基于SimMechanics 二代的6-DOF 并聯平臺參數化動力學建模方法

魏林霄， 賈乾忠， 魏春雨

（沈陽建筑大學 機械工程學院， 遼寧 沈陽 110168）

0 引言

6-DOF 并聯平臺是一種典型的并聯機構，應用十分廣泛，如運動模擬器[1-3]、空間對接機構[4，5]、隔振平臺[6，7]等。針對6-DOF 并聯平臺的各種基礎理論研究已經相當深入，尤其是在動力學建模與仿真方面，更為突出。 北京航空航天大學侯立果等設計了一種基于6-PUS 并聯機構的多維力加載裝置，建立了加載裝置的動力學模型，并且通過對比ADAMS 和MATLAB 模型的仿真結果， 驗證了動力學模型的正確性[8]。 燕山大學李永泉等圍繞6-DOF Stewart 并聯平臺的多能域動力學建模展開研究，給定平臺末端軌跡，對比Matlab 理論計算、ADAMS 軟件仿真以及實驗實測驅動力結果，驗證了Stewart 平臺機構本體旋量鍵合圖模型的正確性[9]。 華北電力大學邢迪雄等對一種新穎的6－PSS 并聯機構應用ADAMS 軟件進行了剛柔耦合動力學建模以及仿真分析[10]。這些研究所采用的建模方法幾乎都用到了三維軟件建模、ADAMS 與MATLAB 的仿真分析。 除了6-DOF 之外的其他并聯平臺的建模與仿真方法，也與此基本一致，比如謝志江等進行的3-PPR 并聯機構動力學建模與分析[11]；張浩強進行的4-RRR 冗余并聯機構的動力學分析[12]；梁超等進行的3-RPS 并聯機器人動力學分析及控制[13]以及張國英等進行的3-DOF 類球面并聯機構的動力學建模及分析[14]。

上述研究所采用的建模及仿真方法都實現了預期目的，但是缺點也是顯而易見的。 比如，6-DOF 并聯機構中動靜平臺尺寸以及鉸點位置發生了變化， 重新進行建模時會經過再次返回三維軟件修改而后再導入到ADAMS中去等復雜過程， 如果需要再與MATLAB 進行機構與控制的聯合仿真時則更為繁瑣。 為解決這一問題，本文提出了一種基于SimMechanics 二代的并聯機構參數化建模方法，可以快速生成用戶指定參數的模型，同時與Simulink處于同一環境下，為與控制的聯合仿真帶來了極大便利。

1 6-DOF 并聯平臺零部件參數化方程

1.1 零部件建模思想

在SimMechanics 第二代開發環境下， 各零件需要根據結構形式指定生成方式，如拉伸、旋轉等，尺寸可以直接指定也可以給定變量。

基于SimMechanics 第二代進行建模的最大優點在于，所有零部件的結構尺寸參數等均可通過變量定義，結構形式可由帶有這些變量的參數方程定義， 從而實現整個機構模型的參數化建模。

1.2 零部件建模的參數化方程

本文以6-SPS 構型作為參數化建模的研究對象。 靜平臺主體結構為圓環板，鉸鏈為球鉸，結構尺寸參數均設置為變量。 目標模型如圖1 所示。

該靜平臺部件包括主體結構的圓環板、 球鉸底座和球鉸柱。應分別予以參數化建模，然后通過設定接合點坐標系完成固接。 主體圓環板可以通過旋轉矩形截面來成形， 即采用旋轉法給定截面四點坐標。 但該方法成形單一，對于諸如連桿等復雜形狀的零件不具有可移植性。因此，本文采用拉伸法，構造可移植的參數化方程。 將圓環視為左右兩個半圓環拼接而成，如圖2 所示，然后用參數方程分別描述每個半圓環的逆時針軌跡。 方程如下：

