二元α-Bernstein-Stancu算子的逼近階

劉 植, 劉艷玲, 陳曉彥

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

在函數逼近理論中,基于非負線性正算子方法構造逼近函數一直是該領域研究的重要課題之一。自1912年Bernstein提出Bernstein算子,學者們對其進行了各種推廣,從而衍生出Bernstein-Durrmeyer算子、Bernstein-Stancu算子、Bernstein-Bézier算子、Bernstein-Kantorovich算子等。為了進一步優化算子的各種性能,人們對以上算子又進行了大量的研究,如對于Bernstein-Stancu算子,文獻[1]研究了基于Bernstein基函數的Stancu型算子序列,得到該算子的Korovkin 型收斂定理、收斂速度的估計以及逼近性質;文獻[2]研究了一類修正的Stancu型q-Baskakov-Shurder-Szász 算子,給出了加權空間下該算子的誤差估計,并利用K-泛函和光滑模研究了該算子的逼近性質;文獻[3]研究了Kantorovich型Bernstein-Stancu算子的Voronovskaja型漸近估計;文獻[4]構造了一類修正的Stancu型q-Bernstein-Shurder-Kantorovich算子,通過光滑模和Lipschitz型極大函數估計其收斂速度,并研究了該算子的其他逼近性質。

文獻[5]通過在經典Bernstein算子中引入非負實參數α的方法，構造了一類新的廣義Bernstein型算子,即α-Bernstein算子。該算子具有逼近論中需要的很多優良性質,其表達式為:

(1)

(1) 當n=1時,有

(2)n≥2時,有

特別地,當α=1時,(1)式表示的α-Bernstein算子即為經典的Bernstein算子。

近3年來,圍繞α-Bernstein算子的理論研究產生了一些新的成果。文獻[6]將α-Bernstein算子推廣到無窮集上,得到α-Bernstein-Chlodovsky算子,并研究了其Voronovskaja型漸近估計公式等若干逼近性質。為了逼近Lebesgue可積函數,文獻[7]在α-Bernstein算子基礎上做了積分修正,構造了新的Bernstein-Kantorovich算子序列,稱之為α-Bernstein-Kantorovich算子。利用一階、二階連續模研究了算子的一致收斂性以及整體、局部收斂速度,并將結果推廣到二元情形。文獻[8]基于Mohiuddine等的研究繼續討論了一些絕對連續函數(即導數為有界變差函數)的α-Bernstein-Kantorovich算子逼近的收斂速度問題。

算子的Durrmeyer修正是逼近Lebesgue可積函數的另一種方法。文獻[9]對α-Bernstein算子進行了Durrmeyer修正,并研究了其Voronovskaja型漸近定理、整體逼近、局部逼近問題。同時,對于導數為有界變差函數的函數,討論了其逼近的收斂速度。在上述研究成果的基礎上,文獻[10]進一步討論了Bézier類和式積分型算子,并討論了相關逼近性質。

文獻[11]通過在α-Bernstein算子中引入q整數,構造了q類α-Bernstein算子,稱之為 (α,q)-Bernstein算子,并得到該算子的Kovovkin型逼近定理,逼近連續函數的收斂速度以及保形性質。

為了進一步提高算子逼近的靈活性,文獻[12]改變節點選擇方式,研究了α-Bernstein算子的Stancu型推廣,稱之為α-Bernstein-Stancu算子,形式如下:

(2)

其中

0≤γ≤β;

更多關于α-Bernstein算子的理論研究可參閱文獻[13-14]。

本文在上述研究工作的基礎上,進一步研究了α-Bernstein-Stancu算子的二元情形。首先構造二元α-Bernstein-Stancu算子的表達式,并研究該算子的Voronoskaja型定理,然后利用二元Lipschitz類得到了二元α-Bernstein-Stancu算子的逼近階。

1 二元α-BernsteinStancu算子

N為正整數空間,N0=N∪0 {0},記

I2=[0,1]×[0,1],

C(I2)為I2上的連續函數空間,賦予范數：

‖f‖=sup|f(x,y)|。

對于二元函數f∈C(I2),0≤γi≤βi,0≤αi≤1(i=1, 2),二元α-Bernstein-Stancu算子定義為：

(3)

其中

首先,給出如下引理。

(1+2α+2γ)+4n(6αγ-4γ+24α-21)+48(1-α)(3+γ)]x3+[n2(7+12γ+6γ2)+n(29-36α-24αγ-6γ2+12γ)+2(α-1)(43+36γ+6γ2)]x2+[n2(1+4γ+6γ2+4γ3)+2(1-α)(7+12γ+6γ2)]x+γ4}。

結合引理1與二元α-Bernstein-Stancu算子(3),容易得到如下結論。

推論1記epq(x,y)=xpyq為檢驗函數,其中(p,q)∈N0×N0,且p+q≤4,則

將推論1的結論直接代入，可得如下結果。

推論2對于二元算子(3)式,有

其中，P2(n)、H2(m)分別為關于n,m的二次多項式,且最高次項系數分別為3x2(x-1)2和3y2(y-1)2。

定理1 對任意函數f∈C(I2),有

證明由推論1知：

其中,(p,q)∈{(0,0),(0,1),(1,0)},以及

在I2上一致成立。由二元逼近的Korovkin型定理[15]即證。

2 逼近性質

在這一部分中,本文將討論二元α-Bernstein-Stancu算子的Voronoskaja型定理，并通過Lipschitz類研究其逼近階。

2.1 Voronoskaja型定理

首先,給出Voronoskaja型定理。

定理2 若函數f∈C(I2),則有:

(γ1-β1x)fx(x,y)+(γ2-β2y)fy(x,y)+

且在I2上是一致的。

證明對于(x,y),(t,s)∈I2, 由二元泰勒公式展開得:

f(t,s)=f(x,y)+fx(x,y)(t-x)+

fy(x,y)(s-y)+fxy(x,y)(t-x)(s-y)+

其中,σ(t,s;x,y)∈C(I2),且

(γ1-β1x)fx(x,y)+(γ2-β2y)fy(x,y)+

(4)

注意到:

(5)

另一方面,根據Cauchy-Schwarz不等式,有

(s-y)4);x,y))1/2≤

在(x,y)∈I2上一致成立。又由推論2知:

因此

(6)

將(5)式和(6)式代入(4)式即證。

2.2 α-Bernstein-Stancu算子的逼近階

以下將利用Lipschitz類研究二元α-Bernstein-Stancu算子的逼近階。

|f(t,s)-f(x,y)|≤M|t-x|ρ1|s-y|ρ2。

若記：

則有如下結論。

證明根據二元α-Bernstein-Stancu算子的定義及Lipschitz條件,有

令

定理4 若f∈C(I2),則有：

證明對任意x,y∈I2,有

(7)

由于

再由Cauchy-Schwarz不等式知：

3 結 論

本文研究了二元α-Bernstein-Stancu算子,對于該二元算子,給出了Voronoskaja定理,并利用Lipschitz類研究了該算子的逼近階。