社交網絡中考慮懷疑機制的謠言傳播模型

張明菊，仇麗青

（山東科技大學計算機科學與工程學院，山東青島 266590）

0 引言

謠言在信息傳播中普遍存在，它的傳播對人們生活有著深刻影響［1-3］。隨著信息時代的到來，人們越來越容易接觸到謠言，謠言的影響力也越來越大。破壞性謠言往往會引起社會恐慌，甚至造成巨大的經濟損失［4-6］。因此，研究社交網絡中謠言的傳播規律，了解謠言信息的傳播機理具有重要的現實意義。

謠言傳播模型可用來闡述許多現象，如信息傳播、病毒式營銷、流行病或突發事件引起的恐慌等［7-10］。隨著信息技術的發展，在線社交網絡規模不斷擴大，許多學者基于網絡的現實對謠言傳播模型進行了研究。Yu 等［11］基于小世界網絡建立了謠言傳播模型，發現謠言傳播存在臨界閾值；Hui 等［12］、Wang 等［13］使用隨機方法分析了無標度網絡上謠言傳播的動力學；馬宇紅等［14］提出了新的SHIR 謠言傳播模型，證明謠言傳播范圍與個體的從眾效應相關；瞿倩倩等［15］研究了謠言傳播者的信謠程度及感染力度，得出高謠言信度能加快謠言傳播的速度；Li 等［16］提出一種帶有教育機制的謠言傳播模型，發現教育機制影響謠言的傳播過程，并提出最優控制方法來優化教育機制；Zhu 等［17］提出一種新的帶有強制沉默功能的謠言傳播模型，研究減少謠言傳播頻率的最優控制方法。針對網絡上信息傳播的時滯特點，Zhu 等［18］在均勻網絡和異質網絡上建立了I2S2R謠言傳播模型，基于復雜網絡理論提出有效的謠言傳播控制策略；Jain 等［19］對經典的SIR 模型進行擴展，研究了社交網絡中考慮傳播者影響延遲的謠言傳播模型，為進一步研究謠言信息傳播提供參考。

盡管上述模型越來越接近謠言傳播的本質特征，但卻忽略了謠言免疫者本身的屬性。隨著時間的推移，免疫者會逐漸忘記謠言信息，當再次遇到傳播者時，受謠言信息的吸引，免疫者會再次成為傳播者。因此，免疫者的遺忘機制應該考慮。此外，由于謠言的吸引力和對最初事實了解的缺陷，謠言傳播在初始階段應該是較高的，然后逐漸下降。Qiu 等［20］在社交網絡中研究了考慮傳播率變化的謠言傳播模型，但忽略了未知者的懷疑特征。因此，本文考慮未知者本身具有的懷疑機制和免疫者的遺忘機制，建立SIR-CM 謠言傳播模型，并在WS 和BA 網絡中研究了SIRCM 模型的傳播過程，同時通過數值仿真分析了懷疑概率和遺忘概率對謠言傳播過程和最終規模的影響。

1 SIR-CM 謠言傳播模型概述

1.1 SIR-CM 傳播謠言過程

本文建立具有懷疑機制的SIR-CM 謠言傳播模型。假設一個具有個N個體的社交網絡，其中個體表示節點，個體之間的聯系表示邊，可以得到一個無向圖G（V，E），其中V表示節點集合，E表示邊集合。本文假設謠言是通過傳播節點與其他節點直接接觸傳播的，將個體分為傳播者（S）、未知者（I）和免疫者（R）3 組，分別表示未接受到謠言信息的人、接受并傳播謠言信息的人和接收到謠言信息但不散播謠言的人。SIR-CM 模型傳播規則及其表達式如圖1 所示。

