基于光柵投影三維測量的相位展開方法研究

張容卓 劉 柯 宋金城 郭天茂 孫增玉 高 越 吳 桐 潘兆義 羅小濤

（1.北京航天計量測試技術研究所，北京100076；2.西安航天發動機有限公司，西安710061）

1 引言

隨著現代工業的迅速發展，生產制造的水平不斷提高，工業產品在研制中對于零部件的加工質量要求也越來越高，高精度的設計要求對外形輪廓的精密測量提出了更高的挑戰。光柵投影三維測量技術作為一種新興的快速測量方法，為數字化三維設計領域帶來了新的技術途徑。

光柵條紋的相位展開是光柵投影三維測量的關鍵技術，一直受到國內外眾多研究人員的關注。相位展開按照展開角度的不同，大致分成兩種：空域角度的相位展開方法與時域角度的相位展開方法。空域相位展開法是通過相位空間具有連續性，分析相鄰空間元素的相位關系，求解光柵的絕對相位。這種方法只需要投射一幅圖即可，且對投影測量設備的要求不高，可以減小硬件的誤差影響，但是對待測物體有嚴格要求，若測量物體表面跳變大、輪廓復雜、信噪比不是足夠高時，容易出現“丟包”“拉線”等問題。

時域相位展開法是按照一定的時間序列生成一套（多幅）條紋圖，將其投射到物體表面，最后根據時域關系進行解相位。典型的時域相位展開法包括格雷碼展開法、多頻外差法。此類方法雖然增加了投射圖片的數量，但每點的相位都是單獨計算的，從原理上解決了誤差的傳播，不再因被測物表面不規則受影響，對于表面不連續的物體也可精準測量。但格雷碼展開法所需投射的圖片較多，且存在周期錯位的現象。多頻外差可以有效解決周期錯位的影響。

針對上述問題，本文利用多頻外差相移法進行相位展開，且對此算法進行優化。根據頻率的主次，采用不同步數的相移法，在不降低精度的情況下，減少投射的條紋圖，加快測量速度。

2 原理方法

相位求解一般分為兩部分：相位主值求解與相位解包裹。相位主值的求解是對光柵相位的大致求解，解的范圍在0 至2π 或-π 至π 之間，這個值在一個相位周期是唯一的，但一幅完整的光柵條紋圖包括很多個相位周期，像素之間的實際相位差可能還包含多個完整的周期。相位解包裹就是將整幅光柵圖中的多個相位周期轉換為一個連續的、完整的相位周期，使求解的每個相位值在整個光柵相位中具有唯一性。相位的完整表達式為：

式中：

φ

——每點相位主值；

k

——通過相位解包裹計算得出的條紋極次。相位展開圖如圖1所示。

圖1 相位展開示意圖Fig.1 Phase expansion schematic diagram

2.1 相位主值求解

相位主值的求解將采取相移法進行。相移法是通過投射多幅具有一定相位差的圖像，計算含有物體表面輪廓三維信息的相位初值。目前已經有多種相移法被提出，對于不同的相移法，誤差響應與穩定性也存在差異。為了在保證精度的前提下減少投射光柵圖的數量，本文的主頻次采用四步相移法確保精度不變，其他頻次采用三步相移法。

