基于數理統計方法的鐵路隧道襯砌質量缺陷分析

柴子賀

(中鐵工程設計咨詢集團有限公司，北京 100055)

1 概述

1.1 研究現狀

隨著我國鐵路事業的迅猛發展，鐵路隧道的建設長度位居世界第一[1]。然而，相當比例的隧道存在不同程度的缺陷[2]。隧道襯砌缺陷會導致隧道結構承受偏壓荷載，造成應力集中現象，使得缺陷處成為襯砌結構破壞的重點[3]。

地質雷達法是一種無損檢測方法，具有檢測精度高、效率快、成本低等優勢，在隧道襯砌質量無損檢測中廣泛應用[4]。目前，常見的做法是對單個缺陷進行描述，缺少對全部缺陷全面深入地分析，以及對缺陷分布內在規律的研究。

數理統計方法已廣泛應用于土力學[5-6]、水文[7-8]、邊坡穩定[9]等工程類技術研究中，跨學科方法對推動相關研究起到了巨大作用。如李剛等結合數理統計方法，檢驗不同成因沉積土物理力學指標的分布特征[5]；朱煥珍等采用正態信息擴散法，推斷出大樣本巖土抗剪強度參數的概率密度函數[6]；王林等提出一種基于貝葉斯理論的土水特征曲線模型比選和參數識別方法[7]；王東等提出一種基于Lilliefors檢驗的邊坡臨滑時刻的動態識別方法[8]。此外，數理統計方法在混凝土強度的分布特征研究方面也有所應用[10-11]。因此，將數理統計方法應用于隧道襯砌質量檢測，對探究缺陷內在分布規律意義重大。

1.2 工程背景

某在建高速鐵路為雙線，設計行車速度為350 km/h，線間距為5.0 m，最小曲線半徑為7 000 m，困難為5 500 m，最大坡度為20‰。工程地處丘陵地帶，地形起伏較大，局部陡峭。出露地層有第四系全新統、白堊系、震旦系，主要巖性有泥質粉砂巖、砂巖、含礫砂巖、變質砂巖等。地表水主要為溪溝水，地下水主要為基巖裂隙水。

隧道斷面如圖1所示，采用二次復合襯砌形式，Ⅱ級圍巖段落襯砌為C30素混凝土，厚35 cm；Ⅲ級圍巖段落襯砌為C30素混凝土，厚40 cm；Ⅳ級圍巖段落襯砌為C35鋼筋混凝土，環向鋼筋為HRB400，間距20 cm，厚45 cm；Ⅴ級圍巖段落襯砌為C35鋼筋混凝土，環向鋼筋為HRB400，間距20 cm，厚50 cm。

圖1 隧道斷面示意(單位：cm)

2 襯砌缺陷類型及測線部位的分布規律

2.1 地質雷達法檢測概況

利用地質雷達法對某在建鐵路工程14座隧道進行二次襯砌質量無損檢測，沿二襯表面布置5條測線[12]，分別為拱頂1條、左右拱腰各1條及左右邊墻各1條，共發現285個缺陷。缺陷類型有空洞、欠厚空洞、欠厚、不密實共4種。以下主要研究襯砌缺陷的縱向長度及徑向尺寸。其中，缺陷總長度與該測線檢測長度的比值為該測線的缺陷率。對于欠厚空洞、脫空、不密實缺陷，襯砌內表面距初支表面的最大距離為其缺陷徑向尺寸；對于欠厚缺陷，襯砌最薄處與設計厚度的差值為其缺陷徑向尺寸。

2.2 不同測線缺陷樣本的分布規律

對地質雷達法檢測發現的285個襯砌質量缺陷進行分析，研究不同測線部位的缺陷率、不同缺陷類型在各測線缺陷中所占比例及不同測線部位的缺陷徑向尺寸的平均值、標準差、最大值等相關特征值的變化規律。

(1)不同測線部位的缺陷率

表1是地質雷達法檢測某鐵路工程14座隧道不同測線襯砌缺陷率的統計數據，并根據表1數據繪制圖2。

表1 隧道襯砌缺陷分布情況

圖2 各測線部位缺陷率

由表1及圖2可知，從已知缺陷樣本來看，拱頂缺陷率最高，為2.06%；拱腰、邊墻缺陷率分別為0.04%、0.03%。

建議在后續的施工過程中，注意拱頂部位的施做，改進工藝工法，減少拱頂部位的缺陷率。在綜合考慮質量控制、工程成本等情況下，可適當減少拱腰及邊墻部位的測線，適當增加拱頂部位的測線，使檢測更具針對性。

(2)不同缺陷類型在各測線缺陷中所占比例

表2是不同缺陷類型在不同測線缺陷中所占的比例統計數據，根據表2數據繪制圖3。

表2 不同缺陷類型在各測線缺陷中所占比例

圖3 不同缺陷類型在各測線缺陷中所占比例

由表2及圖3可知，不同測線部位產生的主要缺陷類型不同。拱頂部位的缺陷中，欠厚空洞占比最高，為91.77%，欠厚占比最低，為0.90%；拱腰部位的缺陷中，欠厚空洞占比最高，為62.86%，空洞占比最低，為2.86%；邊墻部位的缺陷中，只發現欠厚缺陷，占比100%。