Fig.1 The structure of SIR-CM rumor spreading model圖1 SIR-CM 謠言傳播模型結構

（1）當未知節點（I）與傳播節點（S）接觸時，未知節點有3 種行為：①由于受到傳播節點的影響，未知節點在不知情的情況以λ的傳播概率轉化為傳播節點；②當傳播節點影響較小時，未知節點在接收到謠言信息時會對謠言產生懷疑并以c的懷疑概率轉化為傳播節點；③當未知節點對接收到的謠言信息不感興趣時，會以概率σ轉化為免疫節點。

（2）當傳播節點（S）與免疫節點（R）或其他傳播節點接觸時，該傳播節點會以α的抑制概率轉化為免疫節點。

（3）隨著時間的推移，免疫節點（R）會逐漸忘記謠言信息，當再次遇到傳播節點（S）時免疫節點會以γ的遺忘概率再次轉化為傳播節點。

1.2 SIR-CM 模型建立

為描述SIR-CM 模型的動力學特性，建立SIR-CM 模型動力學方程。

分別用S（t）、I（t）、R（t）表示t時刻未知節點、傳播節點和免疫節點的密度，構建謠言傳播模型的平均場方程如下：

其中，k表示網絡中所有節點度的平均值。λk和ck表示在兩種不同的心理下未知節點遇到傳播節點被感染的概率，σk表示未知節點遇到傳播節點時成為免疫節點的概率，γk表示免疫節點遇到傳播節點被感染的概率，αk表示傳播節點遇到免疫節點或其他傳播節點時變為免疫節點的概率。由于網絡中只存在未知者、傳播者、免疫者3 種狀態節點，因此三者的密度滿足條件：S(t) +I(t) +R(t)=1。

假設在謠言傳播的初始階段網絡中只有一個謠言傳播節點，因而可以得到SIR-CM 謠言傳播模型的初始條件：

為更好地理解傳播概率作用，本文引入一個概率函數λ（t）來描述隨時間變化的傳播率，同時為未知者和免疫者分別建立懷疑參數c和遺忘參數γ。由于謠言本身的吸引力和個體對謠言信息知識領域的匱乏，在謠言傳播的初始階段傳播速率較高。隨著時間的推移，個體會逐步了解謠言信息的真實狀況并進行真偽判斷，此時傳播率會逐步下降并最終降至零。因此，本文引入傳播概率函數來表示這一規律，其函數形式如下：

其中，μ 表示初始傳播概率，θ 表示隨時間下降的速度，β 表示較高傳播率的持續時間。可以看出，當β=0時，λ（t）=μ 為常數。

2 SIR-CM 謠言傳播模型分析

謠言的最終規模可用來衡量謠言的影響程度。使用式（1）和式（3）計算謠言的最終規模，即最終接收到謠言信息的個體總數。本文將謠言的最終規模定義為R=limt→T R(T)=R(T)，其中T表示謠言消失的最終時間，如R=0.8 表示有80%的個體最終都接收到了謠言信息。

為了確定R，本文將式（3）除以式（1），得到：

對式（5）兩邊從初始t=0 到最終t=T積分，并利用初始條件可得：

公式（6）可簡化為：

對公式（7）兩邊取e的對數，得到超越方程：

定理1如果φ＞1，超越方程R－1+e-φR=0 有兩個解：零解和非零解R，其中0＜R＜1。

證明：顯然，R=0 為式（10）的一個解。令f(x)=x-1+e-φx，其中0＜x＜1，φ＞1，可以看出函數f是一個連續可微的函數。對于?x∈（0，1），可得f’（x）=1－φe-φx。當x0=時，可得f’（x0）=0。將x0代入f（x）可得f(x0)=＜0，同時f（1）=e-φ＞0。由中值定理可知f（x）=0 有非零解。這意味著對于φ＞1，存在一個x*=R使得f（x*）=0，其中0＜x0＜x*＜1。

除此之外，對f求兩階導數可得f’’（x）=φ2e-φx＞0。通過觀察，函數f在（0，1）之間是一個凹函數。此外，圖2 表明存在x0屬于（0，1）使得f’（x）＜0，此時x∈（0，x0）。同樣可以得到當x∈（x0，1）時，f’（x）＞0。這表明f’（1）f’（0）＜0，即f’（0）f’（1）=（1－φ）（1－φe-φ）＜0，最終證明φ＞1。

