基于編碼解碼思想的鬼波預測與壓制方法

王永強, 王華忠*, 孫維薔， 胡英， 張才

1 同濟大學海洋與地球科學學院波現象與智能反演成像研究組， 上海 200092 2 中國石油勘探開發研究院， 北京 100083

0 引言

高分辨率勘探是最近幾年海上油氣地震勘探的熱點問題，鬼波壓制是其中的核心議題.眾所周知，海上地震資料采集過程中，為避免復雜海水表面因素的影響，需將震源與接收器置于海水表面以下某一深度.由于海水與空氣的接觸面是一良好的反射界面(反射系數近似等于-1)，來自地下反射界面的反射波場在到達接收器(形成檢端上行波場)后，還將繼續向上傳播，并經海水表面向下反射，再一次被接收器接收到，形成檢端下行波場，即檢端鬼波波場；同樣，震源激發波場，除了下行傳播的波場(這部分是正常的下行波場)，還有向上傳播的波場，經海水表面向下反射，形成源端鬼波波場.可見以震源點和檢波點位置為參考點，源端的上行波場與下行波場、檢端的上行波場與下行波場，兩兩組合即形成最終的記錄波場，它是無鬼波波場、源鬼波波場、檢鬼波波場以及源檢鬼波波場的疊加.

鬼波對地震資料處理的影響可歸納為如下四點：1)鬼波的拖尾效應，使得地震子波變胖，進而降低成像分辨率；2)鬼波的陷波效應，損害有效頻帶，尤其低頻端信息缺失，影響FWI等；3)鬼波的時延空變效應，使得地震子波的動力學特征失真，影響后續的AVA/AVO反演等；4)鬼波的行波方向效應，擾亂SRME等自由表面多次波壓制方法.因此，鬼波壓制現已成為海上地震勘探的重點研究問題,目的是盡可能提取出無鬼波波場，壓制鬼波波場影響，恢復地震數據寬頻帶、高分辨率的特性.

鬼波壓制的基本思想主要體現在采集和處理兩個階段.采集階段是通過設計觀測方式控制陷波點分布.因此，鬼波壓制方法總是與采集系統緊密地關聯在一起，其基本思想是通過改變采集模式以引入陷波頻率的多樣性，進而得到更為穩健的等效去鬼波算子.Ozdemir等(2008)探索并發展了上、下拖纜采集壓制鬼波的思路，即將兩條拖纜置于兩個不同的深度同時進行數據采集，進而引入兩套不同的陷波頻率特性；Barr和Sanders(1989)，Starr(1998)，Carlson等(2007)等提出在拖纜上同時安置水檢與陸檢.由于壓力分量與速度垂直分量具有不同的行波方向響應特性，因此也就引入了兩套不同的陷波頻率特性；Soubaras等(2010，2012)則進一步擴大了寬頻采集的范疇，提出了變深拖纜采集(VDS)，即水檢深度隨偏移距的不同而不同.雖然寬頻采集能夠得到更為穩健的去鬼波效果(得益于等效去鬼波算子的穩健性)，但由于其對采集系統的工程要求更高，成本更高，因此僅在某些特定的區塊得到了應用.不同的采集方式，具有不同的陷波頻率分布特征，對應地發展了不同的去鬼波方法.處理階段是通過提出更好的鬼波預測算子，并在合適的反演框架下，估計一次波場，實現鬼波與一次波的分離.這樣的方法主要是針對常規的水平纜采集的數據體，例如Fokkema和 Van den Berg(1993)最早給出的頻率-波數域波場外推法去鬼波方法；Weglein等(1997)理論上推導出了全波場域壓制鬼波的逆散射級數法，王芳芳等(2013)則對該方法進行了實現；Wang和Peng(2012)在頻率-波數域波場外推的基礎上進一步發展了尋優水檢深度的Bootstrap方法，Wang等(2013)則將其又擴展到了頻率-射線參數域.上述針對水平單纜的鬼波壓制方法雖然能夠在實際資料處理中取得一定效果，但由于預測和壓制被融合在一個濾波器中，限制了對鬼波的預測能力和壓制能力.

鬼波壓制方法優劣的判斷標準：①鬼波在什么階段壓制？最好在采集階段壓制，不要留到處理階段.②鬼波壓制方法的假設條件是什么？假設條件越松越好.③鬼波壓制方法的保真程度如何？對一次波的保真度越高越好.