以拱頂、拱腰、邊墻為序，欠厚空洞占該測線缺陷的比例越來越低，最高為91.77%，最低為0%。欠厚所占比例越來越高，最低為0.89%，最高為100%。

建議在后續施工過程中，改進工藝工法，拱頂部位應著重注意避免欠厚空洞缺陷的產生；拱腰部位著重注意避免欠厚空洞及欠厚的產生；對邊墻部位，著重注意避免欠厚缺陷的產生。

(3)不同測線部位的缺陷徑向尺寸最大值、平均值及標準差等特征值規律

表3為地質雷達法檢測發現的該在建鐵路工程14座隧道共285個襯砌缺陷的徑向尺寸樣本觀測值，圖4為根據表3得出的各測線部位的缺陷徑向尺寸相關特征值。

表3 缺陷徑向尺寸285個樣本觀測值 cm

圖4 不同測線部位的缺陷徑向尺寸特征值

由表3及圖4可知，就缺陷徑向尺寸的最大值而論，拱頂、拱腰及邊墻部位分別為39.0，35.0，18.0 cm；對于缺陷徑向尺寸的平均值，拱頂、拱腰及邊墻部位分別為19.3，14.5，10.3 cm；對于缺陷徑向尺寸的樣本標準差，拱頂、拱腰及邊墻部位分別為9.6、10.4及6.7。

對于缺陷徑向尺寸的最大值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小，對于缺陷徑向尺寸的平均值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小。對于缺陷徑向尺寸的樣本標準差，拱腰部位最大，拱頂次之，邊墻最小，說明拱腰部位的缺陷徑向尺寸離散性最大，拱頂次之，邊墻最小。

3 襯砌缺陷徑向尺寸總體數理統計

3.1 襯砌缺陷徑向尺寸總體與樣本的設定

將該鐵路工程14座隧道襯全部砌缺陷的徑向尺寸視為總體X。已檢測出的285個缺陷，徑向尺寸X1，X2，…，X285為總體X的一個樣本x，其樣本容量n=285。

表3中所列即為285個襯砌徑向尺寸樣本x(下文簡稱樣本x)的觀測值。每個缺陷為相同的條件下獨立發現的，且都是與襯砌缺陷徑向尺寸總體X(下文簡稱總體X)具有相同分布的隨機變量。有

樣本均值

(1)

樣本方差

(2)

樣本標準差

(3)

樣本k階中心矩

(4)

3.2 總體X正態性檢驗

正態分布是自然界最重要的分布，對于該在建鐵路工程14座隧道檢測發現的285個缺陷的徑向尺寸，需判斷其樣本x所代表的總體X是否符合正態分布，根據GB/T4882—2001《數據的統計處理和解釋正態性檢驗》，采用偏度及峰度檢驗法進行正態性檢驗[13-16]。

(1)總體X偏度及峰度檢驗統計量

(5)

峰度β2是標準化的四階中心矩，有

(6)

總體X的偏度和峰度的檢驗統計量分別為

(7)

和

(8)

式中，B2，B3，B4分別為樣本值的2階，3階，4階中心矩。

由于缺陷的徑向尺寸為非負值，因此對總體X的正態檢驗采用有方向檢驗。

①給出檢驗零假設和備擇假設

③給定顯著水平α=0.05，根據給定的α和樣本容量285，查表得p的分位數為0.24，其中，p=1-α。

(3)總體X的峰度b2有方向檢驗

由于樣本觀測值是由地質雷達儀器檢測發現的，認為觀測值的離散程度受到影響，因此備擇假設為H1：b2>3。

①給出檢驗零假設和備擇假設

H0：總體X為正態分布即b2=3；H1：b2>3。

②將表3所列樣本x的觀測值X1，X2，…，X285代入式(4)和式(8)計算得B4=17 111.78，B2=8 573.577，峰度b2=1.995 874。

③給定顯著水平α=0.05，根據給定的α和樣本容量285，查表得b2的p分位數為3.49，其中，p=1-α。

④如果統計量b2超過p分位數，則在顯著性水平α下拒絕零假設。

由于b2=1.995 874<3.49，在α=0.05顯著水平下不拒絕零假設，即樣本x所代表的總體X服從正態分布。

綜合偏度和峰度檢驗結果，在建鐵路工程14座隧道共285個缺陷徑向尺寸樣本x所代表的總體X服從正態分布。

3.3 總體X參數估計

(1)總體X的均值μ區間估計

上文已證明總體X服從正態分布，令總體為X(μ，σ2)，其中，μ為總體均值，σ2為總體方差，均為未知。給定顯著性水平α=0.05，且已知樣本容量n=285。

在總體方差σ2未知的情況下，得總體均值μ的一個置信區間為

將表3所列樣本x的觀測值，代入公式，在給定顯著性水平α=0.05下，計算得總體X均值μ的一個置信區間為(17.99，20.24)。

其物理意義為在給定顯著性水平α=0.05下，該在建鐵路工程14座隧道襯砌缺陷徑向尺寸的總體X的均值μ落在(17.99，20.24)區間的概率為95%。

(2)總體X的方差區間估計

由于總體X均值μ未知，σ2的無偏估計為S2，給定顯著性水平α=0.05的情況下，有((n-1)S2)/σ2～χ2(n-1)，且該式右端分布不依賴于任何未知參數。

即

(9)

