基于SimMechanics 二代的6-DOF 并聯(lián)平臺參數(shù)化動力學(xué)建模方法

魏林霄， 賈乾忠， 魏春雨

（沈陽建筑大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110168）

0 引言

6-DOF 并聯(lián)平臺是一種典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，應(yīng)用十分廣泛，如運(yùn)動模擬器[1-3]、空間對接機(jī)構(gòu)[4，5]、隔振平臺[6，7]等。針對6-DOF 并聯(lián)平臺的各種基礎(chǔ)理論研究已經(jīng)相當(dāng)深入，尤其是在動力學(xué)建模與仿真方面，更為突出。 北京航空航天大學(xué)侯立果等設(shè)計(jì)了一種基于6-PUS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維力加載裝置，建立了加載裝置的動力學(xué)模型，并且通過對比ADAMS 和MATLAB 模型的仿真結(jié)果， 驗(yàn)證了動力學(xué)模型的正確性[8]。 燕山大學(xué)李永泉等圍繞6-DOF Stewart 并聯(lián)平臺的多能域動力學(xué)建模展開研究，給定平臺末端軌跡，對比Matlab 理論計(jì)算、ADAMS 軟件仿真以及實(shí)驗(yàn)實(shí)測驅(qū)動力結(jié)果，驗(yàn)證了Stewart 平臺機(jī)構(gòu)本體旋量鍵合圖模型的正確性[9]。 華北電力大學(xué)邢迪雄等對一種新穎的6－PSS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用ADAMS 軟件進(jìn)行了剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模以及仿真分析[10]。這些研究所采用的建模方法幾乎都用到了三維軟件建模、ADAMS 與MATLAB 的仿真分析。 除了6-DOF 之外的其他并聯(lián)平臺的建模與仿真方法，也與此基本一致，比如謝志江等進(jìn)行的3-PPR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模與分析[11]；張浩強(qiáng)進(jìn)行的4-RRR 冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)分析[12]；梁超等進(jìn)行的3-RPS 并聯(lián)機(jī)器人動力學(xué)分析及控制[13]以及張國英等進(jìn)行的3-DOF 類球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模及分析[14]。

上述研究所采用的建模及仿真方法都實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目的，但是缺點(diǎn)也是顯而易見的。 比如，6-DOF 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中動靜平臺尺寸以及鉸點(diǎn)位置發(fā)生了變化， 重新進(jìn)行建模時會經(jīng)過再次返回三維軟件修改而后再導(dǎo)入到ADAMS中去等復(fù)雜過程， 如果需要再與MATLAB 進(jìn)行機(jī)構(gòu)與控制的聯(lián)合仿真時則更為繁瑣。 為解決這一問題，本文提出了一種基于SimMechanics 二代的并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)化建模方法，可以快速生成用戶指定參數(shù)的模型，同時與Simulink處于同一環(huán)境下，為與控制的聯(lián)合仿真帶來了極大便利。

1 6-DOF 并聯(lián)平臺零部件參數(shù)化方程

1.1 零部件建模思想

在SimMechanics 第二代開發(fā)環(huán)境下， 各零件需要根據(jù)結(jié)構(gòu)形式指定生成方式，如拉伸、旋轉(zhuǎn)等，尺寸可以直接指定也可以給定變量。

基于SimMechanics 第二代進(jìn)行建模的最大優(yōu)點(diǎn)在于，所有零部件的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)等均可通過變量定義，結(jié)構(gòu)形式可由帶有這些變量的參數(shù)方程定義， 從而實(shí)現(xiàn)整個機(jī)構(gòu)模型的參數(shù)化建模。

1.2 零部件建模的參數(shù)化方程

本文以6-SPS 構(gòu)型作為參數(shù)化建模的研究對象。 靜平臺主體結(jié)構(gòu)為圓環(huán)板，鉸鏈為球鉸，結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)均設(shè)置為變量。 目標(biāo)模型如圖1 所示。

該靜平臺部件包括主體結(jié)構(gòu)的圓環(huán)板、 球鉸底座和球鉸柱。應(yīng)分別予以參數(shù)化建模，然后通過設(shè)定接合點(diǎn)坐標(biāo)系完成固接。 主體圓環(huán)板可以通過旋轉(zhuǎn)矩形截面來成形， 即采用旋轉(zhuǎn)法給定截面四點(diǎn)坐標(biāo)。 但該方法成形單一，對于諸如連桿等復(fù)雜形狀的零件不具有可移植性。因此，本文采用拉伸法，構(gòu)造可移植的參數(shù)化方程。 將圓環(huán)視為左右兩個半圓環(huán)拼接而成，如圖2 所示，然后用參數(shù)方程分別描述每個半圓環(huán)的逆時針軌跡。 方程如下：