到目前為止，沒有辦法證明寬頻采集的鬼波壓制方法更有優越性，而且寬頻采集壓制鬼波方法之間孰優孰劣也無法證明.在處理階段發展更全面的鬼波預測算子，在一個更好的反演框架下進行更徹底的鬼波與一次波的分離還是非常必要的.

由于常規水平單纜采集應用廣泛，與之配套的后續處理流程發展成熟，且由于其采集成本更低，因此在可預見的將來，常規水平纜采集依然舉足輕重.這也就決定了針對常規水平纜鬼波壓制方法的研究仍然需要引起足夠的重視.因此，本文聚焦于常規水平纜所采集數據的鬼波壓制算法的研究.本文基于編碼與解碼理論框架，用編碼建立起鬼波預測模型(相當于正問題)，在Bayes反演框架下建立起解碼估計一次波、去除鬼波的方法(相當于反問題).正問題準確性決定了反演的效果.本文采用的編碼鬼波預測模型中可以考慮到影響鬼波壓制的各種因素，譬如源、檢深度的不準確、海水表面不水平、甚至海水表面反射系數的空變等，基于此模型及相應反演理論的鬼波壓制得更為徹底.實際上，本文提出的編碼鬼波預測模型并非局限于水平纜觀測的情形.實際資料處理驗證了編碼與解碼框架下鬼波壓制方法的可行性與有效性.

1 方法原理

1.1 編碼理論下鬼波預測器的構建

編碼與解碼方法在信息科學領域中有廣泛應用.雞尾酒會問題是典型的例子(Ikelle, 2007,2010).麥克風接收并放大來自不同嘉賓的語音信號，這個過程可以理解為不同語音信號的“編碼(encoding)”過程.從混疊語音信號中分辨出感興趣的嘉賓的聲音可以理解為對混疊語音信號的“解碼(decoding)”.如忽略音色等特征，解碼過程往往是異常困難的，因為麥克風對不同語音信號的編碼機制(編碼算子)是未知且復雜的，而音色等特征可以認為是對混疊前語音信號的先驗信息，基于此先驗信息，能夠從混疊語音信號中分辨出感興趣的嘉賓的聲音.

編碼前獨立信號、編碼算子(取決于具體物理問題)與實測的混疊信號三者構成編碼與解碼理論的基本元素.其中編碼是正問題，目的是預測實測數據；解碼是反問題，目的是估計獨立信號或同時估計獨立信號和編碼算子.同時估計信號和編碼算子的問題又稱為盲源分解問題.

勘探地震中很多問題可以提為編碼與解碼問題，譬如隨機同時源激發、接收以及混疊數據的分離，水體相關多次波(甚至層間多次波)的預測與壓制問題.鬼波預測與壓制同樣可以類比為一個編碼與解碼問題.和雞尾酒會問題類似，對檢鬼波而言，水檢為麥克風，記錄到的波場為混疊語音信號，而上行波場則為混疊前獨立語音信號，編碼算子可以理解為上行波離開水檢傳到海面再返回到水檢的整個傳播過程.源鬼波和源檢鬼波可同樣解釋.相比于傳統的鬼波預測方法，此處的編碼算子(至少原則上)可以考慮諸如纜深不準確，水體速度變化，水體表面反射系數空變等因素的影響，實現對鬼波的更為精確的預測.用編碼和解碼理論來解釋鬼波預測與壓制方法的好處是這樣的思維方式有一個明確的正問題和反問題架構，可以借用目前的各種編碼算子提煉正問題，反問題的框架更為明確，即Bayes反演框架.在這樣的框架下處理問題包容性很廣，正問題可以提得更符合實際；反問題可以考慮更合理的正則化方法.

正問題是反問題的基礎，正問題對實測數據(即物理過程)的預測越準確，反問題的求解精度越高.

如圖1所示，第j道水檢記錄到的下行檢鬼波可以看作為來自地下不同反射界面上行波場的混疊，它們對應于不同的入射角度.而對于某一特定的入射角度θk，可以看作為第k道水檢(作為編碼道)記錄到的上行波場繼續向上傳播，經海水表面下行反射到達第j道水檢產生對應的鬼波成分.任何角度的上行波到達水面并被反射到第j道水檢產生的鬼波都可以這樣理解.可以把第j道水檢視為上述麥克風，傳播算子視為編碼算子，無鬼波上行波場是上述編碼前獨立信號.這就是鬼波預測提為編碼問題的原因.當然也可以用任何類似的框架來解釋鬼波的產生.

