基于Donnell-Mushtari理論的燃燒室機(jī)匣模態(tài)特性研究

李湉， 陽凡， 唐書發(fā)，郭亮

（1.中國航發(fā)成都發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司，成都610503；2.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，成都610500）

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室機(jī)匣作為發(fā)動(dòng)機(jī)重要的組成部分，其制造質(zhì)量嚴(yán)重影響發(fā)動(dòng)機(jī)的整體結(jié)構(gòu)性能。燃燒室機(jī)匣材料為鎳基高溫合金，鍛造后采用機(jī)加工制成，其中主要以銑削加工為主。常規(guī)燃燒室機(jī)匣尺寸高度為600 mm左右，直徑為φ1000 mm左右，其毛坯質(zhì)量較大。但是完全加工后的燃燒室機(jī)匣壁厚度為2～5 mm左右，相對于毛坯來說其材料去除率高達(dá)80%左右。因其材料的特殊性及超高的材料去除率，導(dǎo)致燃燒室機(jī)匣加工可切削性能差。更重要的是，因燃燒室機(jī)匣最薄處壁厚約為2 mm，在加工的過程中容易產(chǎn)生劇烈振動(dòng)，導(dǎo)致刀具加速磨損的同時(shí)降低燃燒室機(jī)匣表面質(zhì)量。加工系統(tǒng)振動(dòng)原因很多，但是共振對振動(dòng)的影響最為顯著。因此研究燃燒室機(jī)匣的模態(tài)特性，對認(rèn)識(shí)燃燒室機(jī)匣振動(dòng)機(jī)理及內(nèi)在規(guī)律具有指導(dǎo)意義，為后續(xù)優(yōu)化改進(jìn)燃燒室機(jī)匣銑削工藝及減振工裝的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有很強(qiáng)的工程價(jià)值。

目前，現(xiàn)有殼體理論主要有：Reissner-Naghdi-Berry[1]理論、Donnell-Mushtari[2]理論、Love[3]理論、Flügg[4]理論、Goldenveizer-Novozhilov[5]理論、Sanders[6]理論及Kennard[7]殼體理論等。尤其是1973年Leissa A E[8]針對大量圓柱薄殼研究做出了整理歸納，主要包括薄殼理論基本方程、薄壁圓柱殼體的特性等。龐福振等[9]利用Reissner-Naghdi’s線性薄殼理論推導(dǎo)出適用于一般邊界條件下的圓柱殼求解模型，并通過與有限元仿真計(jì)算結(jié)果對比驗(yàn)證了該方法的正確性。汪志強(qiáng)等[10]采用Flügge薄殼理論分析了正交各向異性圓柱殼的自由振動(dòng)。將自由振動(dòng)問題轉(zhuǎn)換為求解關(guān)于圓頻率的6次方程，經(jīng)過將求解過程參數(shù)化，得到了在特定范圍下正交各向異性圓柱殼自由振動(dòng)的解空間。王曉樂等[11]針對圓柱薄殼內(nèi)動(dòng)力機(jī)械的隔振設(shè)計(jì)問題，基于Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論和模態(tài)疊加原理，建立了隔振系統(tǒng)解析形式波動(dòng)模型，并通過有限元法驗(yàn)證了所建模型的有效性。李正良等[12]基于Flügge薄殼理論并利用Rayleigh-Ritz法求解結(jié)構(gòu)的頻率，然后將計(jì)算結(jié)果與有限元軟件ANSYS分析結(jié)果比較，驗(yàn)證該方法的適用性及有效性，分析球殼扁率及組合殼體長徑比對頻率的影響。周正學(xué)等[13]對纖維薄殼進(jìn)行理論建模，然后通過Rayleigh-Ritz法獲得了薄殼的固有頻率和振型，其理論解和對比實(shí)驗(yàn)誤差在2.2%～9.3%。李文達(dá)等[14]基于Love薄殼理論，將改進(jìn)傅里葉級數(shù)法和Rayleigh-Ritz法相結(jié)合，推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動(dòng)的頻率計(jì)算方程。楊永寶等[15]基于Donnell-Mushtari薄殼理論，針對彈性基礎(chǔ)上有徑向預(yù)壓力作用的薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)頻率給出了相應(yīng)的精確解，然后分析了模態(tài)數(shù)和阻尼系數(shù)對薄壁圓柱殼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。Bakhtiari等[16]采用廣義坐標(biāo)法推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而建立了對于多種各向同性材料的圓錐殼非線性振動(dòng)的振幅方程。Zhang Jing[17]利用Kirchhoff-Love假設(shè)、Donnell的非線性淺殼理論、超彈性本構(gòu)關(guān)系及Lagrange方程在小應(yīng)變假設(shè)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了描述薄殼體在大撓度振動(dòng)時(shí)的非線性微分方程組，研究了徑向、周向和軸向振動(dòng)的固有頻率。