圖1 靜平臺的目標(biāo)模型簡圖

圖2 兩半圓環(huán)的逆時針軌跡

式中：α、β、θ 和γ 分別為按照步長從初值遞增或遞減到終值的角度矩陣，T—矩陣轉(zhuǎn)置符號（下同）；G1～G4—圖2 中所示的兩半圓的逆時針軌跡坐標(biāo)；Gb—合成的圓環(huán)板的拉伸截面參數(shù)方程。

球鉸底座拉伸截面為矩形， 參數(shù)為長Lz和寬Wz，如圖1 所示。 球鉸柱只能采用旋轉(zhuǎn)生產(chǎn)法，如圖3 所示，則其旋轉(zhuǎn)截面的參數(shù)方程為：

圖3 球鉸柱旋轉(zhuǎn)截面的逆時針軌跡

式中：ψ—角度矩陣；Z1～Z4—圖3 中所示的拐點(diǎn)坐標(biāo)矩陣和弧逆時針軌跡坐標(biāo)矩陣；Rs—圖1 和圖3 中所示的內(nèi)球面半徑；Zc—合成的旋轉(zhuǎn)截面參數(shù)方程。

本文為減少過多的參數(shù)變量， 將球鉸柱和球鉸底座的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立線性關(guān)系：

式中：Dc—圖1 中所示的球鉸柱底面直徑；Tc—球鉸柱高；Tz—球鉸底座高。

粉碎：液體飼料加工工藝有粉碎和磨漿之分。建議玉米粉碎粒度小于0.8 mm，碳酸鈣99.9通過200目篩(Φ0.074 mm)，97.5通過325目(Φ0.043 mm)，95.5通過400目(Φ0.038 mm)。

圓環(huán)板、球鉸底座和球鉸柱三者之間的定位，需求出設(shè)計(jì)接合處點(diǎn)的坐標(biāo)，用以建立接合點(diǎn)局部坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)即為接合點(diǎn)位置， 坐標(biāo)軸方向決定二者之間姿態(tài)關(guān)系。 根據(jù)圖3 給出的幾何關(guān)系，可分別確定。

雙擊靜平臺模型模塊后彈出變量參數(shù)設(shè)置對話框，用戶設(shè)定具體參數(shù)。本文設(shè)定參數(shù)如表1 所示。其中ρ 為靜平臺材料密度。 運(yùn)行后得到的模型如圖4 所示。

表1 靜平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖4 靜平臺參數(shù)化模型

動平臺也包含主體結(jié)構(gòu)的圓環(huán)板、球鉸底座和球鉸柱，同樣采用與前述類似的方法，可得到預(yù)期的動平臺模型。

1.2.2 油缸筒、活塞桿的參數(shù)化方程

油缸筒和活塞桿的目標(biāo)模型如簡圖5 所示， 以油缸筒為例說明所采用的參數(shù)化建模方法。將其分解為球頭、連接桿和缸筒三部分，如圖5 中的1～3。 球頭1 可以直接建立球體模型，變量參數(shù)為半徑Rcs；連接桿2 為一帶有弧面的回轉(zhuǎn)體模型，需要建立弧面部分的參數(shù)方程，進(jìn)而連同右端兩拐點(diǎn)的坐標(biāo)形成整個回轉(zhuǎn)截面的參數(shù)方程，具體過程同圖3 零件建模過程類似，不再贅述。缸筒3 也用回轉(zhuǎn)法建模，其截面的參數(shù)方程為由A～H 點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的逆時針軌跡坐標(biāo)組。

圖5 油缸筒和活塞桿的目標(biāo)模型簡圖

活塞桿幾何特征與油缸筒類似，建模方法相同。

2 6-DOF 并聯(lián)平臺裝配方法

在各零部件參數(shù)化建模后，需要進(jìn)行整體裝配。本文提出的建模方法在總體裝配時有三個關(guān)鍵點(diǎn)：

第一， 靜平臺球鉸柱內(nèi)球面與油缸筒球頭面為球鉸副， 建模時與球鉸副相連的球鉸柱內(nèi)球面一側(cè)接合坐標(biāo)系必須位于內(nèi)球面球心； 與球鉸副相連的油缸筒球頭一側(cè)輸出坐標(biāo)系必須位于球頭球心。 動平臺球鉸柱內(nèi)球面與活塞桿球頭面之間的裝配要求與此相同。

