中的Hopf分岔行為，當通信時延超過臨界值時，系統會產生Hopf分岔現象。為了延遲Hopf的發生，引入PD控制器，利用中心流形定理和規范型理論，推導得出系統發生Hopf分岔的條件和反映Hopf分岔性質，方向和周期的參數數值，MATLAB仿真證明PD控制器能有效控制分岔，驗證了理論分析的正確性。