假設海水表面為理想的鏡面反射，第j道水檢記錄到的下行波場可以通過沿拖纜方向對各個水檢記錄到的上行波場進行如圖1所示的編碼得到.在頻率-射線參數域，編碼過程可以描述為

(1)

Xj(ω,pk)=Uj(ω,pk)+Dj(ω,pk),

(2)

其中，Dj(ω,pk)為第j道記錄到的入射角度θk滿足sinθk=vpk的下行檢鬼波；Ui(ω,pk)為第i道記錄到的具有相同入射角度的上行波場；r·e-iω tpkAji為對應Ui(ω,pk)與Dj(ω,pk)的編碼算子，即連接起拖纜數據中第i道處上行波與第j道處的下行波的Green函數，其中，r為水面反射系數，tpk為取決于入射角度、纜深和水速的走時差，Aji為編碼系數中的權重項，即使用當前Green函數路徑與理想反射路徑的吻合概率當前編碼項進行加權；Xj(ω,pk)為第j道記錄到的原始波場，N為沿拖纜方向分布的水檢道數.

考慮到沿拖纜方向的所有水檢，則式(1)與式(2)可以表示為如下矩陣形式：

(3)

上式進一步簡化得到，

X=LU,

(4)

其中，X為混疊記錄波場，其中同時包含有檢端上行波場與下行波場；L為編碼矩陣，亦稱之為編碼算子；U為解碼后得到的上行波場(即去除檢鬼波后的上行波場).X、L與U構成編碼與解碼框架下檢鬼波壓制理論的三個要素.公式(3)有較高的抽象性，能統一地對多種觀測方式(如水平纜、變深纜等)進行建模，式中tpk與Akj根據具體觀測方式有不同形式，將在下一節討論.

公式(3)和(4)的物理解釋是海上拖纜記錄到的觀測數據是對傳播到檢波點處的上行波場進行編碼得到的，其中上行波繼續到達海水表面再下行反射至檢波器的Green函數構成編碼算子(它取決于海水表面反射系數r、編碼系數Akj以及記錄道與編碼道的走時差異tpk).公式(3)和(4)建立起了線性正問題，即一次上行波和實測含鬼波數據的之間的預測關系.

1.2 Bayes框架下最優反演方法壓制鬼波

上節所表述的預測正問題，具有高度抽象性，能統一地建模多種觀測方式.為了方便分析問題，此處將具體討論常深度水平拖纜情形.如圖1，假若海水表面為理想的鏡面反射(反射系數r已知)，海水速度v以及拖纜深度d已知，則對應于某一入射角度θk,其編碼算子中的待定項Aji，tpk有如下表達：

(5)

(6)

其中，δ表示關于理想鬼波反射路徑的最大容許偏差；此時，公式(3)(4)所表述的正問題中的編碼算子被具體化為一個帶狀對角陣.

解碼問題一般地可以定位為Bayes框架下的參數估計問題.Bayes框架的引入可以清楚地解釋反問題的本質，尤其對正則化思想與方法在提高反演精度中的重要性有深刻的說明.此處，并不詳述Bayes估計理論，而是直接切入泛函優化問題.

在Bayes框架下建立如下目標泛函，

(7)

求解該優化問題可以實現對上行波場U(無鬼波波場)的最優解碼.其中，λ是衡量數據殘差與模型殘差的權重；P代表不同的范數.在頻率-射線參數域求解公式(7)，去鬼波后的上行波場應該存在稀疏性，進行稀疏約束反演(P=1)是合適的選擇.此時，公式(7)是一個“L2數據匹配項+L1正則化項”的優化問題，可使用次梯度方法.其迭代解可表達為

Uk+1=Γα λ[Uk-αLH(LUk-X)],

(8)

其中，Uk-αLH(LUk-X)是一次常規的梯度更新；α表示梯度更新的步長；Γβ[·]是一個L1閾值收縮算子，β是其收縮步長.關于梯度步長與L1閾值收縮算子具體形式，詳見附錄A.

從公式(8)可見，本算法的主要迭代過程是在沿負梯度反向更新的結果上進行一次L1閾值收縮.因此，它的總體計算量與梯度類算法相當，并沒有引入額外的計算成本.

