基于稀疏貝葉斯學習的CT圖像重構

何國棟,汪慧蘭,章姍姍,徐建林

(1.安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖 241000；2.上海市胸科醫院 上海交通大學附屬胸科醫院，上海 200030)

0 引言

計算機斷層成像(Computed Tomography，CT)自面世以來就被廣泛應用到醫學檢查和診斷中，與X射線相比，CT影像能夠提供更加全面和高分辨率的斷層解剖學人體組織影像。傳統的CT檢查中，螺旋掃描儀旋轉一周一般需要投影1 000～2 000次，較高的輻射劑量可能會對人體組織造成傷害，過量的X射線還可能造成染色體變異等不可逆轉的損害[1-2]。因此，研究如何降低CT檢查中X射線的投影數據量并獲得清晰的醫學影像，具有重要的理論研究價值和臨床意義[3]。

針對低劑量采樣數據的CT圖像重構，一般首先對低劑量采樣數據進行插值，然后再采用濾波反投影算法進行重構，還有基于迭代類的CT圖像重構方法，但這些方法在實際應用中存在計算要求高、清晰度不夠等問題[4]。壓縮感知(Compressive Sensing,CS)是一種新興的稀疏信號采樣和處理理論[5-6]，基于稀疏和隨機感知理論，實現在低采樣率下對稀疏信號的高效精確重構，目前CS已經被廣泛應用于模擬信號到信息轉換[7]、衛星導航信號處理[8]以及無線傳感器網絡[9]等領域。由于CS能夠以較少的采樣數據實現對稀疏信號的高質量重構，將其應用到低劑量肺部CT圖像重構中，臨床應用上可以降低醫學檢查中X射線對人體的二次傷害。CS的重構算法較多，稀疏貝葉斯學習(Sparse Bayesian Learning,SBL)重構算法是一種性能較好的重構算法[10]。SBL最初作為一種機器學習算法，后被引入壓縮感知稀疏信號重構中，研究發現該算法能夠有效地重構出稀疏度較低的信號，有利于實現對圖像信號的重構。

本文對壓縮感知理論和 SBL算法的原理進行詳細介紹，并建立了基于小波函數的肺部CT圖像稀疏表示。對低劑量隨機采樣的肺部CT圖像數據，應用SBL算法進行重構，仿真結果顯示，所提方法能夠有效地重構出清晰的肺部醫學影像。

1 基本理論

Nyquist采樣定理要求信號的采樣頻率須達到信號最高頻率的兩倍以上，對高頻信號的系統要求較高，且產生大量的冗余數據。CS理論提出，可以對稀疏信號以較低的采樣率進行采樣，并通過重構算法精確重構出原信號[11]。基于CS理論，如果信號x∈RN×1在某個變換基Ψ下可以稀疏表示為：x=Ψs，其中信號s∈RN×1中大部分元素數值為0，則信號x稱為稀疏信號。對稀疏信號應用隨機矩陣Φ∈RM×N(M?N)進行測量：

y=Φx+ω=ΦΨs+ω=Θs+ω，

(1)

即可得到較少的觀測數據y∈RM×1，其中ω為噪聲。從測量結果中恢復出原信號，即CS信號重構。在式(1)中，方程的個數遠少于未知數的個數，這是一個欠定數學問題，理論上原方程的解有無數種。如果加上稀疏約束，當方程的個數滿足一定要求，即可得到正確的稀疏解，能夠精確恢復出原稀疏信號[12-13]。用0范數表示求信號中的稀疏個數，則CS信號稀疏重構問題可表示為：

s= argmin||s||0s.t.y=Θs，

(2)

式中，求解的是一個NP-hard問題，需要通過組合優化的方法才能找到最優解，當N很大時，找到稀疏最優解非常困難。

稀疏貝葉斯學習是機器學習中一種重要的學習算法，在貝葉斯理論基礎上發展起來，由 Tipping等人在2001年前后提出，后被引入到壓縮感知稀疏信號重構中[14-15]。在式(1)中假設ω是均值為0、方差為σ2IM的高斯分布，則可得到y符合均值為Φx，方差為σ2IM的高斯分布，即：

(3)

假定x的每個元素都服從一個參數化的均值為0方差為γi的高斯分布，則有：

(4)

式中，Γ=diag(γi)，γi是未知的參數，由算法自動估計計算。算法迭代中，大部分γi會趨于0，SBL通常采用一個閾值將趨于0的γi置為0，閾值大小由實際數據和噪聲決定。當γi=0時，相對應的xi也為0，因此得到稀疏解。應用貝葉斯公式和全概率公式可得：

(5)

(6)

(7)

(8)

