李東琴，黃 亞，易 靈，侯貴兵，李媛媛

(1.保定市水利水電勘測設計院，河北 保定 071000;2.中水珠江規劃勘測設計有限公司，廣東 廣州 510610)

截至2018年，中國已建成各類水庫9.8萬座，水庫作為重要供水水源，其運行調度在緩解中國水資源供需矛盾中起著重要作用[1-2]。為使水庫以超汛限水位運行，實現洪水資源的安全利用，大量學者基于流域暴雨和洪水變化規律進行流域汛期分期和分期設計洪水的研究[3-4]。在確保水庫大壩及下游防洪安全的前提下，如何科學合理地制定汛期分期，實現洪水資源安全、有效利用已成為當下發揮水庫興利效益，緩解防洪興利矛盾成為近些年研究熱點[5]。目前，汛期分期主要研究方法有定性分析法、統計分析法及聚類分析法三大類。其中定性分析法依靠豐富的實踐經驗與主觀判斷，一般僅定性分析使用，統計分析法原理簡單，但是存在主觀強、精度低等不足之處，聚類分析法具有較強的物理數學背景，理論依據較充分，計算量大，分期成果的精度較高。聚類分析法種類較多，如模糊集合分析法[6]、分形法、系統聚類法[7]、變點分析法[8]、灰色定權聚類法[9]及投影尋蹤法[10]、Fisher最優分割法等。但以上方法均存在各自的缺陷。模糊集合法和分形法僅考慮單因子指標;變點分析法和系統聚類法雖可考慮多指標，但在變點數和指標閾值確定方面具有較強的主觀性；投影尋蹤法在構造指標函數時存在的差異會對分期計算結果產生較大影響；Fisher最優分割法考慮多因子影響，計算繁瑣。鑒于此，Fisher 最優分割法在不改變汛期時序性的基礎上，既能綜合考慮汛期的多因子指標，又能確定最優的汛期分期數目，具有較強的綜合性能。目前Fisher最優分割法已經廣泛應用于農業、氣象和地質災害預報等領域[11-13]。本研究以龍灘水庫1960—2015年降雨和徑流的逐日資料為基礎，采用Fisher最優分割法對龍灘水庫汛期分期開展研究，研究結果可為水庫分期汛限水位或動態汛限水位的調整提供依據。

1 Fisher最優分割法

1.1 具體分割步驟

a)數據歸一化。由于不同類型的數據存在數據量級上的差異，為避免其對分期結果的影響，需要先將分割的樣本數據進行歸一化處理：

(1)

(2)

同時，根據各項指標對樣本分類的重要程度賦予指標權重，加權計算后得到特征向量Y，以Y作為基礎數據進行汛期分期，Y計算公式如下：

(3)

b)定義分段直徑。分段直徑是反映分段內部差異程度的指標，差異越大，則直徑越大；反之亦然。設樣本分段后的某一分段為Q={yi,yi+1,…,yj}(j>i)，則有：

(4)

(5)

c)定義分類目標函數。將n個有序樣本分為k類，則定義分類目標函數為：

(6)

d)求解最優分割。根據文獻[12]，有序樣本的最優分割總是建立在截斷末尾子段的最優k-1分割的基礎上，且存在以下核心遞推公式：

(7)

(8)

當分為k類時，找jk使遞推公式(8)達到最小，從而求出k類。然后再推求ik-1分割點，以此類推所有分割點求出最優分期數。

e)確定最優分割數目k。通常取e[P(n，k)]-k曲線拐點處對應的k值即最優分類數，或者計算：

r(k)=|e[P(n,2)]-e[P(n,k-1)]|

(9)

然后與k繪制r(k)-k曲線，最大對應的k也是最優分類數。

2 實例分析

2.1 基本資料及指標選取

龍灘水庫是紅水河梯級開發的龍頭水庫，位于珠江干流紅水河上游廣西天峨縣境內。水庫集水區面積約98 500 km2，壩址下游14 km處天峨水文站集水面積為105 830 km2，占紅水河流域面積的71.2%。庫區汛期為每年4—10月，根據多年降水統計結果，汛期降水占全年降水總量的89%，徑流占全年的84%。本研究基于龍灘水庫1960—2015年共56年的逐日降水和徑流系列，以旬為單位將汛期劃分為21份。共選取了6個能夠反映流域暴雨洪水變化特征指標：旬平均降雨量(P)、旬平均最大1日降雨量(P1)、旬平均最大3日降雨量(P3)、旬平均最大7日降雨量(P7)、旬內暴雨日數(N)、旬多年平均入庫流量(Q)。