1.3 實際資料中的不確定性

實際上，在處理海上地震資料時，存在著諸多不確定因素可能影響最終的解碼效果.例如，海水表面并非理想的鏡面反射，此時記錄道與編碼道之間的一一對應關系就會脫離入射角度的制約，且海水表面反射系數也不再是-1；海水速度隨溫度、鹽度、拖纜深度、季節性洋流等發生變化，而不再是一個常數；海況復雜，且拖纜控制系統存在誤差等也會使得真實的水檢深度并非預設的深度值，等等.如圖2—4所示，以1D情形為例，這里分別給出海水速度不準確、水檢深度不準確以及海水表面反射系數不準確等對最終解碼效果的影響.可以看到，這些因素的錯誤估計都會進一步產生并放大Ringing噪聲，且估計誤差越大，Ringing噪聲越發育.

圖1 編碼上行波場得到下行檢鬼波示意圖(a) 單個檢波點接受到的鬼波; (b) 單方向鬼波的傳播示意圖.Fig.1 Sketch of down-going receiver ghost by encoding the up-going wavefield(a) The ghost received by a single detection point; (b) The propagation diagram of the ghost of one direction.

通常情況下，海上地震資料實時采集時，海水鹽度、溫度等參數都會被記錄得到，其目的是減小海水速度估計誤差，也因此，海水速度參數對實際地震資料解碼影響是比較小的.至于海水表面反射系數，這里給出一經驗公式以弱化實際海水表面反射系數對解碼的影響，即綜合考慮海水表面起伏、入射角度、頻率等因素的影響：

(9)

其中r0為參考反射系數，一般取值為-0.97；σ為海水表面波浪的起伏高度.從表達式可以看出，當入射角度與浪高固定時，海水表面反射系數隨頻率的增高而減小；當頻率與浪高固定時，海水表面反射系數隨入射角度的增大而增大；當頻率與入射角度固定時，海水表面反射系數隨波浪起伏增大而減小.進一步地，至于纜深因素的影響，由于其實際發生擾動的深度范圍是有限的(一般為±2 m)，因此可以在當前計算數據窗口內按照給定的深度范圍(d-2)～(d+2)，對當前炮，通過建立如下目標泛函，實現拖纜深度的最優估計：

圖2 拖纜(水檢)深度對解碼結果的影響(1D) Fig.2 The influence of receiver depths on the deghosting result (1D)

圖3 反射系數對解碼結果的影響(1D)Fig.3 The influence of reflectivity on the deghosting result (1D)

圖4 海水速度對解碼結果的影響(1D)Fig.4 The influence of water velocity on the deghosting result (1D)

(10)

其中，Ude和Dde分別對應基于某一纜深解碼得到的檢端上行波場與下行波場.上式的物理含義是，當纜深對應于實際拖纜深度時，原始觀測數據與解碼得到的檢端上行波場與下行波場(檢鬼波)的差異為最小，此時Ringing噪聲的能量勢必也是最弱的；相反，若拖纜深度不準確，誤差則會增大，對應.此時Ringing噪聲的能量也會增強.圖5對應1D情形不同水檢深度值時，式(9)對應的誤差曲線.可以看到，當水檢深度為真實深度值15 m時，原始觀測數據與解碼得到的檢端上行波場與下行波場(檢鬼波)的差異達到最小.

圖5 不同拖纜(水檢)深度對應的數據匹配殘差曲線Fig.5 The curve of data matching residuals due to different receiver depths

2 數值試驗

為驗證本文方法的有效性，首先對sigsbee2a模型的合成數據進行了測試.實驗中施加自由表面邊界條件，使得有限差分正演模擬出鬼波反射.在該模型中，鹽丘邊界的強反射率和鹽丘的陡峭角度帶來了額外的挑戰.

由于自由表面邊界條件下的正演模擬的炮集數據被鬼波污染(圖6a)，原始的RTM成像結果呈現較低分辨率，尤其是在鹽丘的邊界處(見圖7a箭頭處).用本文方法去鬼波后的炮檢記錄(見圖6b)中沒有鬼反射，反射同相軸的子波波形變得更尖銳.最后，從去鬼波后的炮集數據的RTM成像結果(見7b)在分辨率上有了顯著的提高.鹽丘的邊緣變得清晰，驗證了本文方法的有效性.

