超結構夾芯板及其低寬頻振動帶隙機理

2021-04-12 08:50:42李鎖斌魏儒義周安安李麗霞何彥斌李欣

西安交通大學學報 2021年4期

李鎖斌，魏儒義，周安安，李麗霞，何彥斌，李欣

(1.西安石油大學機械工程學院，710065，西安；2.中國科學院光譜成像技術重點實驗室，710119，西安;3.西安建筑科技大學機電工程學院，710055，西安；4.西安交通大學機械工程學院，710049，西安;5.低滲透油氣田勘探開發國家工程實驗室，710018，西安)

超構材料(metamaterials)作為21世紀一種新的人工智能材料概念,已發展成為一個具有重要工程應用價值和廣泛應用前景的前沿科學領域。超構材料雖以材料命名,但實際是一種特殊的人工合成結構[1-4],通過對其關鍵子結構的微妙設計,使其在動態響應時可獲得自然界材料/結構所不具備的、超常規的、全新的等效物理性質[5-8],如振動帶隙特性,即當振動波通過時,特定頻率范圍的振動會被抑制。因此,應用超構材料的帶隙方法,將大尺度工程結構(如隔振器件或工程結構本身)設計成超結構,利用其自身的振動帶隙特性來實現減振,為抑制工程中的有害振動提供了一種全新的思路和方法。

板類結構作為工程中最常用的基本支撐防護單元構件,是產生和傳遞振動的主要載體和導體,也是噪聲的主要傳入路徑與直接輻射聲源,一直以來被看作工程結構振動控制領域里的主要減振對象,需要其具備高比剛度的同時還兼具減振降噪功能。

基于傳統減振方法的不足[9],近年來,人們提出應用超構材料帶隙的減振思路,即把板設計成超板(metamaterial plate)[9-20],通過對其關鍵子結構的巧妙設計,使其具有自然板不具備的全新物理性質——振動帶隙特性,目前已有大量新型結構提出,歸納起來主要有兩種:一種為通過在周期性開孔板中填充軟材料[12],或在板面上周期性布置各種吸振器[10,11,13-14,16-17],或在基板中陣列各種壓電材料[18-20]而形成的單面型超板;另一種為通過在雙層板間周期性布置由軟硬材料構成的振子而形成的雙面型超板[15]。然而,這類方法只適用于薄板類結構,無法對厚板類結構進行減振設計,即在保持厚板結構高剛度的同時盡量減小結構質量,使其形成低寬頻振動帶隙物理特性。

因此,如何解決輕質高剛度厚尺寸板結構在低寬頻范圍內的振動控制問題,仍然是目前工程振動控制領域里急需突破的一項關鍵技術。

夾芯板作為一種周期復合結構,原理如圖1所示,具有天然的輕質、高剛度、尺寸較厚等結構特點,卻不具備全新的振動帶隙特性。

圖1 夾芯板

是否存在一種新型板,不僅具有夾芯結構的高比剛度等結構特性,同時還具有超結構的帶隙特性,即在滿足質輕、剛度高、尺度厚等結構特點的同時,還能形成低寬頻振動帶隙,實現高比剛度、厚尺度和低寬頻減振三者的統一。

本文基于超結構理論,結合夾芯結構概念,提出了夾芯設計減振超結構的思想和方法:將超材料/結構概念引入夾芯板中,通過構建夾芯周期基板(夾芯板)和夾芯振子的方法,獲得一種新型減振板——超結構夾芯板/夾芯型超板(本文統稱為夾芯型超板);基于此,通過設計一種夾芯型超板結構,在對其帶隙特性和形成機理研究的基礎上,提出夾芯型超板結構低寬頻振動帶隙的形成機理,尋求一種帶隙調節方法,以便獲得能滿足工程實際需要的各種低寬頻帶隙。該研究可為超構材料在工程實際減振中的應用提供方法突破,為厚板類結構的低頻減振提供新思路和方法。

1 理論模型及能帶計算方法

基于夾芯設計思想,設計了一種夾芯型超板,該結構的形成原理如圖2所示,其中圖2a表示夾芯型超板形貌,夾芯型超板是在夾芯型周期基板空腔中周期性地填入夾芯型振子而成;圖2b表示夾芯型超板的超單元示意圖(剖視圖);圖2c表示夾芯型周期基板,圖2d表示夾芯型周期基板夾芯基單元的形成過程,圖2e表示夾芯型振子的形成過程。