2.2 汛期分期計算步驟

步驟1：歸一化數據。根據式(1)、(2)將選取的6個指標數據進行歸一化處理，歸一化后的數據見表1。

步驟2：計算特征向量Y。在使用Fisher最優分割法過程中，指標的合理選取及權重系數的確定是研究的關鍵[11]。本研究選取專家咨詢權數法[14]、獨立性權數法[15]、因子分析權數法[16]、信息量權數法[16]共4種權重系數計算方法進行特征向量計算。根據式(3)對表1中歸一化后的指標特征值進行加權計算，表2為基于4種權重系數計算得到特征向量Y。

表1 汛期分期劃分指標及歸一化數據

表2 基于不同權重系數的特征向量值

步驟3：計算分段直徑。根據式(4)、(5)計算特征向量Y的每一分段的直徑D(i,j)，其中i=1,2,…,20；j=i+1,…,21。

步驟4：計算分類目標函數。根據目標函數性質和式(7)、(8)可以計算出每一種分割情況下的目標函數值e[P(n,k)]。

步驟5：計算最優分割數。按照圖1尋找最優k分割，并由式(9)確定r(k)值。

2.3 最優分割數確定及對比分析

圖1所示，最小目標函數e[P(n,k)]隨k值單調遞減，曲線在k值為3、4、5處拐點最大，當k值超過5以后，k值再增加目標函數已變化不大，說明將汛期分為3、4、5期最好。由公式β(k)=e[P(n,k-1)]/e[P(n,k)]，計算比值β(5)=2.99>β(3)=1.92>β(4)=1.52，因此5期為最優分割數，其次為3期。

圖1 e[P(n,k)]-k關系曲線

表3比較了當k=3時龍灘水庫汛期分期結果與其他學者成果。由表可知，當k=3時，Fisher最優分割法將汛期4—10月被分成3期，前汛期為4月上旬至5月中下旬，主汛期為5月中下旬至8月中下旬，后汛期為8月中下旬至10月下旬，基于不同權重系數的分期結果略相差1旬。而前人的研究結果中，前汛期主要為4月上旬至6月上旬，主汛期為6月上旬至8月下旬，后汛期為9月上旬至10月下旬。基于Fisher最優分割法的后汛期與前人結果基本一致，主汛期開始時間略有提前。

表3 Fisher分期成果與已有研究成果匯總

表4為k=5時，基于不同權重系數的Fisher最優分割法的龍灘水庫汛期分期結果。基于最優分期結果可將汛期分為汛前過渡期(4月上旬至下旬)、前汛期(5月上旬至中旬)、主汛期(5月中旬至7月中旬)、后汛期(7月下旬至9月上旬)、汛后過渡期(9月中旬至10月下旬)。Fisher最優分割法基于4種不同權重系數的分期計算結果基本一致，在后汛期和汛后過渡期劃分略有差異。基于Fisher最優分割法的汛期分期結果能較好地反映龍灘水庫流域在汛期的暴雨洪水變化特征，且保持了汛期樣本的時序性，在分期過程中綜合考慮了汛期降水、徑流的多種特征指標，同時還能根據數據時間尺度確定汛期最優分期數。

表4 基于最優分割數的汛期分期成果

3 結語

本研究選取反映龍灘水庫流域暴雨洪水季節性變化規律的6項指標作為Fisher汛期分期計算樣本。從主觀、客觀角度出發，采用4種不同的權重系數計算方法進行樣本特征向量的計算。結果表明，汛期最優分期數為5期：汛前過渡期(4月上旬至下旬)、前汛期(5月上旬至中旬)、主汛期(5月中旬至7月中旬)、后汛期(7月下旬至9月上旬)和汛后過渡期(9月中旬至10月下旬)。在龍灘水庫水情預報系統的預報成果基礎上，在汛期不同分期實施不同的汛限水位，尤其對后汛期和汛后過渡期汛限水位的動態控制，可提高在汛末期的龍灘水庫蓄滿率。

Fisher最優分割法對龍灘水庫汛期的分期結果能夠較好地反映流域汛期的暴雨洪水變化特點。在以旬為計算單位的情況下，各權重系數對分期結果影響不大，究其原因可能是以旬為劃分單位對于指標權重系數變化不敏感。未來可選取更多反映汛期暴雨洪水的特征指標，根據各指標對汛期分期的影響程度賦予不同的權重，以取得更為合理可靠的汛期分期結果。同時，也可將劃分的時間尺度進一步縮小到日尺度，利用Fisher最優分割法獲取更精準的分期時間，在實際工作中還需要結合實際的工程情況進行分析驗證。