為進一步驗證上述編碼與解碼框架下檢鬼波壓制方法的有效性,這里以南海某一探區2D地震資料為例.由于該區塊地質環境復雜，尤其微構造、微斷層等發育，因此高精度高分辨率的地震成像是關鍵，進而數據預處理階段有效的鬼波壓制算法舉足輕重.該2D水平拖纜數據，炮點間隔75 m，水檢間隔12.5 m，單道記錄長度12.288 s，采樣間隔4 ms.拖纜預設深度為10 m，炮點深度6 m.這里僅考慮檢鬼波的壓制，源鬼波暫且不予考慮.圖8a為原始單炮道集：同時包含檢端上行波場與下行檢鬼波；圖9a為對應方框的局部波形圖，如箭頭所示，兩者極性相反，檢鬼波猶如尾巴般緊緊跟在上行波之后，進而使得地震子波變胖，影響后續的成像分辨率.按照給定的目標泛函(式(9))，在8～12 m深度范圍內，尋優當前計算窗口(窗口大小為30道)內的拖纜深度，并考慮到海水表面反射系數的影響，圖8b為最終解碼得到的上行波場，從局部放大波形圖9b中可以看到，拖曳著的檢鬼波得到顯著壓制.圖8c為考慮到拖纜深度因素，但未考慮到海水表面因素的解碼結果，從其局部波形圖9c相較于9b對比來看，檢鬼波依然有些許殘留.圖8d與9d為既未考慮海水表面因素，也未考慮拖纜深度因素的解碼結果，解碼效果更為糟糕，檢鬼波還有很強烈的殘留.圖8e與9e則對應于傳統的頻率-波數域波場外推法鬼波壓制結果，即使考慮到海水表面因素與拖纜深度因素，壓制效果依然不盡人如意，檢鬼波依然有殘留.圖10給出了振幅譜對比圖，其中圓點線代表包含檢鬼波的原始記錄波場，實線代表最終解碼得到的上行波場：無論是低頻端還是高頻端能量都得到提升，頻帶變寬.

圖6 sigsbee2a模型算例中的一個共炮道集去鬼波前后對比(a) 原始; (b) 去鬼波后.Fig.6 Comparison of a common shot gather in sigsbee2a synthetic example before and after ghost removal(a) Original; (b) After ghost wave removal.

圖7 sigsbee2a模型算例中的RTM成像結果去鬼波前后對比(a) 原始; (b) 去鬼波后.Fig.7 Comparison of RTM result in sigsbee2a synthetic example before and after ghost removal(a) Original; (b) After ghost wave removal.

圖8 (a) 原始單炮道集； (b) 考慮到拖纜深度與海水表面因素的解碼炮道集； (c) 考慮到拖纜深度但未考慮海水表面因素的解碼炮道集； (d) 既未考慮拖纜深度也未考慮海水表面因素的解碼炮道集； (e) 常規F-K域波場外推法去鬼波炮道集Fig.8 (a) The original shot; (b) The deghosting shot considering the receiver depth and sea-surface condition; (c) The deghosting shot considering the receiver depth but not the sea-surface condition; (d) The deghosting shot neither considering receiver depth nor sea-surface condition; (e) The traditional deghosting shot

圖9 分別對應于圖8中方框所圈定的局部放大波形圖Fig.9 The partial enlarged views corresponding to Fig.8

編碼與解碼框架下去除檢鬼波之后，基于SRME消除自由表面多次波.對分離出的上行一次反射波進行RTM成像，并比較檢鬼波壓制前后成像剖面的改善.圖11、圖12、圖13分別對應該勘探區域淺層、中層、深層某一區塊.圖11a、圖12a、圖13a對應檢鬼波壓制前成像剖面，其中箭頭指示拖曳著的檢鬼波，可以看到同相軸變胖，成像分辨率顯著降低.圖11b、圖12b、圖13b則分別對應檢鬼波壓制后的成像剖面，很明顯，拖曳著的檢鬼波被壓制掉，成像同相軸明顯得到恢復.進一步地，圖14(a,b,c)分別對應淺層、中層、深層檢鬼波壓制前后的振幅譜對比.不難看出，檢鬼波壓制后，低頻端能量得到恢復，頻帶得到了拓寬.