圖2 夾芯型超板結構及其形成原理

夾芯型周期基板由夾芯基單元沿x、y方向通過周期性陣列而成,結構原理如圖2c所示,其結構由上下面板、周期性夾芯層及其形成的周期性空腔組成。夾芯基單元由基面板夾基芯構成,結構形成過程原理如圖2d所示,其中基面板為開孔薄板結構,其厚度為e,邊長為a,孔徑為D;基芯可為蜂窩結構、泡沫結構甚至點陣結構,為方便分析,該結構中采用薄壁圓柱管結構,沿長度方向具有較大剛度,起支撐加強作用,其內外徑分別為d1和d2,高為h。相比薄壁板/管構件,由開孔基面板夾圓柱管基芯組成的夾芯基單元沿單元厚度方向具有較高剛度;同時,構成夾芯型周期基板的開孔型面板和圓柱管型基芯均為薄壁構件,如壁板厚度可小至1 mm及以下,但形成的夾芯型周期基板其板厚卻相對較大,板厚度可為1cm及以上,于是形成了典型的小尺度/薄壁結構構建大尺度/厚壁結構。因此,通過周期性陣列夾芯基單元構建的夾芯型周期基板為一種夾芯板,具有比剛度高等結構特點。該結構可通過3D打印成型,所打印的環氧樹脂樣板如圖3所示。

圖3 基于3D打印的夾芯型周期基板(5×10)

夾芯型振子單元由2層輕質彈性面膜夾住夾芯柱而成,結構形成過程原理如圖2e所示,夾芯柱又由輕質彈性表柱A和夾芯柱B構成,其中彈性面膜相當于彈簧(剛度為k1),其直徑為d,厚度為e;表柱A和夾芯柱B的直徑同為d,高分別為hA和hB,且分別由輕質彈性材料和高密度材料組成,因此構成的夾芯型振子等價于一個兼具串并聯特性的等效質量彈簧系統,其中表柱A相當于彈簧(剛度為k2),與彈性面膜相互串聯形成串聯彈簧,夾芯柱B相當于塊(質量為m)。該振子結構可通過3D打印成型,所打印的樣件如圖4所示,其中彈性面膜和表柱A用8400N軟膠打印,夾芯柱B用316L鋼打印,二者粘接成型。

圖4 基于3D打印的夾芯振子樣件

綜上所述,夾芯型超板是由超單元沿x、y方向周期性陣列而成,其中超單元是將夾芯型振子裝配于夾芯基單元空腔中形成,夾芯柱懸空于夾芯基單元的空腔內,超單元邊長(晶格常數)為a。3D打印的夾芯型超板樣件如圖5所示。

圖5 基于3D打印的夾芯型超板樣件(1×10)

基于周期性理論[2],以如圖2b所示的超單元為研究對象,采用有限元方法計算夾芯型超板的能帶結構和超單元的振動位移云圖,在分析其帶隙特性基礎上,提出并闡明夾芯型超板中振動帶隙的形成機理。計算過程中,在超單元周期方向施加布洛赫周期性邊界條件

ui(x+a,y+a)=ei(kxa+kya)ui(x,y)

i=x,y,z

(1)

式中:u表示位移;kx與ky分別表示第一布里淵區內周期性波矢。當波矢沿著第一不可約布里淵區的邊界方向進行掃描時,通過計算各個波矢下結構的固有頻率和固有振型,最終可得到夾芯型超板的能帶結構圖和超單元的模態位移云圖。

為了進一步說明夾芯型超板的帶隙機理,采用有限元方法計算了由6×6個超單元沿xoy平面組成的有限夾芯型超板結構振動傳輸譜,在結構一端施加加速度激勵信號,從另一端拾取加速度響應信號,并通過式(2)得到有限結構的傳輸譜

TL=10log(αo/αi)

(2)

式中:αo和αi表示輸出與輸入加速度。依次改變激勵頻率最終得到夾芯型超板的振動傳輸譜。

2 帶隙特性分析

選取超單元參數為10 mm(超單元的長寬高均為10 mm),基面板厚e為1 mm,開孔直徑為7 mm,圓柱管基芯壁厚為0.5 mm,內徑為8.25 mm,高為8 mm,彈性面膜厚為1 mm,直徑為7 mm,表柱A直徑為5 mm,高為2.5 mm,夾芯柱B直徑為5 mm,高為3 mm。結構中面板和圓柱管基芯采用環氧樹脂,面膜和表柱A采用橡膠,夾芯柱B采用鋼,材料參數如表1所示。

