基于線性規劃理論的大跨徑懸臂澆筑拱橋施工階段臨時預應力效應分析

熊興兵,周 旭,王祺順,田仲初,吳 欣

(1.貴州高速公路集團有限公司,貴州 貴陽 550000;2.湖南省交通科學研究院有限公司 交通建設工程湖南省重點實驗室,湖南 長沙 410015;3.長沙理工大學 土木工程學院,湖南 長沙 410114)

近年來，斜拉扣掛懸臂澆筑施工法在西南部山區大跨徑鋼筋混凝土拱橋中得到廣泛應用，我國使用該種工藝先后修建了白沙溝大橋、新密地大橋、木蓬大橋、馬蹄河大橋等眾多具有代表性的橋梁。但是隨著拱圈跨徑增大、拱圈節段自重的增加，傳統的通過扣索索力以降低施工過程中拱圈截面應力的方法已經凸顯其瓶頸，如扣錨索反復張拉至斷裂、扣索索力值安全系數低、扣塔局部應力集中等。故必須對原有的斜拉扣掛法進行工藝上的改進以確保懸臂澆筑施工時結構的安全性。本文以貴州省在建的沙坨特大橋為依托工程，基于線性規劃理論，分析研究主拱圈施工過程中施加臨時預應力后結構響應規律，以期該項研究成果能持續用于特大跨鋼筋混凝土拱橋施工及監控，為該類橋型跨徑推至300 m級理論及技術方法提供借鑒[1-2]。

1 線性規劃理論及實現

1.1 線性規劃基本理論

線性規劃是最優化體系中最為簡單的、最為基礎的一種問題，同時也是實際用中較為常見的問題，其數學模型的標準表達形式為：

xi≥0，i=1,2,3,…,m

(1)

或：

mincTx,

Ax=b,x≥0

(2)

式中：x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn;c=(c1,c2,…,cn)T∈Rn，A=(a1,a2,…,am)T∈Rm×n;b=(b1,b2,…,bm)T∈Rm，向量不等式按分量取。

如果一個線形規劃問題有最優解，那么一定有最優基可行解，由此，找出對應目標函數最小的基可行解即得到線性規劃問題的最優解。采用單純形法求解線性規劃問題的基本思路為：從線性規劃問題的一個基可行解出發，逐步改良目標函數的值，直到求出滿足條件的最優基本可行解，其具體步驟如下：

① 確定初始基可行解；② 檢查初始目標函數是否最優；③ 如果不是，再求出另外的沒有檢查過的基本可行解，再進行目標函數的最優性檢查；④ 如此循環，直至求得最優解為止。

根據線性規劃的對偶理論：互為對偶問題的兩個線性規劃問題，如果其中之一有最優解，則另一個也有最優解，而且兩問題的最優目標函數值相等。

線性規劃屬于凸規劃的問題，凸規劃問題有解的KKT條件如下：如果x*是線性規劃問題(1)的最優解，則存在相應的拉格朗日乘子向量λ*∈Rm，u*∈Rn使得：

u*≥0，x*≥0，u*Tx*=0；

λ*≥0，Ax*-b≥0，λT(Ax*-b)=0；

c-ATλ*-u*=0

(3)

可得出，λ*屬于式(3)的可行域中，且：

bTλ*=λ*TAx*=cTx*

(4)

若λ*是式(1)對偶形式的最優解，則其相應的拉格朗日乘子就是式(1)的最優解。

1.2 線性規劃理論在MATLAB中的實現

對于懸臂澆筑施工法施工的拱橋，其施工過程中的優化問題實際是多目標多約束問題。本文擬采用構造評價函數的方式進行求解，調用MATLAB工具箱中fminimax函數，將原問題轉換為如下形式：

A1x≤b1，A2x=b2，l≤x≤u

(5)

其中,fi(x)為原優化模型的各個目標函數，其他各符號的規定以及編程時函數的賦值方法與上述的線性規劃一致。然后再調用fminimax函數進行優化求解，得到的最優解即可作為原優化模型的最優解，常用調用格式為：