第二，油缸筒模型與活塞桿模型之間為圓柱副。該副要求與之相連的兩零部件接合坐標(biāo)系的z 軸都必須為兩者相對移動方向。

第三，6-DOF 并聯(lián)平臺屬于開鏈結(jié)構(gòu)，其末端的動平臺在裝配之后的初始位姿完全依賴于具有配合關(guān)系的兩零部件之間的初始相對位置， 對于大多數(shù)運(yùn)動副而言可直接設(shè)置初始值， 但是由于球鉸可使兩零部件空間任意方向相對轉(zhuǎn)動，故無法給定在變參數(shù)情況下的初始值。因此如何建立動平臺初始位姿是一個難點(diǎn)。這與采用“三維軟件建模定型然后導(dǎo)入到分析軟件中” 的傳統(tǒng)研究方法完全不同。對此，本文提出了一種專門針對此種情況的初始位姿形成方法，即通過SimMechanics 二代環(huán)境下的“6-DOF joint”運(yùn)動副將開鏈結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)為閉鏈結(jié)構(gòu)，從而直接在該副中設(shè)置動平臺相對靜平臺的初始相對位置。由于該副使兩零部件之間存在6 個自由度，因而不增加新的約束。

靜、 動平臺和油缸缸筒、 活塞桿的參數(shù)如表1～3 所示， 其中表2 變量名與表1 大小寫不同時表示具有相同涵義，僅用以區(qū)分歸屬于靜、動平臺。 在用戶指定對話框中輸入后，運(yùn)行結(jié)果如圖6 所示。

表2 動平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)

表3 油缸缸筒和活塞桿結(jié)構(gòu)參數(shù)

3 數(shù)字液壓缸模型

針對圖6 給出的6-DOF 并聯(lián)平臺整機(jī)模型，需要給執(zhí)行部件添加動力。本文建立了“數(shù)字液壓缸”模型，以油缸行程為控制目標(biāo)，通過測量活塞桿相對油缸筒的實(shí)時位移和速度，作為反饋控制量， 構(gòu)造PID 控制器，形成控制力，在油缸筒與活塞桿之間的圓柱副上輸入該力。所建立的模型框圖如圖7 所示。

圖6 6-DOF 并聯(lián)平臺整機(jī)模型

圖7 數(shù)字液壓缸PID 控制模型

框圖中左側(cè)中間的 “正弦波和常量通過加運(yùn)算和乘積運(yùn)算”構(gòu)造成油缸的目標(biāo)位移量，其與實(shí)際位移反饋量的偏差作為控制器“PI”的輸入。速度反饋量經(jīng)轉(zhuǎn)換后作為控制器“D”的輸入。 三者求和后同樣需要將數(shù)據(jù)類型通過“Simulink-PS”轉(zhuǎn)換器再次轉(zhuǎn)換回動力學(xué)數(shù)據(jù)類型，形成油缸控制力，通過圓柱副輸入端的“力輸入”端口輸入。

4 運(yùn)動仿真

針對兩種典型情況進(jìn)行運(yùn)動仿真測試。

4.1 六支油缸具有相同的運(yùn)動規(guī)律

給定油缸活塞桿行程位移隨時間的變化規(guī)律為：

運(yùn)行后， 動平臺在三個方向上的移動位移曲線如圖8所示。 從圖中可以看出，動平臺僅在垂直方向即Z 軸方向上做一定規(guī)律的運(yùn)動，另外兩個方向位移均為零，與實(shí)際相符。Z 軸方向的位移在初始時刻的震蕩是由于給定的目標(biāo)位移與初始的零位移差值較大， 產(chǎn)生一個階躍輸入，在PID 控制器的作用下會出現(xiàn)一定的震蕩現(xiàn)象，而后逐漸穩(wěn)定。 此外，繞三個坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度都為零，曲線圖不再給出。

4.2 六支油缸運(yùn)動規(guī)律交叉相同

六支油缸運(yùn)動規(guī)律交叉相同， 即第1、3、5 支相同，第2、4、6 支相同，兩組間不同。 給定兩組的運(yùn)動規(guī)律為：

運(yùn)行后，動平臺邊繞Z 軸旋轉(zhuǎn)邊沿Z 軸做直線運(yùn)動，這是六支油缸交叉運(yùn)動規(guī)律相同產(chǎn)生的必然結(jié)果， 與實(shí)際相符。 動平臺沿著三個坐標(biāo)軸的位移曲線和繞著三個坐標(biāo)軸的角位移曲線分別如圖9、10 所示。

圖8 第一種情況下動平臺沿三個坐標(biāo)軸的位移曲線

圖9 第二種情況下動平臺沿三個坐標(biāo)軸的位移曲線

圖10 第二種情況下動平臺繞三個坐標(biāo)軸的角位移曲線

5 結(jié)論

本文基于SimMechanics 第二代提出了一種針對6-DOF 并聯(lián)平臺的參數(shù)化建模方法，以6-SPS 構(gòu)型為例，給出了各關(guān)鍵零部件建模的參數(shù)化方程以及裝配整機(jī)的方法和關(guān)鍵點(diǎn)，建立了動力部件的數(shù)字液壓缸模型，并進(jìn)行了運(yùn)動仿真測試，結(jié)果表明，本文給出的參數(shù)化建模方法正確， 對于其他并聯(lián)平臺甚至其他機(jī)構(gòu)的機(jī)械與控制的參數(shù)化、一體化建模具有重要參考意義。