3 討論

鬼波是海上地震勘探的常見干擾.該現象的成因是位于水下的檢波器，在接受上行反射波的同時，也會受到來自水面的下行波的干擾，因此該現象可類比于“雞尾酒會問題”.在“編碼-解碼”框架下，可將來自不同演講者的語音分離；同理，在“編碼-解碼”框架下，也可將來自不同方向的入射波分離.相比于傳統的ω-p域鬼波預測算子，本文“編碼”雖然具有等價的數學描述，但側重于不同方位、不同來源的信號混疊過程.因此在該角度下，運用Bayes反演理論，可解碼得到來自不同方向的波場.

對于實際情況下的纜深、水速、海面反射系數不確定性，本文分別測試了這些因素的誤差影響.這些因素實際上導致正算子不準確，本文并通過引入Bayes反演框架，本身可在一定程度上容許正算子的誤差，從而緩解了對精確纜深、水速、反射系數的要求.

本文雖然僅僅討論了常深度水平拖纜情況.對于更復雜的變深度拖纜，編碼矩陣L中Aij、tpk等元素的計算需要考慮各個檢波點的實際坐標，從而使得編碼矩陣形式上更為復雜.但對于反問題的解碼過程，并沒有引入額外的難點.

本文主要討論檢端鬼波，但本文的算法不僅僅局限于檢波端鬼波，對于源端鬼波、源檢鬼波也同樣能夠處理.源端鬼波主要問題是空間樣點稀疏，在炮點采樣滿足采樣定理的假設下，本算法也適用于源端鬼波；當炮點過于稀疏時，需要對數據進行加密插值，才能使用本算法.順序地施加本算法于“共炮道集”、“共檢波點”道集之后，即可消除數據中的三種鬼波.

圖10 解碼(去檢鬼波)前后地震數據振幅譜曲線對比Fig.10 Comparison of amplitudes pectrums before and after deghosting

4 結論

寬帶、寬方位(長偏移距)和高密度采集及對應的成像處理是油氣地震勘探的正確技術方向.海上寬帶地震勘探表現為寬帶采集技術及相應的去鬼波技術，核心問題就是壓制鬼波.氣槍震源的擴頻是另一個問題.寬帶地震勘探的優點已經得到了充分的證明.

數據處理階段的鬼波壓制本質上涉及到鬼波預測問題(正問題)和鬼波與一次波分離問題(反問題)，而且鬼波的精確預測是更關鍵的.我們從編碼的角度考慮鬼波與一次波的關系問題，構建出了更為精確的鬼波預測模型，其中可以包括纜深、水速、水面非水平，甚至水面反射系數空變等.在Bayes框架下構建了估計去鬼波后上行波場的方法(即解碼方法).在Bayes框架下可以方便地考慮稀疏約束反演類的正則化方法，可以考慮進行盲反演，也可以視情況考慮多參數反演.我們僅給出了針對常規水平拖纜的編碼與解碼框架下檢鬼波預測和反演壓制公式，實質上該框架既并不限于平纜、也不限于檢鬼波，它可以方便地處理任意纜形、源鬼波和源檢鬼波.

我們相信，在所提出的編碼預測器基礎上，基于非高斯反演框架的鬼波壓制方法會有更好的效果，這是今后我們希望探索研究的.

致謝感謝中石油勘探開發研究院及西北分院、中海油研究院和湛江分公司、中石化物探技術研究院和勝利油田分公司對波現象與智能反演成像研究組(WPI)研究工作的資助與支持.

圖11 勘探區域淺層(a) 去除檢鬼波前； (b) 去除檢鬼波后.Fig.11 The shallow exploration area(a) Before deghosting; (b) After deghosting.

圖12 勘探區域中層(a) 去除檢鬼波前； (b) 去除檢鬼波后.Fig.12 The medium-deep exploration area(a) Before deghosting; (b) After deghosting.

圖13 勘探區域深層(a) 去除檢鬼波前； (b) 去除檢鬼波后.Fig.13 The deep exploration area(a) Before deghosting; (b) After deghosting.

圖14 (a)、(b)與(c)分別對應于淺、中、深層成像剖面去鬼波前后振幅譜對比曲線Fig.14 Comparison of amplitude spetrums before and after deghosting corresponding to Fig.11,Fig.12,Fig.13

附錄A

公式(8)中的梯度步長α可由梯度方向上的一維搜索求得，其形式可表達如下：

式中，p是當前梯度方向.

軟閾值收縮算子Γβ的具體形式如下：

Γβ[x]=sgn(x)·max{|x|-β,0}

其中，β是收縮步長；sgn表示符號函數，即取變量的正負號，對于復變量則為取相位.