表1 結構材料參數

計算如圖2b所示的一個超單元,得到夾芯型超板的能帶結構,如圖6所示。從能帶結構中可以看出:在0～500 Hz頻率范圍內,能帶主要由結構縱向振動模式形成的面內波能帶、橫向振動模式形成的面外波能帶和局域共振模式形成的平直能帶3種能帶組成,說明夾芯型周期基板中可形成面內和面外兩種振動模式,其中,面內振動模式主要為夾芯型周期基板的縱向振動模式,如圖6c中能帶S2的振動模式為夾芯型周期基板的縱向振動模式,面外振動模式主要為夾芯型周期基板的橫向振動模式,如圖6b中能帶A2的振動模式,為夾芯型周期基板的橫向振動模式;局域共振模式主要為夾芯振子的振動模式,包括:可以和夾芯型周期基板振動模式耦合的局域振動模式,如圖6中能帶S1、A1的振動模式;不能跟夾芯型周期基板振動模式耦合的振動模式,如圖6中形成平直能帶的振子振動模式。

(a)完全帶隙 (b)面外子帶隙 (c)面內子帶隙

夾芯型周期基板和夾芯振子的兩種振動模式依據模態疊加原理,在主導系統主模態的過程中相互耦合,耦合過程中夾芯振子的振動模式通過抑制夾芯型周期基板主模態,使得夾芯型超板中產生了只能抑制面外波的面外子帶隙和只能抑制面內波的面內子帶隙兩種帶隙,分別如圖6b中綠色區域和圖6c中黃色區域所示,兩種子帶隙疊加形成完全帶隙,如圖6a中紅色區域所示,帶隙內夾芯型超板中的所有振動模式均被抑制。

圖6b中,由夾芯型周期基板的面外振動模式A2與振子的局域共振模式A1相互耦合而成的面外子帶隙,其頻率范圍為171～445 Hz,帶寬為274 Hz;圖6c中,由夾芯型周期基板的面內振動模式S2與振子的局域共振模式S1相互耦合而成的面內子帶隙其頻率范圍為143～296 Hz,帶寬為153 Hz;圖6a中,由面內和面外子帶隙相互疊加形成的完全帶隙,其頻率范圍為171～296 Hz,帶寬為125 Hz。

為了說明本文新型超板形成的帶隙為低寬頻特性,采用有限元法計算了具有相同幾何尺寸和材料參數的夾芯型周期基板和非夾芯型超板(單層超板)的能帶結構,其中非夾芯型超板由振子填充于周期性開孔板(厚板)中構成,三者的能帶結構如圖7所示。

(a)夾芯型超板 (b)夾芯型周期板 (c)非夾芯型超板

3種板結構帶隙的帶寬特性對比結果如表2所示。

表2 3種結構帶寬比較

由表2可以看出,在500 Hz頻率范圍內,夾芯型周期基板中無帶隙產生;非夾芯型超板中雖有帶隙出現,但帶寬較窄,完全帶隙帶寬僅為18 Hz,同時板質量相對較大;而夾芯型超板形成的完全帶隙帶寬為125 Hz,相比非夾芯型超板,帶隙被擴大了近7倍。因而說明提出的夾芯型超板具有質輕、剛度高和低寬頻振動帶隙特性。

3 低寬頻振動帶隙形成機理

為了進一步研究夾芯型超板中低寬頻振動帶隙的形成機理,提取了面外子帶隙和面內子帶隙上下邊界能帶對應的超單元振動模式A1、S1和A2、S2,以分析揭示其低寬頻振動帶隙的形成過程機理。

夾芯型超板中面外子帶隙上下邊界對應的超單元振動模式如圖8所示,其中帶隙下邊界能帶對應的超單元振動模式如圖8a所示,帶隙上邊界能帶對應的超單元振動模式如圖8c所示,將超單元的兩種振動模式進行等效,得到其等效理論模型如圖8b所示,其中夾芯基單元的等效質量用M表示,夾芯振子的等效質量(芯柱B質量)用m表示,由于夾芯振子為一串并聯混合等效彈簧,即輕質彈性面膜與輕質彈性表柱A相互串聯,各自的等效剛度分別為k1和k2,如圖2e所示,于是芯柱B兩端的夾芯振子部分等效剛度k均為

(a)下邊界模式 (b)理論模型 (c)上邊界模式

(3)

夾芯振子的總剛度K為

(4)