根據定理1 可知，超越方程（8）有零解R=0。與此同時，滿足以下條件：

可以看出，公式（8）有其他關于參數α，λ，c和γ 的解，因此可以得出本文所提出的SIR-CM 模型不存在謠言傳播閾值。

3 數值仿真

為了研究社交網絡中傳播、懷疑和遺忘機制對謠言傳播的影響，本文分別在BA 網絡和WS 網絡中對SIR-CM 模型進行仿真實驗。實驗過程中，WS 網絡和BA 網絡的節點數N=105，平均度k=6 及隨機重連接概率p=0.1。模擬過程中，未知節點的免疫概率σ=0.2，傳播節點的抑制概率α=0.4。實驗結果均為隨機選取不同初始傳播節點并進行50次獨立模擬的平均值。

3.1 三類節點隨時間變化情況

本文設置模型參數：μ=0.5，θ=2，β=5，c=0.3，σ=0.2，α=0.4，γ=0.03，研究WS 和BA 網絡中未知節點、傳播節點和免疫節點的密度隨時間的變化情況。

圖2（a）和圖2（b）分別顯示WS 和BA 網絡中未知節點（I）、傳播節點（S）和免疫節點（R）隨時間的密度變化情況。通過圖3 可以看出，未知節點的密度I（t）在初始階段迅速下降至0，表明謠言在網絡中處于快速傳播階段。隨著節點開始傳播謠言，傳播節點的密度S（t）不斷增大，當達到最高點后逐步下降至0，這意味著謠言傳播的終止。當謠言信息傳播值到達頂峰后不會再有新的傳播節點，并且之前傳播謠言信息的個體也會逐漸停止傳播。在整個過程中，免疫節點的密度R（t）不斷增大直到穩態。通過比較圖2（a）和2（b），發現BA 網絡中的傳播節點密度高于WS 網絡中傳播節點密度，BA 網絡要早于WS 網絡到達峰值。BA 無標度網絡優先連接的特性（馬太效應）造成了謠言對BA 網絡的影響大于WS 網絡。

3.2 遺忘概率g 對傳播節點免疫節點的影響

假設遺忘概率分別為γ=0.02，γ=0.04，γ=0.06，在這3 種情況下對WS 和BA 網絡中傳播節點和免疫節點的密度變化情況進行研究。

圖3（a）和圖3（b）顯示了不同遺忘率γ 下的傳播節點和免疫節點隨時間的密度變化情況，其中：μ=0.5，θ=2，β=5，c=0.3，σ=0.2，α=0.4。由模擬情況可以看出，γ=0.02時傳播節點密度最小，γ=0.06 時傳播節點密度最大，表明遺忘率γ越大傳播節點密度越大，免疫節點轉化為傳播節點的速度越快，因此遺忘概率對謠言傳播的影響不可忽視。圖3 同時反映了這樣一種現象：遺忘概率越大，謠言受到的關注度就越大，個體很容易忘記謠言信息并轉化為傳播節點，從而導致謠言傳播的時間越久，謠言的峰值越大。

Fig.3 The influence of forgetting probability γ on Spreader（S）and Removed（R）圖3 遺忘概率γ 對傳播者（S）和免疫者（R）的影響

3.3 傳播概率l 對免疫節點的影響

設置傳播概率函數λ(t)中的參數分別為μ=0.3，μ=0.5，μ=0.8，θ=2，θ=5，θ=8，β=3，β=5，β=8，研究在這幾種情況下WS 和BA 網絡中免疫節點的密度變化情況。