總體上看，常用的3種薄殼理論分別是Donnell-Mushtari、Goldenveizer-Novozhilov、Flugge-Byrme-Lur'ye理論。有對比研究發(fā)現(xiàn)[18]：長徑比和厚徑比越小的薄壁圓柱殼體結(jié)構(gòu)，這3種薄殼理論的計(jì)算精度誤差越小。其中，Donnell-Mushtari薄殼理論在實(shí)際工程應(yīng)用中適合短而薄的圓柱殼結(jié)構(gòu)的固有頻率計(jì)算。當(dāng)圓柱殼結(jié)構(gòu)長而厚的時(shí)候，需要采用適用性更加廣的Goldenveizer-Novozhilov薄殼理論計(jì)算其各階固有頻率和振型樣式。本文研究的航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室機(jī)匣長徑比與厚徑比分別為：L/R=2，h/R=0.012，屬于短而薄類圓柱殼結(jié)構(gòu)，因此采用Donnell-Mushtari薄殼理論計(jì)算其固有頻率。

1 燃燒室機(jī)匣銑削加工受力模型

一般情況下，燃燒室機(jī)匣中的內(nèi)壁加強(qiáng)肋、外壁多島嶼特征及圓柱面加工時(shí)采用5軸數(shù)控車銑復(fù)合加工中心進(jìn)行車-銑加工，如圖1所示。在使用常規(guī)無內(nèi)支撐夾具對燃燒室機(jī)匣銑削加工時(shí)，夾具體放置在加工中心工作臺(tái)上并固定，燃燒室機(jī)匣零件下層安裝邊通過壓板約束在夾具體底座上。壓板限制了燃燒室機(jī)匣軸向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)依靠壓板與安裝邊的摩擦力限制燃燒室機(jī)匣在銑削時(shí)可能產(chǎn)生的周向及徑向運(yùn)動(dòng)。

圖1 常規(guī)夾具銑削加工示意圖

在上述加工環(huán)境下，燃燒室機(jī)匣零件在高速銑削過程中因銑刀與零件表面周期性接觸與分離導(dǎo)致動(dòng)態(tài)銑削力f（x，s）的產(chǎn)生，該銑削力可分解為x、y、z軸3個(gè)方向（即軸向、徑向、周向）力的合成。鑒于燃燒室機(jī)匣零件徑向無支撐，當(dāng)銑削力作用到燃燒室機(jī)匣表面時(shí)，受力點(diǎn)會(huì)瞬間發(fā)生彈性變形且方向向內(nèi)。隨后零件本身的恢復(fù)力會(huì)迫使零件變形區(qū)域回彈且方向向外，因此在徑向方向會(huì)產(chǎn)生較為明顯的振動(dòng)，如圖2所示。

2 燃燒室機(jī)匣振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 微分方程

基于Donnell-Mushtari理論，并以中面的位移分量來表示的薄壁燃燒室機(jī)匣振動(dòng)微分方程為：

圖2 銑削力徑向分力作用

式中：R為中面半徑；μ為泊松比；E為彈性模量；u、v、w分別是沿軸向、周向、徑向的振動(dòng)位移分量。

設(shè)定薄壁燃燒室機(jī)匣邊界條件為剪力薄膜支撐邊界條件。此類邊界條件適用范圍廣，振型函數(shù)簡單，大量針對殼體模態(tài)特性研究的文獻(xiàn)均有涉及。

2.2 固有頻率計(jì)算

設(shè)殼體振動(dòng)軸向模態(tài)半波數(shù)為m，周向模態(tài)波數(shù)為n。對滿足剪力薄膜邊界條件的薄壁燃燒室機(jī)匣的中面位移級數(shù)展開可設(shè)為：

式中：u為沿軸向的振動(dòng)位移分量；v為沿周向的振動(dòng)位移分量；w為沿徑向的振動(dòng)位移分量；Amn、Bmn、Cmn分別為第（m，n）階模態(tài)的軸向、周向、徑向幅值；ω為圓柱殼體角頻率。

利用數(shù)學(xué)與工程計(jì)算軟件Maple將式（2）中的u、v、w及其對x、t、θ所需的各階偏導(dǎo)數(shù)代入Donnell-Mushtari薄殼理論振動(dòng)微分方程（1）中，令所有外力為0，便可以得到關(guān)于Amn、Bmn、Cmn的方程組，并將結(jié)果簡化整理成如下形式的矩陣：

