折線拱結構的整體穩定分析

許 能

（湖南澧水流域水利水電開發有限責任公司，湖南長沙 410000）

1 概述設計折線拱結構

通常都把上部結構的承力點布置在折線拱的兩個結點上，故折線拱具有如下受力特點：

（1）上部結構由一跨増為三跨，跨度相應減少為原來的1/3。由于上部結構的跨度減少，改善了受力條件，使結構簡化，節省了工程造價。

（2）除自身的重量以外，折線拱僅承受結點荷載的作用[2]。如忽略結構的自重和材料彈性壓縮的影響，折線拱各桿件均處于壓縮狀態，即使將前述因素考慮在內，引起的彎曲應力仍然較小。使設計者有條件將結構做得較為輕巧，以獲得良好的技術經濟指標。

綜上所述，在折線拱的設計中僅考慮強度和橫向穩定性而不計算縱向穩定性，會導致建筑物在竣工后因事先未評價，存在潛在的工程隱患。文章對此課題進行了探討，采用壓桿非線性大位移的理論，推導出折線拱結構縱向整體穩定分析的仿歐拉公式，并附必要的圖表，供設計參考。

2 折線拱結構的臨界荷載計算公式

折線拱結構由三根桿件按π形連接構成，故稱為π形框架或八字撐架結構，其中兩側的斜桿常稱為支腿。當支腿與基礎固結時，為無鉸折線拱；當支腿與基礎鉸接時，為雙鉸折線拱，均為超靜定結構，工程上多采用前者。

折線拱的中段（水平桿）通常為等截面桿，支腿一般采用等截面桿。本文只考察對稱等截面折線拱結構，其成果可近似用于對稱變截面折線拱結構。推導公式時，忽略桿件自重的影響。

2.1 無鉸折線拱結構

無鉸折線拱結構如圖1所示。

圖1 無鉸折線拱結構

當結點荷載P達到最小臨界荷載Pk時，折線拱產生反對稱形態的瞬間大位移，使結構遭受整體破壞。現按位移法求解Pk，首先在結點1、2施加一反對稱的轉角Φ1和Φ2，支座0、3產生相應的反對稱剪應力Q01與Q32，且Q01=Q32，在轉角Φ1的作用下，桿單元01及12在結點1產生抗力矩M10和M12。

對于一根桿，當桿單元AB兩端固結，且桿端A、B分別作用轉角ΦA和ΦB，桿端B相對于桿端A的線位移為δ時，桿端力計算如下：

式中：i——相對剛度；P——桿端軸向力。

四個函數分別為：

將上述桿單元的公式引用到折線拱中，得：

左支座的剪力：

在M01的表達式中，Φ0=0，故右端缺第二項；在M12的表達式中，Φ2=Φ1，故第二項Φ2使用Φ1代替。此外，由幾何關系得知：

轉角β01和β02的關系圖如圖2所示。

圖2 轉角β01和β02的關系圖

3點為折線拱的右支座，其垂直位移為0，即：

將其代入，可得：

結點1的平衡條件為：ΣM=M10+M12=0。

將式（3）、式（8）兩式代入上述平衡方程，即得Φ1和β01的第一個表達式：

代入數據，式（9）結果為0。由折線拱在x方向的靜力平衡條件知Q01=0，代入（4）式，得：

代入數據，式（10）結果為0。在非0解的必要充分條件是系數矩陣的主行列式DetA為0，展開該行列式，即得無鉸折線拱的穩定特征表達式：

代入數據，式（11）結果為0，是求解無鉸折線拱臨界荷載的通用公式：

式中：n——支腿與水平桿剛度之比。

注意，式（1）與式（13）中i、u的書寫形式雖然相同，但代表的物理意義完全不同，前者是指整個折線拱結構，后者指特定的一根桿件[3]。由此可得：

式中：N01、N12——荷載P引起的桿件軸向力。

按幾何關系：

將上式代入特征式（11）并稍加整理：

根據式（16）可知，式（18）僅含n、、α和u四項，其中u為僅有的未知數。

按迭代法求解u的最小正數解umin，并代入（13）的第二式即得臨界荷載Pk的計算公式：

式中：ψ0——臨界荷載常數，下標“0”表示無鉸折線拱結構。ψ0僅與矢跨比、剛度比n、水平桿長度與跨度比α三者有關，與折線拱的具體尺寸無關，反映了折線拱的體型特征。

式（19）與歐拉公式的形式完全相同，可用于計算無鉸折線拱結構縱向失穩時的臨界荷載。為便于使用，根據電算的成果編制了ψ0的查算附表，使用時可直接查取ψ0值，或用二元線性內插法計算ψ0值。

2.2 雙鉸折線拱結構

雙鉸折線拱結構臨界荷載計算公式的推導過程與無鉸折線拱相同，僅須將支腿換成一端固結、一端鉸接的桿單元。其穩定特征方程為：

代入數據，式（20）結果為0。

將式（16）、式（17）代入（20）得：

按迭代法求解超越方程的最小正數解umin，得雙鉸折線拱結構臨界荷載Pk的計算公式：

式中：ψ2——臨界荷載常數，下標“2”表示雙鉸折線拱結構。ψ2僅與矢跨比、剛度比n、水平桿長度與跨度比α三者有關，與折線拱的具體尺寸無關，使用時可二元內插求得ψ2。

3 結語

（1）在相同的幾何參數下，ψ2的取值僅為ψ0的1/3左右，無鉸折線拱的整體穩定性要高于雙鉸折線拱，故工程上應優先選用前者。

（2）當折線拱承受的結點荷載小于或等于臨界荷載時，結構是滿足縱向整體穩定要求的。由于施工質量的不可預見性、材料的不均勻性、其他的不確定因素，結構需要有一定的穩定安全儲備。

結構在失穩的情況下，整個體系將發生大位移并導致結構產生不可逆轉的脆性破壞，問題較為嚴重，因此，結構的穩定安全儲備不宜過低。在目前無規范資料引用的前提下，考慮上述情況，建議整體安全系數k取4.5～5.0，按P≤Pk/k驗算折線拱結構的整體穩定性。本文推薦的計算方法與公式適用于折線拱的縱向穩定分析，即受力平面或稱結構彎曲平面的穩定計算，對折線拱橫向平面的穩定性，仍須按帶綴板的壓桿歐拉公式進行驗算，不可省略。

折線拱的組成桿件均為壓桿，桿件自身的穩定已在強度設計時予以折減，因此，在整體穩定計算中不另行考慮。

折線拱是超靜定結構，且跨度一般較大，因此，桿件的彈性壓縮、混凝土的徐變與干縮對內力的影響較大，在強度設計時須考慮上述問題[3]。

計算折線拱實際承受的結點荷載時，可將桿件自重及聯系梁等次要部件的重量按靜力等效的原則納入其中。