圖1 靜平臺的目標模型簡圖

圖2 兩半圓環的逆時針軌跡

式中：α、β、θ 和γ 分別為按照步長從初值遞增或遞減到終值的角度矩陣，T—矩陣轉置符號（下同）；G1～G4—圖2 中所示的兩半圓的逆時針軌跡坐標；Gb—合成的圓環板的拉伸截面參數方程。

球鉸底座拉伸截面為矩形， 參數為長Lz和寬Wz，如圖1 所示。 球鉸柱只能采用旋轉生產法，如圖3 所示，則其旋轉截面的參數方程為：

圖3 球鉸柱旋轉截面的逆時針軌跡

式中：ψ—角度矩陣；Z1～Z4—圖3 中所示的拐點坐標矩陣和弧逆時針軌跡坐標矩陣；Rs—圖1 和圖3 中所示的內球面半徑；Zc—合成的旋轉截面參數方程。

本文為減少過多的參數變量， 將球鉸柱和球鉸底座的結構參數建立線性關系：

式中：Dc—圖1 中所示的球鉸柱底面直徑；Tc—球鉸柱高；Tz—球鉸底座高。

粉碎：液體飼料加工工藝有粉碎和磨漿之分。建議玉米粉碎粒度小于0.8 mm，碳酸鈣99.9通過200目篩(Φ0.074 mm)，97.5通過325目(Φ0.043 mm)，95.5通過400目(Φ0.038 mm)。

圓環板、球鉸底座和球鉸柱三者之間的定位，需求出設計接合處點的坐標，用以建立接合點局部坐標系。該坐標系原點坐標即為接合點位置， 坐標軸方向決定二者之間姿態關系。 根據圖3 給出的幾何關系，可分別確定。

雙擊靜平臺模型模塊后彈出變量參數設置對話框，用戶設定具體參數。本文設定參數如表1 所示。其中ρ 為靜平臺材料密度。 運行后得到的模型如圖4 所示。

表1 靜平臺結構參數

圖4 靜平臺參數化模型

動平臺也包含主體結構的圓環板、球鉸底座和球鉸柱，同樣采用與前述類似的方法，可得到預期的動平臺模型。

1.2.2 油缸筒、活塞桿的參數化方程

油缸筒和活塞桿的目標模型如簡圖5 所示， 以油缸筒為例說明所采用的參數化建模方法。將其分解為球頭、連接桿和缸筒三部分，如圖5 中的1～3。 球頭1 可以直接建立球體模型，變量參數為半徑Rcs；連接桿2 為一帶有弧面的回轉體模型，需要建立弧面部分的參數方程，進而連同右端兩拐點的坐標形成整個回轉截面的參數方程，具體過程同圖3 零件建模過程類似，不再贅述。缸筒3 也用回轉法建模，其截面的參數方程為由A～H 點坐標構成的逆時針軌跡坐標組。

圖5 油缸筒和活塞桿的目標模型簡圖

活塞桿幾何特征與油缸筒類似，建模方法相同。

2 6-DOF 并聯平臺裝配方法

在各零部件參數化建模后，需要進行整體裝配。本文提出的建模方法在總體裝配時有三個關鍵點：

第一， 靜平臺球鉸柱內球面與油缸筒球頭面為球鉸副， 建模時與球鉸副相連的球鉸柱內球面一側接合坐標系必須位于內球面球心； 與球鉸副相連的油缸筒球頭一側輸出坐標系必須位于球頭球心。 動平臺球鉸柱內球面與活塞桿球頭面之間的裝配要求與此相同。