得到總體方差σ2的一個置信水平為1-α的置信區間為

將表3所列樣本x觀測值，代入公式，在給定顯著性水平α=0.05下，計算得總體X方差σ2的一個置信區間為(76.63，110.71)。

其物理意義為在給定顯著性水平α=0.05下，該在建鐵路工程14座隧道襯砌質量缺陷徑向尺寸總體X的方差σ2落在(76.63，110.71)區間的概率為95%。

3.4 單因素方差分析

(1)單因素方差分析原理

單因素方差分析是檢驗在一種因素影響下，兩個以上總體的均值彼此是否相等的一種統計方法[17]。表4中所列樣本x觀測值，分布在Ⅱ級、Ⅲ級、Ⅳ級和Ⅴ級圍巖段。

為分析圍巖等級情況對隧道襯砌缺陷徑向尺寸的影響，本節以拱頂測線檢測發現的缺陷為例，對Ⅱ-Ⅴ級圍巖因素對缺陷徑向尺寸的影響進行分析。

表4 分圍巖級別缺陷徑向尺寸樣本值 cm

圍巖等級因素分別記為A1，A2，A3，A4，在每個水平Ai(i=1，2，3，4)下，考察指標看成一個總體Xi(i=1，2，3，4)，且Xi～N(μi，σ2)，水平Ai(i=1，2，3，4)下，進行ni次獨立試驗，樣本記為Xij，i=1，2，3，4，j=1，2，…，ni，Xij～N(μi，σ2)且相互獨立[17]。

(2)圍巖等級因素方差分析步驟

①建立假設檢驗

零假設為H0:μ1=μ2=μ3=μ4，備擇假設為H1:μ1，μ2，μ3，μ4不全相等。

因此，數學模型為

(10)

②構造檢驗統計量

引入總偏差和

(11)

故構造檢驗統計量為

③假設檢驗問題的拒絕域

本文給定顯著性水平α=0.05，在給定的α顯著性下，檢驗假設問題的拒絕域為

F=(SA/(r-1))/(SE/(n-r))≥

Fα(r-1，n-r)

(12)

④計算檢驗統計量

a.Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ級圍巖段落拱頂缺陷徑向尺寸總體均值差異性檢驗

對Ⅱ、Ⅲ及Ⅳ級不同圍巖段落發現的拱頂缺陷徑向尺寸總體X1，X2，X3的各自樣本觀測值進行計算，結果見表5、表6。

表5 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖方差綜合

表6 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖方差分析

由表5、表6可知，在給定顯著性α=0.05水平下，檢驗統計量F=0.987 651

b.Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及Ⅴ級圍巖段落拱頂缺陷徑向尺寸總體均值差異性檢驗

對Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ及Ⅴ級不同圍巖段落拱頂部位發現的襯砌缺陷徑向尺寸總體的樣本觀測值進行計算，結果見表7、表8。

表7 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級圍巖方差綜合

表8 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級圍巖方差分析

可知在給定顯著性α=0.05水平下，檢驗統計量F的值F=8.882 052>F0.05(3，270)=2.638 036，所以拒絕零假設，認為Ⅱ級、Ⅲ級、Ⅳ級和Ⅴ級不同圍巖段落發現的拱頂部位襯砌質量缺陷徑向尺寸總體的均值有顯著差異。

綜上可知，在拱頂部位，在給定顯著性水平α=0.05下，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸的總體均值無顯著差異，V級圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸總體的均值與Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖段落有顯著差異，且大于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖段落。

4 結論

(1)地質雷達法檢測的缺陷樣本，拱頂缺陷率為2.06%，拱腰缺陷率為0.04%，邊墻缺陷率為0.03%。

(2)在拱頂、拱腰、邊墻部位的缺陷樣本中，欠厚空洞缺陷所占比例越來越低，最高為91.77%，最低為0。欠厚缺陷所占比例越來越高，最低為0.89%，最高為100%。

(3)對于缺陷徑向尺寸的最大值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小；對于缺陷徑向尺寸的平均值，拱頂、拱腰及邊墻部位依次減小；對于缺陷徑向尺寸的樣本標準差，拱腰部位最大，拱頂次之，邊墻最小。

(4)文中列出的在建鐵路工程14座隧道共285個缺陷的徑向大小樣本觀測值所代表的總體符合正態分布。

(5)在給定顯著性水平α=0.05下，該在建鐵路工程14座隧道襯砌質量缺陷徑向大小總體均值μ的一個置信區間為(17.99，20.24)，總體方差σ2的一個置信區間為(76.63，110.71)；

(6)在給定顯著性水平α=0.05下，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸的均值無顯著差異，Ⅴ級圍巖段落的襯砌缺陷徑向尺寸的均值與Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖段落有顯著差異，且大于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖段落。