三線擺的運動方程、周期及角位置概率分布

吳明玨，王順宇，李 俊，夏雪連，章禮華

(安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133)

三線擺主要由水平放置的較小墊盤與較大懸盤，以及對稱連接墊盤與懸盤邊緣正三角形頂點的三條懸線組成[1].現有不少關于三線擺的研究，如謝淼、呂丹等人的大角度三線擺周期的近似公式[2]，王菊香等人的三線擺周期的近似公式[3].常關注的內容有轉動慣量的測量、特定狀態下的運動微分方程及周期[4]，但較少系統性地討論不同初始擺角情況下三線擺的運動微分方程、周期及角位置概率密度分布情況.本文分別對大擺角及小擺角兩種情況進行分析，通過近似處理、積分求解等一系列手段給出了上述兩種情況下，三線擺的運動微分方程、周期及位置概率密度分布的分析結果.

1 三線擺的運動微分方程

三線擺結構如圖1所示，上、下圓盤的半徑分別為r和R，懸線長均為L.將墊盤吊起時，二圓盤面均被調節至水平，兩盤間的距離為H，兩圓盤心在同一垂直線O1O2上，懸盤可繞中心線O1O2做扭轉運動[5，6].

圖1 三線擺裝置簡圖

1.1 大擺角情況下三線擺扭轉運動的微分方程

當懸盤處于平衡位置時，系統的幾何約束為

H2=L2-(R-r)2

(1)

當懸盤角位移為θ時，其垂直高度增加h，在懸線不能伸長的理想狀態下，幾何約束變為

(H-h)2=L2-(R2+r2-2Rrcosθ)

(2)

由式(1)與式(2)得

2Hh-h2=2Rr(1-cosθ)

(3)

由于實驗中下盤上升高度遠小于兩盤間高度，即可取h<

(4)

對式(4)中的時間t求導，得懸盤上下平動的速度為

(5)

在忽略摩擦力及阻力影響的情況下，系統的機械能守恒，由此可利用分析力學中保守系拉格朗日方程進行運動微分方程的求解,可得系統動能中懸盤的轉動能與上下平動能，系統動能表示為

(6)

若將自然狀態下懸盤高度定義為勢能零點，系統勢能可表示為

(7)

由式(6)、(7)可得系統的拉格朗日函數為[7]

(8)

由保守系統拉格朗日方程

可得三線擺扭轉運動在大擺角情況下的運動微分方程，為

(9)

1.2 小擺角情況下三線擺扭轉運動的微分方程

當擺角θmax不超過5°時，習慣上稱為小擺角運動，此時可取sinθ≈θ，則式(9)變為

(10)

式(10)為三線擺扭轉運動在小擺角情況下的運動微分方程，為非線性方程.但若考慮實驗裝置的特殊尺寸，則可將式(10)化為線性振動方程，此時三線擺做簡諧運動.即若三線擺的幾何尺寸中Rr較小于H，即滿足[5]：

式(10)描述的運動方程可化簡為

(11)

上式為三線擺扭轉運動小擺角近似情況下的運動微分方程，具有簡諧運動特征.

2 三線擺的運動周期

2.1 大擺角情況下三線擺扭轉運動的周期

由于系統機械能守恒，因此懸盤任意時刻的動能與勢能之和為常量C，表示為

T+V=C

(12)

即有

(13)

其中，由于懸盤上下運動的幅度較小，因此上下平動的動能可忽略不計，得

(14)

由式(14)整理可得[2]

(15)

令

(16)

對式(16)兩端同時求導得

(17)

將式(16)、(17)代入式(15)中有

(18)

上式為第一類橢圓積分.

(19)

上式為三線擺大擺角運動時的周期公式，利用數值計算可以給出三線擺的周期與擺角之間的關系如圖2所示(其中物理參數為：H=0.5 m，I=0.0021 kg·m2，m=0.36 kg，R=0.1000 m，r=0.0499 m，g=9.8 N/kg).

總體變化圖

周期局部變化圖圖2 三線擺在不同擺角下的周期

從圖2(a)可以看出，隨著擺角θmax的增加，三線擺的周期不斷變大. 但從圖2(b)并結合計算可知，當三線擺的擺角小于0.314 rad(即18°)時，周期曲線近似平行于水平軸，三線擺可視為做固定周期的簡諧運動.

2.2 小擺角情況下三線擺扭轉運動的周期

三線擺在小角度擺動情況下，式(10)可近似為

(20)

為簡諧運動的標準形式.此時，三線擺可看成是做簡諧運動.而由簡諧運動的相關性質可得

(21)

(22)

3 三線擺運動的角位置概率分布

若記三線擺運動過程中在角位移θ處的瞬時概率為p(θ)，即角位置的概率密度函數為p(θ)，結合三線擺運動的周期，則有

(23)

其中，dt為角位移θ～dθ對應的時間，T為三線擺運動的周期.

3.1 大擺角情況下三線擺扭轉運動的位置概率密度函數

(24)

解上述方程得

(25)

將式(19)、(25)代入式(23)，再取n=1的近似情況下，可以得到

(26)

為三線擺扭轉運動大擺角情況下的位置概率密度函數，其分布規律如圖3所示.

圖3 擺角 θmax為時的角位置概率分布情況

3.2 小擺角情況下三線擺扭轉運動的角位置概率密度函數

進一步考慮三線擺做小角度擺動時，由式(22)及式(23)可直接得出小擺角情況下的角位置概率密度函數：

(27)

由小擺角情況下的三線擺運動為簡諧運動，運動學方程為

θ=θmaxsin(ωt+φ)

(28)

將式(21)、(28)帶入式(23)進行積分得

(29)

為三線擺扭轉運動在小角度情況下的角位置概率密度函數，其中φ由初始值決定.

由式(29)可得三線擺在擺角θmax取0.087 rad(即5°)時的角位置概率密度函數圖像如下圖4所示.

圖4 擺角θmax取0.087rad(即5°)時的角位置概率分布情況

4 結束語

綜上所述，本文分析了三線擺在傳統意義下大擺角、小擺角下的運動方程、周期，發現在三線擺的固有結構不變時，擺角的變化對周期的影響并不是那么敏感.考慮兩種情況下三線擺角位置概率密度函數及分布情況，得出三線擺扭轉運動在平衡位置的概率最小，而在最大角位移處的概率最大.因而選擇平衡位置作為周期測量計時的始末位置可減少測量誤差，這對于提高三線擺周期測量的準確度具有重要的參考意義.