在相移法中，投射的圖片是光強為正弦分布的光柵條紋圖，光強分布的函數表達式為：

式中：

I

——圖像各點的光強；

a

——圖像的平均灰度；

b

——圖像的灰度調制；

f

——光柵圖像的頻率。當光柵投影到待測物體表面后，光柵投影的條紋發生形變，其圖像函數表達式為：

式中：

I

——相位為0 的光強；

I

——相位為π/2 的光強；

I

——相位為π 的光強；

I

——相位為3π/2 的光強。通過上式進行計算，相位主值的表達式為：

為了減少投射條紋圖的數量，剩余頻率的光柵條紋采用三步相移法進行相位主值的計算。取

N

＝3，每次相位移動的間隔為2π/3，光柵投影的相移依次為0，2π/3，4π/3，三幀光柵投影的光強為：

三步相移的相位主值表達式為：

通過上述公式可以得到三個頻率的相位主值，每幅相位主值圖都包含多個相位周期，需要通過相位解包裹，將多個周期相位展開為一個連續的周期的相位，使每點相位值具有唯一性。

2.2 相位解包裹

采用三頻外差方法進行相位解包裹。其原理是通過疊加兩列相近頻率的波合并為一種更低頻率的波，再經過計算得出條紋級數

k

。頻率的外差數學表達式為：

式中：

f

、

f

——分別為疊加前兩列波的頻率；

f

——疊加后的頻率。當采用三頻外差時，假設

f

＞

f

＞

f

，它們分別為三列波的不同頻率，疊加后的頻率

f

為

一般情況下，在光柵投影中將一列波的波長與周期等同。假設頻率為

f

、

f

、

f

的三列波對應的波長為

λ

、

λ

、

λ

。每列波的包裹相位為

φ

（

x

，

y

）、

φ

（

x

，

y

）、

φ

（

x

，

y

），與之對應的絕對相位為

Φ

（

x

，

y

）、

Φ

（

x

，

y

）、

Φ

（

x

，

y

）。絕對相位值與周期滿足的關系式為：

利用外差原理疊加后的波長和相位發生改變：

式中：

λ

——頻率為

f

、

f

的兩列波疊加的波長；

λ

——頻率為

f

、

f

的兩列波疊加的波長；

λ

——

λ

與

λ

疊加的波長。

式中：

φ

——

φ

、

φ

疊加后的相位；

φ

——

φ

、

φ

疊加后的相位；

φ

——

φ

、

φ

疊加后的相位。相位解包裹的主要目的是相位主值內包含的周期個數。由于頻次越高的波，信噪比越高，所以，將頻率為

f

的波設置為主頻次波，通過四步相移進行相位主值的計算，其他兩列利用三步相移進行主值計算。在進行相位解包裹時，也將圍繞主頻次波進行相位展開，聯立式（1）、（8）、（9）、（10）可推導出：

通過上式可以得到每點的條紋級數

k

（

x

，

y

），再結合相位主值的結果就可以得到該點的絕對相位。整個相位展開的實體圖，如圖2所示。

圖2 實際相位展開圖Fig.2 Actual phase expansion diagram

3 試驗結果

為了驗證算法的有效性與實用性，本文利用實驗室現有設備，進行測量試驗。試驗中采用的硬件包括：投影儀（型號為DLP-4500）進行光柵圖的投射，定焦工業相機（型號為MER-500，焦距為30cm，分辨率為2448 ×2048）采集經物體表面調制的光柵圖，工控機將采集的光柵圖進行相位解算，測量試驗實物如圖3所示。

圖3 測量試驗實物圖Fig.3 Measuring experimental objects

試驗以常規的三頻四步相移法為基準，驗證三頻異步相移法的有效與優越性。通過上位機制作三頻四步與三頻異步的光柵圖：三頻四步的光柵圖共計12 幅，如圖4所示；三頻異步的光柵圖共計10幅，如圖5所示。本文試驗選取一個圓形盒子為被測物，將制作好的光柵分別投射到物體表面，如圖6所示。再通過CCD 采集經物體表面調制后的光柵圖。

圖4 三頻四步光柵圖Fig.4 Three-frequency four-step grating

圖5 三頻異步光柵圖Fig.5 Three-frequency asynchronous grating

圖6 經被測物調制的光柵圖Fig.6 Modulated grating

通過CCD 采集經物體表面調制后的光柵圖，采用本文算法與三頻四步相移法進行相位展開。由于相機拍攝的視角比較廣，周圍會出現無效區域，所以選取中間區域進行試驗分析。為了避免其他誤差的引入，本試驗只進行相位的比較，選取（500，450）～（500，650）作為比較區域，將兩種方法相位展開后的絕對相位進行比較，如圖7所示。

圖7 相位差值Fig.7 Phase difference value

4 討論分析

對于光柵相位展開技術，很多專家學者通過試驗論證了基于時間序列展開法的優越性，且三頻四步相移法比格雷碼方法更有優勢。所以本文提出的算法只進行了與三頻四步相移法的比較。從圖7可以看出本文提出的三頻異步算法與三頻四步相移法的插值在4.188 附近浮動，這說明優化算法的相位展開精度與三頻四步相移法很相近，只是存在一個固定的差值。由于優化算法需要將四步相移法與三步相移法進行結合，兩種方法的位移量存在偏差，為了使四步相移的相位主值更好的與三步相移的相位主值融合，需要將四步相移的整體相位頻移2/3 個周期，這就導致最后進行相位展開以后，整體絕對相位會比三頻四步相移法展開的絕對相位大2π/3。為了更直觀地反映優化后算法的有效性，本文又將光柵直接投射到平面上，進行相位展開，同樣取第500 行對比絕對相位，如圖8所示。

由圖8 可以更明顯地看出，三頻異步相移法展開的相位與三頻四步相移法展開的效果相同，只有初始的相位有些偏移且優化后的初始相位為零點，但三頻異步相移法相比于三頻四步等所需的投射光柵圖更少，證實了優化后算法的有效性與優越性。

圖8 第500 行絕對相位分布圖Fig.8 Line 500 absolute phase

5 結束語

本文對三頻四步相移法進行分析，為了減少投射光柵圖的數量，在不降低精度的情況下加快測量速度，優化算法后得到三頻異步相移法。對圓形盒子進行表面測量試驗，將不同的光柵條紋投射到圓盒表面，采用三頻四步相移法以及優化后的三頻異步法進行相位展開，最終得出三頻異步相移法的可行性與優越性。本文在沒有降低精度的前提下減少了投影光柵圖的數量，雖然沒有提高光柵投影三維測量的精度，但加快了測量速度，未來提高測量、解算速度提出了新的研究方向。