3 案例分析及驗(yàn)證

3.1 案例分析

以某航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室機(jī)匣為案例，計(jì)算及驗(yàn)證式（8）的準(zhǔn)確性。該燃燒室機(jī)匣的幾何尺寸及材料屬性如表1所示。

表1 燃燒室機(jī)匣尺寸及材料參數(shù)

由式（8）可知，該等式是關(guān)于Ω2（ω2）的一元三次方程。對于每一組波數(shù)（m，n）都有3個(gè)固有頻率與之對應(yīng)，這3個(gè)頻率分別為圓柱殼徑向彎曲振動(dòng)固有頻率、軸向振動(dòng)固有頻率和周向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率。取軸向半波數(shù)m=1，周向波數(shù)n（1～10），將這10組（m，n）代入式（8），可以得到固有頻率ω隨周向波數(shù)n的變化情況。

由薄壁圓柱殼體特性可知在相同的波數(shù)（m，n）的條件下，從圖3中可以看出周向振動(dòng)固有頻率和軸向振動(dòng)固有頻率隨著周向波數(shù)n的增加而單調(diào)遞增，徑向振動(dòng)固有頻率隨著周向波數(shù)n的增加先遞減后增加。

由圖4可見，徑向振動(dòng)的固有頻率存在極小值（基頻）。正是因?yàn)樵擃l率值較小，在實(shí)際工程中十分容易觸發(fā)并出現(xiàn)共振現(xiàn)象。因此大量文獻(xiàn)將徑向振動(dòng)固有頻率作為研究對象。

3.2 物理實(shí)驗(yàn)對比

為了確定基于Donnell-Mushtari 薄殼理論的固有頻率計(jì)算精度，搭建了圖5所示的燃燒室機(jī)匣固有頻率測試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

基于圖5所示的燃燒室機(jī)匣測試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用錘擊法來分析測試燃燒室機(jī)匣的固有頻率值，實(shí)驗(yàn)流程如圖6所示。

圖3 固有頻率隨周向波數(shù)n變化

圖4 徑向振動(dòng)固有頻率隨波數(shù)n變化

圖5 固有頻率測試平臺(tái)

圖6 錘擊法測試系統(tǒng)固有頻率

該實(shí)驗(yàn)包含測試系統(tǒng)，信號(hào)采集與分析系統(tǒng)3部分,數(shù)據(jù)處理與分析系統(tǒng)。其中測試系統(tǒng)包含燃燒室機(jī)匣、夾具、加速度傳感器、力錘等，信號(hào)采集與分析軟件為Cutpro MaLT模塊，數(shù)據(jù)處理與分析軟件為Utekl頻譜分析軟件。利用錘擊法測得該零件的固有頻率，并將測試結(jié)果與基于Donnell-Mushtari薄殼理論計(jì)算得到的固有頻率作對比，具體結(jié)果如表2所示。

考慮到物理實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)偏差及綜合誤差，理論解和物理實(shí)驗(yàn)偏差數(shù)據(jù)在相對較小的范圍內(nèi)。該誤差來源于理論模型和物理實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面，理論模型誤差主要在于未考慮微分方程中邊界條件和初始條件的設(shè)定、燃燒室機(jī)匣零件的產(chǎn)品缺陷和殘余應(yīng)力的影響，而物理實(shí)驗(yàn)誤差主要在于測試時(shí)夾具裝夾、傳感器安裝位置和錘擊點(diǎn)選擇是否具有特殊性。后續(xù)研究工作中將分別進(jìn)行修正及改進(jìn)，以便達(dá)到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

表2 物理實(shí)驗(yàn)值與理論解對比

4 結(jié)語

通過對航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室機(jī)匣模態(tài)特性的研究,將Donnell-Mushtari薄殼理論應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室機(jī)匣銑削加工，構(gòu)建了在特定邊界條件下航空發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室機(jī)匣的固有頻率計(jì)算公式，以某型號(hào)鎳基高溫合金燃燒室機(jī)匣為測試對象，通過Donnell薄殼理論計(jì)算得到了固有頻率數(shù)值，然后將計(jì)算結(jié)果同物理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)測試的結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比分析，誤差保持在10%左右。上述理論研究為后期燃燒室機(jī)匣加工工藝改進(jìn)及工裝設(shè)計(jì)提供了理論支撐。在下一步工作中將結(jié)合上述理論計(jì)算公式，針對不同尺寸燃燒室機(jī)匣和邊界條件對位移級數(shù)展開進(jìn)行修正，從而改進(jìn)理論解方法達(dá)到計(jì)算結(jié)果更加精準(zhǔn)的目的。