成形磨砂輪圓弧廓形關鍵參數在位檢測方法及試驗研究

師超鈺,朱建輝,孫冠男,郭泫洋,王潔浩,包 華

(1. 超硬材料磨具國家重點實驗室，河南 鄭州 450001; 2. 鄭州磨料磨具磨削研究所有限公司，河南 鄭州 450001)

0 引 言

近年來，球面、非球面及自由曲面零件在軍用和民用產品上的應用越來越廣泛。例如軸承、光學鏡片、鉆頭銑刀等精密零件，多為金屬、陶瓷、玻璃、硬質合金等典型材料。基于超硬材料（CBN和金剛石）砂輪的超精密磨削技術是保證其加工精度和效率的有效解決手段。

在超精密磨削機床上利用圓弧砂輪將粗毛坯近乎加工到尺寸精度是目前軸承、光學鏡片、鉆頭銑刀等零件的重要精密成形加工手段[1-2]。超精密磨削加工利用磨粒的運動干涉、復印原理獲得被加工表面[3]，圓弧形砂輪的輪廓形狀誤差與加工后工件的面形誤差具有一定的映射關系，砂輪圓弧表面的磨粒突出情況影響加工后工件的表面粗糙度以及亞表層損傷深度和密度，修整后砂輪的圓弧輪廓形貌精度決定了工件的加工精度[4-6]。因此，對砂輪形狀精度進行精確檢測分析，尤其砂輪廓形曲率和圓度的檢測，是進行高精度成型零件磨削加工前必須完成的關鍵工序。

崔長彩基于干涉測量原理實現了金剛石砂輪表面較大范圍三維形貌的觀測[7]；謝晉采用石墨板復印金剛石砂輪圓弧形輪廓，再用三坐標測量儀檢測其形狀偏差[8]；顧鐵玲基于機器視覺和圖像處理算法進行砂輪輪廓測量與磨損狀態分析[9]；遲玉倫利用聲發射動態監測修整過程中的砂輪廓形[10]；但以上方法均無法直接在位檢測出砂輪廓形參數。趙清亮采用點激光測微儀測量圓弧金剛石砂輪表面高度信息，計算出圓弧半徑和形狀誤差[11]；周煉利用點激光傳感器實現圓弧金剛石砂輪三維幾何形貌的在位檢測[12]；但點激光螺旋掃描方式易受砂輪形貌和跳動影響，檢測局限性大。

為高效、準確、方便地獲得復雜圓弧砂輪關鍵廓形參數，本文利用線狀激光連續掃描砂輪表面形貌，采集形貌位移數據，構建測量矩陣模型，通過數據處理獲得砂輪廓形曲率半徑、圓度誤差關鍵指標參數，并開展磨削驗證試驗以及檢測不確定度評定[13]，結果表明該方法穩定可靠，檢測數據契合磨削結果，可以滿足復雜圓弧廓形砂輪工程檢測需求。

1 在位檢測方法

砂輪廓形測量采用在位檢測的方式，即在不拆卸砂輪的情況下方便快捷地完成砂輪的動態在位測量。如圖1所示，砂輪在機床上以恒定轉速ns旋轉，線狀激光位移傳感器發射線型激光束，激光束平行于砂輪旋轉軸中心線，并且激光束輻照方向通過中心線，線型激光位移傳感器在砂輪圓周全表面連續掃描采樣，采樣數據中包含了砂輪表面微觀形貌信息，從而完成砂輪表面廓形的非接觸式在位測量。

圖1 砂輪廓形在位檢測方法

對采樣數據整周期裁切并去除兩端無效數據后，排列組合為矩陣Zm×n，并映射矩陣數據位置信息，構建砂輪表面廓形測量矩陣模型，建立點云坐標系(x，y，z)，數學表述如下式所示：

式中：i、j——正整數，且

ns——被檢砂輪轉速，r/min；

D——砂輪直徑，mm；

T——砂輪軸向厚度，mm；

f——激光位移傳感器采樣頻率，Hz；

l——激光束中相鄰點間距，mm；

zij——矩陣Zm×n中第i行j列的采樣數據值，mm。

在式(1)矩陣模型中增加砂輪圓周信息，變換點云坐標系，數學表述如下式所示：

其中各參量表征與式(1)相同。

2 數據處理與分析

針對測量矩陣模型數據進行處理分析，獲得砂輪廓形曲率半徑、圓弧圓度誤差關鍵指標參數。

2.1 濾波去噪

激光照射在磨粒邊緣或交界位置時，傳感器會輸出奇異噪點，多以極大或極小幅值的形式出現，鑒于數據的三維連續特性，采用雙向滑動限幅濾波。即設計濾波窗口在矩陣數據上逐點滑動，窗口數據長度為L，如果窗口極值未超出閾限則窗口數據插入并同位替換寄存數組Z′，如果窗口極值超出閾限則舍棄窗口數據并向數組Z′末位插入空值元素（NaN）。濾波窗口逐行、逐列遍歷所有數據點，并將雙向濾波結果疊加運算，濾除奇異噪點。濾波算法如下式所示：