[x,fval]=

fminimax(fun,x0,A1,b1,A2,b2,l,u)

(6)

其中，fun表示原優化模型各目標函數組成的等式組，x0為變量的初值(優化模型變量初值可取通過線性規劃優化所得最優化值，帶入有限元模型進行正裝分析所得到的最大懸臂階段的變量值)，此調用格式可求出目標函數的最大最小化解x，并返回此時的目標函數值。

2 工程概況

沙坨特大橋位于貴州省境內，橫跨烏江，屬于某縣的水毀搶險重點重建工程，主橋為特大跨度鋼筋混凝土上承式拱橋，該橋上部結構為 240 m 鋼筋混凝土箱型拱橋，下部結構為鋼筋混凝土拱座，主拱圈采用斜拉扣掛，掛籃懸臂澆筑的施工工藝進行施工，拱圈縱向共分為 37 個節段，其中兩岸拱腳位置 1 號節段為支架現澆段，拱頂設一個吊架澆筑合攏段，其余 34 個節段為懸澆段。拱圈矢跨比為1/6，共軸系數為1.85，橋下具有通航要求，通航凈空為10 m，該橋的橋型立面圖以及施工中扣錨索總體布置及拱圈節段劃分立面圖分別見圖1、圖2。

圖1 沙陀特大橋橋型布置圖

圖2 斜拉扣掛體系布置示意圖

對該橋建立有限元模型，在初步設計索力下，拱圈10#～17#節段頂板峰值應力較大，故對以上節段頂板位置配置臨時預應力，預應力公稱直徑為15.2 mm，張拉控制應力為1 395 MPa。根據局部有限元計算結果，預應力布置位置位于頂板中心線處，并分散布置[3](見圖3、圖4)。

圖3 預應力縱向布置示意圖

圖4 預應力截面布置示意圖

3 優化程序及有限元建模

本文目標函數為臨時預應力面積最小，施工過程中拱圈上下緣截面應力為約束條件，同時控制各扣錨索的安全系數不小于2.5，建立以下數學模型：

gj(x)=Tn-1-(1+a)Tn≤0；

(i=1,2,3,…,m)

(7)

調用fminimax函數對數學模型進行矩陣運算，求解索力與臨時預應力耦合作用下拱圈截面應力的影響系數(圖5)，得到滿足約束條件的預應力最小數量(表1)。

圖5 拱圈頂底板應力影響系數曲面圖

表1 施工過程中最小預應力數量表Table 1 Minimum Prestressed Quantity Table during Con-struction節段號預應力筋數量節段號預應力筋數量10#節段3214#節段6811#節段3615#節段6012#節段5216#節段4813#節段6017#節段32

使用有限元軟件建立沙坨特大橋結構仿真模型，嚴格模擬施工階段，成橋模型中各部位(主拱圈、以及拱上建筑)均采用了梁單元進行模擬，扣錨索使用索單元進行模擬，并通過Ernst公式修正彈性模量。出于模擬主拱圈施工的需要以及方便模型快速精確的計算需要，主拱圈只在橫隔板處、截面頂、底板變化處以及拱腳現澆節段、拱頂合攏節段和標準懸澆節段的節段劃分出進行了節點劃分，將主拱圈離散為96個節點，95個單元，有限元模型如圖6、圖7所示。

圖6 整體有限元模型

圖7 施工階段有限元模型

4 計算結果

將求解得到的預應力數量輸入至有限元軟件中，考慮扣錨索索力與預應力耦合作用，提取主拱結構響應結果如下。

4.1 拱圈應力結果

對比分析索力與預應力耦合作用及索力單獨作用兩種情況下拱圈截面最大應力值，結果如表2所示。

表2 施工階段拱圈應力值Table 2 Arch ring stress value during construction節段號有預應力/MPa無預應力/MPa降幅/%增幅/%頂板底板頂板底板頂板底板10#0.311.221.470.9878.924.411#0.251.361.651.1484.819.312#0.381.031.70.8574.121.113#0.421.151.780.9276.425.014#0.510.911.630.7568.721.315#0.640.841.690.6862.123.516#0.571.071.570.8463.727.317#0.411.051.860.9177.915.4

