基于嚴格等式約束的推力分配算法研究

趙 偉，劉煥衛

（煙臺大學海洋學院，山東煙臺264005）

0 引 言

為了滿足作業要求，半潛式海洋平臺需要裝備能夠控制其位置或航行軌跡的定位裝置，常見的有錨泊定位、動力定位以及錨泊輔助動力定位。隨著海洋石油開采不斷朝著深水領域發展，錨泊定位因為自重過大等原因不再適用，而動力定位系統具有定位精度高、操作性靈活和不受水深限制等優點使其具有廣泛的應用前景。動力定位系統能夠抵抗外部環境的干擾，控制平臺在橫蕩、縱蕩以及艏搖三個自由度的慢漂移運動，使其在一定的范圍內正常作業。作為動力定位系統的執行裝置，推進器良好的推力分配結果不僅關系到平臺的定位能力，而且對節約成本特別是燃油消耗具有很重要的意義。為了滿足海洋鉆井平臺作業時的定位精度及可靠性，一般裝備有動力定位的船舶配有比常規船舶更多種類和數量的推進器，從而在硬件冗余上提高系統的可靠性，但這也給推力分配的優化帶來了新的課題。

動力定位系統主要控制海洋鉆井平臺在3 個自由度上的運動，而推進器種類和數量的增多使得輸入的維度要多于所需控制的自由度，這屬于過驅動問題。針對實時控制系統，過驅動推力分配要在采樣間隔內迅速尋找一個最優推力角和推力的組合來滿足控制器輸出的需求控制力和力矩，因此可以用最優化的方法解決過驅動系統的推力分配問題[1]。目前針對推力優化問題的解決主要分為線性二次無約束分配、線性二次約束分配以及非線性約束分配三類。序列二次規劃法是最常用的優化方法，另外也有學者將拉格朗日法、遺傳算法及模擬退火算法應用于推力分配的優化，并在優化中通過目標函數及約束條件限制每個推進器的最大推力、推力變化及推進器方向角的變化[2-7]。動力定位系統中包含多個推進器，推力分配過程中，相鄰推進器尾流相互干擾造成的推力損失可達45%以上，嚴重影響系統的定位性能和運行的經濟性[8]。為了解決這個問題，文獻[9-12]通過在推力禁區內設置推力衰減系數、在推力禁區內設置推力為零、使下游推進器的推力角始終位于推力禁區之外、設置動態推力可行域等方法，降低相鄰推進器之間的水動力干涉，但這些方法會使推力可行域變為非凸集，無法直接使用序列二次規劃法。

本文以某半潛式海洋鉆井平臺的動力定位系統為研究對象，使用基于嚴格等式約束的遺傳算法將控制器的需求控制力和力矩分配給8 個全回轉推進器，并依據環境擾動力方向的變化對目標函數進行簡化。之后通過改進遺傳算法，提高系統的運行速度及精度，并使用在推力禁區內設置推力減額系數的方法減低槳-槳干涉問題，最后通過仿真結果分析確定推力角的權值矩陣，并驗證了所提方法的有效性。

1 動力定位的推力分配

動力定位系統配有8個全回轉推進器，控制器通過比較平臺當前狀態與期望位置之間的差異，輸出需求控制力及力矩，來抵消作用于平臺的風、浪、流等環境載荷，而推力分配算法將控制力及力矩分配給8 個推進器，最后推進器通過控制轉速達到期望推力，實現動力定位的功能，系統的具體工作流程如圖1所示。