為研究傳播概率的時間依賴性，本文引入傳播概率函數λ(t)。隨時間變化的傳播概率函數λ(t)=的3 個參數（μ，θ和β）分別表示初始傳播概率、隨時間下降的速度和維持高傳播率的持續時間。圖4 給出λ 在不同取值情況下WS 和BA 網絡中免疫節點的密度變化情況，其中：c=0.3，σ=0.2，α=0.4，γ=0.03。圖4（a）顯示免疫節點的密度隨著初始傳播率μ的增大而增大。初始傳播率越大，初始時刻謠言信息的傳播速度越快，傳播規模就越大；圖4（b）顯示，免疫節點的密度隨著θ的增大而增大，且θ對WS 網絡中免疫節點密度的影響要大于BA 網絡；由圖4（c）可以看出，參數β會對謠言免疫節點的最終密度有影響，β越大謠言最終規模也越大。因此，為了有效地控制謠言傳播，應盡早識別謠言源和謠言信息真偽，以降低謠言的初始傳播率和傳播速度。

Fig.4 The variation curve of Removed（R）of μ，θ，β as time t changes圖4 隨著μ，θ，β 的不同，免疫者R 隨時間t 的變化曲線

3.4 未知節點的懷疑概率c 對傳播過程的影響

圖5 給出了懷疑概率參數c取不同值時，傳播節點和免疫節點在WS 和BA 網絡中隨時間的變化情況。其中：μ=0.5，θ=2，β=5，σ=0.2，α=0.4，γ=0.03。由圖5（a）可以看出，懷疑概率c越小，傳播節點的密度越小，免疫節點到達穩態的時間越晚。這表明懷疑概率越小，未知個體對謠言的關注度越低，未知節點成為傳播節點的概率越小。網絡中的節點越難感染，信息傳播就越慢，趨于穩定的時間也越長；圖5（b）表明，謠言在BA 無標度網絡上的傳播速度更快，影響范圍更廣。因此，如果要控制謠言信息的傳播范圍，應該考慮如何降低謠言關注度和提高個體安全意識，使謠言信息能夠在可控范圍內傳播。

Fig.5 The influence of skepticism mechanism c on Spreader（S）and Removed（R）圖5 懷疑機制c 對傳播者（S）和免疫者（R）的影響

3.5 SIR-CM 模型和SIR 模型比較

圖6 顯示WS 網絡和BA 網絡中免疫節點的密度變化情況。在謠言傳播初始階段，由于考慮了未知節點的免疫特征，部分未知節點在接觸到傳播節點后會直接轉化為免疫節點，此時SIR-CM 中的免疫節點密度要大于SIR 模型中的免疫節點密度。隨著謠言的進一步傳播，由于免疫節點遺忘特征的存在，謠言信息傳播的范圍減小，SIR-CM 模型相比于SIR 模型需要更多的時間達到穩態。事實上，現實社交網絡中的部分個體在得知謠言信息后會因為對謠言信息不感興趣成為免疫者，然而由于不斷與其他個體接觸和交流，其中一些個體可能會重新成為新的信息分享者。因此，SIR-CM 模型更接近現實情況。

Fig.6 Comparison of SIR-CM model and SIR model圖6 SIR-CM 模型和SIR 模型比較

4 結語

本文提出了一種新的SIR-CM 謠言傳播模型，模型主要特點如下：①考慮了社交網絡中謠言傳播概率的時間依賴性，并引入傳播概率函數λ(t)；②將未知者的懷疑機制整合到SIR-CM 模型中；③引入遺忘概率描述免疫者自身的遺忘機制。通過該研究發現免疫者遺忘概率的變化會對謠言傳播的規模產生影響，遺忘概率越大，謠言的傳播峰值越大。數值結果還表明：謠言的初始傳播概率越大，謠言的最終規模越大。通過對懷疑參數進行實驗分析發現，通過減小個體對謠言的關注度可以降低謠言的影響。對SIR-CM 模型進行實驗分析，得到模型參數對謠言信息傳播峰值和最終規模的影響，從而通過采取各種措施對有效傳播進行控制，為決策者提供謠言政策管理建議。