2.2 插值補空

針對濾波后的空值位進行雙諧波樣條的二維散點插值，重建點云密集規則，還原砂輪三維地貌信息。雙諧波樣條是一種基于格林函數計算的插值方法，是用中心點位于各觀測數據點的多個格林函數進行加權疊加而解析地計算出插值曲面的全局插值方法，特別適合地貌地形的局部變化分析。在三維空間中對N個數據點的受張力p的插值函數 ω (x)滿足以下方程：

式中： ?2——拉普拉斯算子；

x——空間位置坐標；

gm——格林函數。

根據方程求解出加權系數aj后就可計算出插值曲面。

2.3 宏觀輪廓線提取

為排除砂輪表面微觀地貌信息，利用移動平均趨勢法針對插值后矩陣數據進行提取砂輪表面宏觀輪廓線處理，即取某數據點附近q個數據，按下式計算并將計算值替換該數據點。下式為基于概率統計的均值濾波修正算法，利用算術平均偏差和概率分布評估修正系數，使分布概率高的數據對濾波輸出貢獻大，分布概率低的數據對濾波輸出貢獻小，使修正后均值對宏觀輪廓變化趨勢具有較佳的代表性。矩陣每行數據所有數據點均按此方法計算，并將計算值連成曲線獲得砂輪宏觀輪廓線。

——q個數據點的算術平均值；

Zi——q個數據點的值；

c——q個數據中大于的數據點數；

d——q個數據中小于的數據點數。

2.4 圓弧分段

根據砂輪廓形構成進行圓弧分段處理，方法為：針對一組廓形數據，取一定長度的數據段并逐點滑動，最小二乘線性擬合每個數據段，并將相鄰數據段擬合斜率兩兩比較，如果比較差值的絕對值連續三次超過一定閾值，則判定該區域數據段的中心數據點為不同圓弧特征的分割點。

2.5 非線性曲線擬合

針對圓弧段宏觀輪廓線數據進行非線性曲線擬合，以精確評估廓形參數。首先利用下式所示的估計圓參數方程將非線性擬合算法參數初始化，再通過Levenberg-Marquardt算法獲得擬合參數集合{R,xos,zos}，該集合是輸入數據點的最佳擬合，以最小化觀測值與最佳非線性擬合之間的加權均方誤差。

式中：——圓弧段輪廓線數據的算術平均值；

——對應坐標的算術平均值；

Q——圓弧段數據的個數；

R——圓參數估計值。

為避免奇異Hessian矩陣的弱點，Levenberg-Marquardt算法為Hessian矩陣添加正定對角矩陣，提升優化效率和精度。

2.6 參數計算

根據各組擬合結果計算砂輪廓形關鍵指標參數，如以下式所示：

式中：——砂輪廓形圓弧曲率半徑；

Ryi——第i行數據對應圓弧段的擬合半徑；

S——行數；

——砂輪廓形圓度誤差；

MR——極差值；

X′——第i行宏觀輪廓線數據對應圓弧段的X位置坐標數組；

Z′——第i行宏觀輪廓線數據對應圓弧段的Z值數組；

xos——擬合圓弧圓心X位置坐標；

zos——擬合圓弧圓心Z值。

3 砂輪廓形檢測與成形磨削試驗結果分析

在CNC8325數控磨床上利用金剛石滾輪插補修整陶瓷CBN砂輪。試驗中修整砂輪單段圓弧廓形，設定插補修整圓弧曲率半徑15 mm，采用線型激光位移傳感器LJ-V7060進行廓形檢測。陶瓷CBN砂輪粒度80/100#，外徑φ450 mm，寬度16 mm。傳感器主要性能參數和測量參數分別如表1和表2所示。