第二，油缸筒模型與活塞桿模型之間為圓柱副。該副要求與之相連的兩零部件接合坐標系的z 軸都必須為兩者相對移動方向。

第三，6-DOF 并聯平臺屬于開鏈結構，其末端的動平臺在裝配之后的初始位姿完全依賴于具有配合關系的兩零部件之間的初始相對位置， 對于大多數運動副而言可直接設置初始值， 但是由于球鉸可使兩零部件空間任意方向相對轉動，故無法給定在變參數情況下的初始值。因此如何建立動平臺初始位姿是一個難點。這與采用“三維軟件建模定型然后導入到分析軟件中” 的傳統研究方法完全不同。對此，本文提出了一種專門針對此種情況的初始位姿形成方法，即通過SimMechanics 二代環境下的“6-DOF joint”運動副將開鏈結構轉為閉鏈結構，從而直接在該副中設置動平臺相對靜平臺的初始相對位置。由于該副使兩零部件之間存在6 個自由度，因而不增加新的約束。

靜、 動平臺和油缸缸筒、 活塞桿的參數如表1～3 所示， 其中表2 變量名與表1 大小寫不同時表示具有相同涵義，僅用以區分歸屬于靜、動平臺。 在用戶指定對話框中輸入后，運行結果如圖6 所示。

表2 動平臺結構參數

表3 油缸缸筒和活塞桿結構參數

3 數字液壓缸模型

針對圖6 給出的6-DOF 并聯平臺整機模型，需要給執行部件添加動力。本文建立了“數字液壓缸”模型，以油缸行程為控制目標，通過測量活塞桿相對油缸筒的實時位移和速度，作為反饋控制量， 構造PID 控制器，形成控制力，在油缸筒與活塞桿之間的圓柱副上輸入該力。所建立的模型框圖如圖7 所示。

圖6 6-DOF 并聯平臺整機模型

圖7 數字液壓缸PID 控制模型

框圖中左側中間的 “正弦波和常量通過加運算和乘積運算”構造成油缸的目標位移量，其與實際位移反饋量的偏差作為控制器“PI”的輸入。速度反饋量經轉換后作為控制器“D”的輸入。 三者求和后同樣需要將數據類型通過“Simulink-PS”轉換器再次轉換回動力學數據類型，形成油缸控制力，通過圓柱副輸入端的“力輸入”端口輸入。

4 運動仿真

針對兩種典型情況進行運動仿真測試。

4.1 六支油缸具有相同的運動規律

給定油缸活塞桿行程位移隨時間的變化規律為：

運行后， 動平臺在三個方向上的移動位移曲線如圖8所示。 從圖中可以看出，動平臺僅在垂直方向即Z 軸方向上做一定規律的運動，另外兩個方向位移均為零，與實際相符。Z 軸方向的位移在初始時刻的震蕩是由于給定的目標位移與初始的零位移差值較大， 產生一個階躍輸入，在PID 控制器的作用下會出現一定的震蕩現象，而后逐漸穩定。 此外，繞三個坐標軸的旋轉角度都為零，曲線圖不再給出。

4.2 六支油缸運動規律交叉相同

六支油缸運動規律交叉相同， 即第1、3、5 支相同，第2、4、6 支相同，兩組間不同。 給定兩組的運動規律為：

運行后，動平臺邊繞Z 軸旋轉邊沿Z 軸做直線運動，這是六支油缸交叉運動規律相同產生的必然結果， 與實際相符。 動平臺沿著三個坐標軸的位移曲線和繞著三個坐標軸的角位移曲線分別如圖9、10 所示。

圖8 第一種情況下動平臺沿三個坐標軸的位移曲線

圖9 第二種情況下動平臺沿三個坐標軸的位移曲線

圖10 第二種情況下動平臺繞三個坐標軸的角位移曲線

5 結論

本文基于SimMechanics 第二代提出了一種針對6-DOF 并聯平臺的參數化建模方法，以6-SPS 構型為例，給出了各關鍵零部件建模的參數化方程以及裝配整機的方法和關鍵點，建立了動力部件的數字液壓缸模型，并進行了運動仿真測試，結果表明，本文給出的參數化建模方法正確， 對于其他并聯平臺甚至其他機構的機械與控制的參數化、一體化建模具有重要參考意義。