當橫向振動激勵夾芯型超板,夾芯型周期基板的板波模式A2被激活放大成為基板的主模態,表現為基單元沿z方向振動,如圖8c所示,此時夾芯振子處于靜止狀態,夾芯型周期基板的波模式主導夾芯型超板的響應,于是橫向波可按該模式在夾芯型超板中傳播,無面外子帶隙形成;當激勵頻率接近夾芯振子固有頻率時,夾芯振子的振動模式A1被激活放大成為振子主模態,表現為夾芯振子沿z方向振動,如圖8a所示,此時夾芯基單元處于靜止狀態,夾芯振子的振動模式主導振子的響應,與夾芯周期基板的振動模式耦合,通過給夾芯型周期基板一個反作用力,抑制了其沿z方向的振動模式,致使夾芯型周期基板中波傳播模式消失,此時橫波無法在夾芯型超板中傳播,形成面外帶隙。

夾芯振子沿著垂直方向(z向)振動時,通過輕質彈性圓膜給夾芯基單元作用力,也稱耦合力,其計算公式為

(5)

式中:|A1|為夾芯振子的主模態位移,屬于系統固有特性。因此,夾芯振子與基板的耦合力大小主要取決于夾芯振子的等效剛度。由于芯柱B兩端的振子并聯組成夾芯振子,通過添加輕質彈性表柱A使得系數k2增大,于是夾芯振子的總剛度增大,致使耦合力變大,形成寬頻帶隙。橫向帶隙的打開位置由夾芯振子的固有頻率f確定,f的計算公式如下

(6)

由于芯柱B兩端的振子各自串聯,因此通過添加輕質彈性面膜使得系數k1減小,于是夾芯振子的總剛度減弱,致使夾芯振子的固有頻率變小,形成低頻帶隙。

為了進一步說明該振動子帶隙的形成機理,給一個在xoy平面內由6×6超單元組成的夾芯型超板一端施加沿板厚方向的振動激勵,在另一端A、B處分別測量其響應。計算該結構在500 Hz頻率范圍內的振動傳輸特性,結果如圖9所示。

圖9 夾芯型超板的振動傳輸特性

結合傳輸特性圖提取激勵頻率在帶隙內(圖9中綠色區域)超板中振動傳播的可視化過程,如圖10所示。可以看出:超板中夾芯型周期基板基本保持靜止,夾芯振子沿z方向振動,吸收耗散了激勵能量,使得帶隙頻率范圍內的振動在有限超板中傳播時發生了衰減。

圖10 帶隙頻率范圍內的面外激勵傳輸過程

同理,提取激勵頻率在帶隙外時超板中振動傳播的可視化過程,如圖11所示。可以看出:超板中夾芯振子基本不動,而夾芯型周期基板作為一等效板則按其模態振型進行振動,即輸入的振動能量激發夾芯型周期基板的模態,致使基板按振型發生彎曲振動,激勵可在夾芯型超板中傳播。這進一步說明夾芯型超板中振動帶隙的形成是由夾芯振子與夾芯型周期基板的耦合而引起,可對振動進行有效衰減。由圖11還可以看出:結構不同面板的減振特性基本一致,即A、B處振動傳輸特性相同;該結構在提取頻率范圍內具有較好減振效果。

圖11 帶隙頻率范圍外的面外激勵結構傳輸過程

同理,提取的面內帶隙上下邊界對應的超單元振動模式如圖12所示,其中帶隙下邊界能帶對應的超單元振動模式如圖12a所示,上邊界能帶對應的超單元振動模式如圖12c所示。將兩種振動模式進行等效,得等效理論模型如圖12b所示,相比面外帶隙形成時夾芯振子等效模型,該模型(質量-彈簧系統)中等效質量以及彈簧連接形式均不變,但在夾芯振子振動過程中,輕質彈性面膜以縱向振動為主,同時輕質彈性表柱A未有效參與振子振動,于是夾芯振子的等效剛度變小,致使面外子帶隙打開位置降至更低,同時其帶寬變窄。

(a)下邊界模式 (b)理論模型 (c)上邊界模式

當縱向振動激勵夾芯型超板,夾芯型周期基板的板波模式S2被激活放大成為基板主模態,表現為基單元在xoy平面內振動,如圖12c所示,此時夾芯振子處于相對靜止狀態,夾芯型周期基板的波模式主導超板響應,此時縱向波可按該模式在夾芯型超板中傳播,無面內子帶隙形成;當激勵頻率接近夾芯振子固有頻率時,夾芯振子的振動模式S1被激活放大成為振子主模態,表現為夾芯振子在xoy平面內振動,如圖12a所示,此時夾芯基單元處于靜止狀態,夾芯振子的振動模式主導振子響應,給夾芯型周期基板反作用力,抑制其沿xoy平面內的振動模式,致使夾芯型周期基板中波傳播模式消失,此時縱波無法在夾芯型超板中傳播,形成面內帶隙。