表1 傳感器主要性能參數

表2 砂輪廓形測量參數

試驗中通過高精導軌支架調節激光位移傳感器與砂輪的上下向位置，通過機床進給調節傳感器與砂輪的前后、左右向位置，支架與機床安裝位置高精度配合，以達到“激光束輻照方向平行并通過砂輪旋轉軸中心線”的要求。精度滿足要求的支架對測量數據影響極小，文中不再討論。

將測量到的原始數據進行處理，原始數據以及濾波、插值后效果對比如圖2所示，圖2中各直角坐標系顯示范圍一致。可見，原始采樣數據中存在較多尖峰奇異點和少量無效空值點，邊緣鋸齒分明；濾波插值后，尖峰奇異點被濾除，且正常數據無失真，可真實反映砂輪表面三維地貌。

圖2 濾波、插值數據處理效果

針對濾波、插值后的數據進行處理分析，由測量矩陣模型生成砂輪三維幾何形貌如圖3所示。某一相位軸截面輪廓采集數據及其擬合廓形曲線如圖4所示。以所有相位的擬合廓形曲線構建砂輪圓周全表面標準三維廓形，并與輪廓采集數據作差，得砂輪表面廓形數據的偏差分布，如圖5所示，可見絕大部分采集數據與標準廓形偏差較小，擬合廓形曲線可真實反映砂輪表面圓弧廓形。

圖3 砂輪表面三維幾何形貌

圖4 砂輪輪廓數據及擬合曲線

圖5 砂輪表面廓形采集數據偏差分布

計算不同相位處軸截面輪廓的圓弧曲率半徑和圓度誤差以及相應的圓心坐標，得平均圓弧半徑為15.002 mm，平均圓度誤差為3.7 μm。不同相位處圓弧的曲率半徑分布如圖6所示，不同相位的半徑波動極差為0.081 mm，波動率0.54%。不同相位處的圓弧圓度誤差分布如圖7所示，最大圓度誤差為5 μm，經過宏觀輪廓線提取處理，圓弧圓度誤差計算可有效避免砂輪表面粗糙形貌影響。

圖6 砂輪不同相位圓弧廓形曲率半徑

圖7 砂輪不同相位圓弧廓形圓度誤差

為驗證本文提出的砂輪廓形在位檢測方法及結果是否滿足磨削檢測要求，采用上述已檢砂輪在CNC8325磨床上開展GCr15材料工件的切入精磨試驗，工件直徑φ60 mm，磨削工藝參數如表3所示。由于在工件槽形基礎上開展的精磨余量僅0.3 mm，而且CBN砂輪具備極高耐磨性，因此磨削中砂輪損耗可忽略不計。

表3 磨削工藝參數

磨削后利用HOMMEL輪廓儀T8000C在工件表面等間隔（30°）相位測量12次，測量結果如圖8所示，工件磨削表面全部檢測相位處廓形圓弧平均曲率半徑15.004 mm，極差0.009 mm，廓形平均圓度誤差2.3 μm，最大圓度誤差3.8 μm。根據輪廓儀原始采集數據生成的磨削工件表面三維廓形如圖9所示。

圖8 工件溝道圓弧半徑檢測結果

圖9 磨削工件表面三維廓形

在充分考慮砂輪和工件表面特性以及檢測樣本容量的差異后可知，磨削工件廓形與砂輪廓形檢測結果表現出較高一致性，本文提出的砂輪廓形在位檢測方法可以擺脫“試磨法”局限，反映砂輪成形磨削精度，發揮出較好的工程應用價值。

4 廓形參數檢測結果可信度分析與討論

由于測量誤差的存在，任何測量過程均不可能得到真值結果，但存在一個區間，使測量的真值以一定置信概率分散于該區間范圍內，這個區間就是測量擴展不確定度。評定測量不確定度可反映檢測結果的質量水平及可信賴程度。

鑒于砂輪廓形在位檢測時的隨機變化不確定因素多、數據運算復雜、環境條件影響大，將基于貝葉斯信息融合的不確定度評定方法應用于試驗測量情形，能夠充分融合歷史先驗信息和當前樣本信息，具有更合理、可靠的評定效果。

廓形參數檢測結果取數據均值，已有反映測量均值 μ信息的先驗分布和當前測量樣本X=(x1,x2,···,xn)后，可利用下式進行建模：

其中h(μ|x)為后驗分布密度函數,p(μ)為先驗分布密度函數,L(μ|x)為當前測量樣本的似然函數。根據評定模型計算后驗分布的期望作為測量結果最佳估計值，標準差作為標準不確定度。