計算結果表明：考慮索力與臨時預應力耦合作用時，拱圈截面頂板應力峰值均有顯著降低，降幅區間位于60%～85%，底板應力峰值增幅均在30%以下。故配置臨時預應力，可大幅度調整拱圈截面應力幅值，保證拱圈在澆筑過程中強度安全。

4.2 扣錨索索力結果

對比分析索力與預應力耦合作用及索力單獨作用兩種情況下索力值，結果如表3、表4所示

表3 索力與預應力耦合作用下索力表Table 3 Cable force table under the coupling of cable force and prestresskN索號XK初拉力索號XM初拉力索號DK初拉力索號DM初拉力11 000198011 000195021 30021 02021 250298031 45031 18031 40031 08041 64041 28041 59041 22051 75051 54051 70051 52061 50061 78061 40061 60071 50071 30071 40071 18081 86081 65081 79081 53091 90091 71091 82091 600101 860101 780101 800101 620111 880111 840111 820111 700122 000121 980121 950121 860132 070132 190132 020132 010141 880142 170141 830142 090151 980152 110151 950151 960161 800162 040161 770161 950171 820172 240171 790172 100181 920181 980181 890181 940

表4 索力單獨作用下索力表Table 4 Cable force table under the action of cable forcekN索號XK初拉力索號XM初拉力索號DK初拉力索號DM初拉力11 180198011 180198021 48021 08021 48021 06031 60031 37031 60031 30041 67041 58041 67041 47051 86051 81051 79051 72061 77062 07061 72061 95071 58071 32071 53071 19081 62081 68081 57081 63091 75091 61091 74091 590101 930101 760101 870101 720111 980111 950111 900111 830122 020121 950121 920121 820132 130132 140132 120132 020142 480142 390142 330142 240152 650152 370152 490152 220162 550162 400162 450162 220172 480172 540172 380172 210182 200182 330182 170182 120

計算結果表明：考慮索力與預應力耦合作用后，部分節段扣索初拉力降低，扣錨索安全系數增大，且各節段索力分布更為均勻，可有效防止個別扣錨索因局部反復受較大荷載發生疲勞斷裂現象。

4.3 扣塔應力結果

對比分析索力與預應力耦合作用及索力單獨作用兩種情況下扣塔最大應力及變形結果，如圖8、圖9所示。

計算結果表明：在扣錨索索力單獨作用下，扣塔最大拉應力為209.6 MPa，峰值應力位置為扣塔立柱間的橫向連接桿，考慮臨時預應力與扣錨索耦合作用時，扣塔最大拉應力為155.8 MPa，峰值應力出現位置與扣錨索索力單獨作用時相同。預應力通過調節扣錨索索力值大小，顯著降低扣塔應力峰值，同時，由于扣錨索索力峰值降低，扣塔高應力區域減小，在一定程度上可降低其局部破壞風險。

圖8 扣索力作用下扣塔最大應力云圖及峰值應力位置

圖9 耦合作用下扣塔最大應力云圖及峰值應力位置

5 結論

本文基于線性規劃理論，通過建立多約束狀態下預應力與截面應力之間的數學模型，求解得到滿足約束條件的最小預應力數量，并將其導入有限元軟件中進行對比分析，可得到以下結論：

a.臨時預應力對主拱圈截面應力影響顯著，配置預應力可大幅度降低拱圈上緣截面應力峰值，降幅區間為60%～85%，底板應力增幅則在30%以內。

b.在臨時預應力與扣錨索耦合作用下，扣錨索初拉力值有一定幅度降低，節段索力之間實現了“重分配”，扣錨索安全系數增大，索力值更為均勻。

c.在臨時預應力與扣錨索耦合作用下，扣塔應力峰值有顯著降低，高應力區域減小，保證了扣塔在施工過程中的安全性。