以上對夾芯型超板的理論模型、振動帶隙特性及其形成機理進行了說明和理論分析,為了進一步說明其減振特性,對圖5制備的兩種樣品的結構減振性能進行了實驗測試,測試中通過柔索將樣品自由懸掛,采用脈沖力錘對樣品一端沿著板厚方向激勵,安裝在另一端的加速度傳感器采集振動輸出信號,信號經過測試系統進行數據采集、分析和處理,最終得到樣品的振動傳輸特性,結果分別如圖13和圖14所示。從圖13可以看出,樹脂夾芯型超板的振動傳輸特性曲線在0～500 Hz 頻率范圍內與圖9仿真結果大體一致,即整個帶寬內基本均存在衰減,由于測試樣品中各個零部件通過粘接裝配,結合面處的剛度略有不同,導致仿真和實驗結果出現差異。比較圖13和14可以看出,由兩種不同材料打印的夾芯型超板,對低寬頻范圍內的振動均能衰減,說明減振特性主要依賴于結構形式,因此提出的夾芯型超板結構具有較好的低寬頻減振特性。

圖13 樹脂夾芯型超板的振動傳輸特性

圖14 鋼夾芯型超板的振動傳輸特性

4 帶隙特性的影響規律

通過上述分析可知,夾芯振子是決定帶隙特性的主要因素,其固有頻率不僅決定著帶隙的打開位置,其剛度也間接決定著帶隙寬度,于是,通過進一步研究夾芯振子對帶隙的影響規律進而提出帶隙的調節方法。由于夾芯振子由輕質彈性面膜夾夾芯柱構成,夾芯柱又由輕質彈性表柱A夾芯柱B構成,因此分別以輕質彈性面膜與夾芯柱直徑之比D/d和芯柱B與表柱A直徑之比dB/dA為參數研究夾芯振子對帶隙的影響,獲得夾芯型振子對帶隙特性的影響規律如圖15～圖18所示。

圖15 芯柱與表柱直徑之比dB/dA對面內帶隙的影響規律

從圖15和圖16中可以看出,當芯柱B與表柱A直徑之比dB/dA從1逐漸變化至2.5時,夾芯振子變輕,致使夾芯型超板比剛度趨于更大,同時面內帶隙和面外帶隙的打開位置逐漸降低至更低頻,帶寬卻逐漸變窄,因此,通過調節夾芯柱結構中芯柱與表柱的尺寸關系,可獲得目標帶隙和結構特性。

圖16 芯柱與表柱直徑之比dB/dA對面外帶隙的影響規律

從圖17和圖18中可以看出,當輕質彈性面膜與夾芯柱直徑之比D/d從1.25逐漸變化至2.5時,夾芯振子變輕,致使夾芯型超板比剛度趨于更大,面內帶隙和面外帶隙的打開位置先降低,后升高,最后又回落至更低頻,帶寬卻逐漸變窄。因此,當通過調節夾芯振子結構中輕質彈性面膜與夾芯柱的尺寸關系,可獲得目標帶隙。

圖17 彈性面膜與夾芯柱直徑之比D/d對面內帶隙的影響規律

圖18 彈性面膜與夾芯柱直徑之比D/d對面外帶隙的影響規律

5 結論

基于周期結構帶隙理論和夾芯結構概念,提出了夾芯設計減振超結構思想和方法,獲得了一種新型減振板——夾芯型超板,通過研究得出如下結論:

(1)通過周期夾芯方法構建的夾芯型周期基板,具有夾芯板的高比剛度等結構優點,同時基板中亦可形成面內和面外兩種振動模式,該基板可構建各種具有高比剛度特性的超板;

(2)通過夾芯方法構建的夾芯振子,其剛度具有串并聯特點,以其為振子,可構建具有低寬頻帶隙特性的超板;

(3)由具有高比剛度的厚尺度夾芯型周期基板和具有優異剛度特性的夾芯振子復合組成的夾芯型超板,不僅具有輕質、高剛度和厚尺寸的結構特點,還具有低寬頻振動帶隙物理特性;

(4)夾芯振子通過抑制夾芯型周期基板的主模態,使夾芯型超板中無波傳播模式,形成帶隙;夾芯振子的串并聯剛度特點,可同時對帶隙的位置和寬度進行調節,形成低寬頻帶隙;通過設計夾芯振子結構,可主動設計目標帶隙。