實際檢測中發現，廓形參數檢測結果符合正態分布，可利用貝葉斯共軛分布理論將前一次的后驗分布作為下次計算的先驗分布，實現檢測結果的多級評定和持續更新。

通過本文提供的檢測方法針對上述試驗砂輪在不同的時間段、不同的室溫條件下，由不同的操作人員先后重復檢測3組樣本，每組樣本檢測10次，結果如表4所示。其中，單次曲率半徑和圓度誤差檢測結果為砂輪所有相位處軸截面采樣數據處理結果的均值。

表4 廓形參數檢測結果

以曲率半徑的評定為例，先將第一組數據作為先驗信息，第二組數據為當前樣本信息，計算先驗均值 μ0=15.003 mm，先驗標準差 σ0=2.8 μm，樣本均值1=15.007 mm，樣本標準差τ1=1.3 μm。測量數據服從正態分布，則先驗分布密度函數為：

當前樣本 的似然函數 為：

由于后驗分布也是正態分布，將式(11)和(12)代入式(10)可得后驗分布：

利用式(14)和(15)計算得 ,μ1=15.006 mm，σ1=0.4 μm。再將第一、二組數據信息融合后的后驗分布作為先驗信息，即 μ1為先驗均值,σ1為先驗標準差，第三組數據為當前樣本信息，樣本均值2=15.002 mm，樣本標準差 τ2=1.4 μm，同法計算出后驗分布的期望μ2=15.004 mm，標準差σ2=0.3 μm。所以，融合三組檢測數據的砂輪廓形曲率半徑最佳估計值?= μ2=15.004 mm，A類標準不確定度uA(x)=0.3 μm。

根據表1中激光位移傳感器的線性度和重復精度參數，以傳感器自身溫漂10 ℃計，則線性度引入的測量值最大誤差為±8 μm；Z軸重復精度引入最大誤差為±0.2 μm；X軸重復精度對Z測量值的影響在圓弧廓形兩端最大，小于±2.5 μm，在圓弧中間最小，接近0，所以X軸重復精度引入最大誤差為±2.5 μm。綜合以上誤差值，傳感器自身特性引入的測量最大誤差小于±10.7 μm，取誤差均勻分布下置信水平為1時的置信系數，則傳感器自身引入的不確定度分量。

外部環境影響可排除氣壓、粉塵、振動等因素，主要分析溫度變化。認定檢測環境溫度變化范圍小于10 ℃，根據表1中激光位移傳感器的溫度特性計算環境溫度引入最大測量誤差小于±8 μm，同樣取均勻分布的置信系數則環境引入的不確定度分量。

由上可得，在置信概率95%的條件下，砂輪廓形圓弧曲率半徑的檢測結果可表示為：(15.004±0.015) mm，即檢測真值不超出±0.015 mm區間范圍的概率為95%，置信區間范圍占比最佳估計值0.2%。

同樣的，針對砂輪廓形圓弧圓度誤差開展不確定度評定，得在置信概率95%的條件下，砂輪廓形圓弧圓度誤差的檢測結果可表示為：(3.62±0.22) μm。由于砂輪表面粗糙形貌影響，砂輪廓形圓度誤差要大于工件圓度誤差。

綜上可見，本文提出的砂輪廓形在位檢測方法獲得的評估值以較高的置信概率收斂在較小的置信區間內，檢測結果穩定可靠，滿足工程實際需求。

5 結束語

本文采用線狀激光連續掃描測位移的方式采集砂輪表面形貌數據，并構建三維廓形測量矩陣模型，通過濾波去噪、宏觀輪廓線提取、非線性曲線擬合等數據處理算法計算出砂輪廓形曲率半徑、圓度誤差關鍵指標參數，實現了砂輪廓形的非接觸式在位檢測。

利用本文提出的廓形在位檢測方法，針對某陶瓷CBN砂輪開展檢測和磨削試驗，試驗結果表明，砂輪廓形檢測結果與磨削工件廓形具有較高一致性，砂輪廓形檢測結果可以準確反映工件加工精度。驗證了該方法的可行性，在高精度成型零件磨削加工領域具有較好的工程應用價值。

針對同一陶瓷CBN砂輪開展檢測不確定度評定，評定結果顯示，置信概率95%的條件下，砂輪廓形曲率半徑的置信區間為±0.015 mm；廓形圓度誤差的置信區間為±0.22 μm。驗證了該方法檢測結果的可信度，可滿足成形磨圓弧砂輪廓形參數高精度檢測需求。