已證明基于SBL的稀疏信號重構能獲得全局最優解，且在感知矩陣列之間相關性較高時，SBL也能夠獲得較好的重構效果，目前SBL在稀疏度較低的信號重構中應用較多。

2 CT圖像的稀疏表示

CT圖像如圖1(a)所示，由于肺實質和空氣對射線的吸收率低，胸腔內大部分區域顯示的均為黑色，而其余組織如肺結節、骨骼及脂肪等對射線的吸收率較高，在CT影像中顯示為白色。肺部CT圖像是非稀疏的，壓縮感知應用的前提是信號必須是稀疏的，因此首先需要考慮圖像的稀疏表達[16]。多分辨率分析是一種常用的圖像稀疏分析工具，對圖像進行小波變換后，可以得到稀疏的表達效果，應用較多的有小波變換、Contourlet變換等[17]。應用Haar小波函數對肺部圖像進行一次變換，變換的低頻和高頻信息如圖1(b)所示，圖像的低頻部分(左上)保留了圖像的大部分信息，而高頻部分大部分數據為0，在圖像中顯示為黑色的部分，即整個胸部影像在Haar小波基下是一種稀疏信號，圖像可以稀疏表示為:

I=ΨS，

(9)

式中，I表示圖像信號，Ψ表示小波基，S表示稀疏信號。

(a) CT圖像

(b) 基于小波基的CT圖像稀疏表示

3 仿真實驗

為了驗證本文提出的低劑量隨機采樣的肺部CT圖像重構方法的可行性和有效性，應用Matlab軟件對其進行仿真，其中隨機測量矩陣使用歸一化的零均值高斯分布隨機矩陣。實驗圖像選自上海市胸科醫院，首先應用隨機測量矩陣對肺部CT圖像進行感知，獲得低劑量的隨機采樣數據，然后構造基于Haar小波函數的稀疏基，最后應用重構算法對肺部圖像進行重構。為分析對比重構效果，使用圖像峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)作為評價重構效果的客觀評價標準，其計算公式為：

(10)

式中，MSE為原圖像和重構圖像的均方誤差，n為圖像的灰度級。為分析問題方便，定義壓縮率(Compression Ratio，CR)為:

(11)

式中，M為低劑量投影后的數據量，N為原始數據量。

實驗一設置為在相同壓縮率下應用不同重構算法的重構實驗，選擇壓縮感知常用的3種重構算法：正交匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)、L1范數和SBL重構算法進行實驗，圖2 為壓縮率為0.5時的重構結果。對比3種重構算法的重構結果，主觀評價OMP算法效果不夠理想，L1范數重構和SBL重構效果較好，PSNR值分別為31.245 2和32.081 2。

(a) 原圖

實驗二設置為當壓縮率分別為0.2、0.4和0.6時，只應用SBL算法的重構實驗，實驗結果如圖3所示。當壓縮率為0.2時，由于投影數據量太少，重構效果較差，重構的肺部影像中有大量的偽影。當壓縮率為0.6時重構效果較好，主觀評價和原圖差別不是很大，PSNR值達到了34.180 9，基本能滿足醫學檢查要求。從兩組實驗可以看出，壓縮率太低則所能提供的信息太少，重構的肺部圖像不能滿足臨床應用的需求，但在同一壓縮率下，SBL算法重構效果較好。

(a) 原圖

實驗三分析在不同壓縮率(0.2～0.8)下不同算法的重構效果，對同一肺部圖像應用3種重構算法分別進行100次實驗，取100次實驗的PSNR平均值，實驗結果如圖4所示。

圖4 不同壓縮率下重構結果Fig.4 Reconstruction results with differentCR

在同一壓縮率下，OMP算法重構的PSNR值低于其他2種算法，L1算法和SBL算法重構的PSNR值比較接近。PSNR值隨著壓縮率的增大而增大，因為隨機采樣的數據越多，提供的重構信息就越多，重構效果就越好。當然，CT檢查的輻射量也隨之增大。

4 結論

壓縮感知是一種新穎的信號采樣處理理論，能夠在低采樣率下有效地重構出原稀疏信號。將該理論應用到醫學CT檢查中，利用高斯隨機分布的壓縮矩陣對肺部圖像進行壓縮采樣，應用小波函數實現對CT圖像的稀疏表達，最后應用稀疏貝葉斯學習算法對肺部圖像進行重構。大量的仿真結果顯示，該方法有效可行，當壓縮率為0.6的時候，重構的肺部組織圖像清晰，PSNR值滿足醫學檢查需求。將壓縮感知應用到醫學CT檢查中，實現了在低劑量采樣下對醫學圖像的重構。該方法能夠減少醫學檢查中的輻射劑量，從而降低輻射對人體造成的傷害，具有重要的研究意義和臨床應用價值。