為了使所有推進器產生的合力及合力矩滿足控制器的需求控制力和力矩，推進器的推力角和推力應滿足

圖1 動力定位系統的工作流程Fig.1 Workflow diagram of the dynamic positioning system

圖2 推進器布置圖Fig.2 Layout diagram of the thrusters

推力分配在滿足控制器輸出的需求控制力和力矩的同時，應該降低系統的燃油消耗，提高運行的經濟性，系統的能耗功率可表示為

式中，KQ和KT分別為推進器的扭矩系數和推力系數，D為推進器直徑，ρ為海水密度。

1.1 建立優化模型

通過8個全回轉推進器來控制海洋鉆井平臺的3個自由度，屬于過驅動控制問題。當控制器輸出對橫蕩、縱蕩方向上的合力及艏搖方向上的需求控制力矩時，需要對8 個推進器進行協同控制，在多種推力分配的結果中選取能耗最低、推進器磨損最小的一組。同時還要約束推進器所能提供的最大推力，全回轉推進器推力角的變化速率、推進器之間水動力干涉以及避免系統奇異性等問題。因此得出推力分配的多目標優化函數為

約束條件為

1.2 嚴格等式約束

式（3）中的目標函數通過對等式約束進行松弛，來解決等式約束的優化問題，但是松弛法會導致拓撲空間發生變化，使等式無法嚴格滿足。本文采用文獻[13]提出的基于降維和排序的約束遺傳算法，來解決擁有等式約束的推力分配問題。經過降維處理的優化問題可以使等式約束嚴格滿足，進而將約束條件全部轉化為不等式約束。因為待優化的變量之間并不是獨立的，假設待優化的變量有n個，而等式約束有m個，相當于有n-m個變量是相互獨立的，另外m個變量可以通過解線性方程組，由剩余n-m個變量表達，進而在保證等式成立的前提下降低了變量數目。使用文獻[12]中的需求控制力和力矩作為本文推力分配的輸入，如圖3所示。

從圖3中橫蕩和縱蕩需求控制力可以得出，需求控制力的方向變化緩慢，說明環境載荷的方向在一定角度內緩慢變化，因此系統發生奇異時并不會影響動力定位系統的操縱性及定位能力。

圖3 需求控制力和力矩時程Fig.3 Time-history of control force and moment

圖4 槳-槳干涉示意圖Fig.4 Sketch of thruster-thruster interference

綜上所述，可將目標函數簡化為

約束條件為

1.3 設置推力減額系數

位于上游的全回轉推進器尾流會對處在同一直線上的下游推進器產生水動力干擾，使下游推進器的水流速度增大，導致推力減小，如圖4所示。在推力分配的優化中，通常采用設置推力禁區、推力衰減、在推力禁區內限制最大推力等方法來避免或減小全回轉推進器的水動力干擾問題。但設置推力禁區或者在推力禁區內限制前一個推進器的最大推力可能會降低優化效果，因此采用在推力禁區內設置推力減額系數的方法。推力減額系數與推進器的推力大小以及方向有關，前一個推進器的推力越大，則后一個推進器受水動力干擾的影響就越大，兩個推進器在x軸方向上的重疊角度越大，則影響越大。Dang等[14]研究了推進器間距和推力夾角對推力損失的影響，并總結得出了關于槳-槳干涉導致推力損失的經驗公式。推進器前后布置，推進器間距變化時推力減額系數的表達式為

式中，t 為推力減額系數，Tu為下游推進器的推力，T0為敞水系柱下推進器的推力，x 為推進器的間距。當推進器的間距固定，推進器夾角變化時導致的推力損失可表示為

式中，Φ為兩推進器之間的推力夾角，t為x/D=定值、Φ = 0時的推力減額系數。

2 改進遺傳算法

遺傳算法具有很強的全局搜索能力及很好的魯棒性能，適用于求解推力分配這種超靜定約束的優化問題。但是標準遺傳算法的局部搜索能力較弱，并且后期由于個體間的高相似度會導致種群停止進化。本章以滿足嚴格等式約束的算法為基礎，從兩個方面對標準遺傳算法進行改進來提高其優化速度及精度：一是采用基于上一時刻精英個體的均勻分布種群生成方法（改進遺傳算法1）；二是在標準遺傳算法中結合自適應算法（改進遺傳算法2）。

2.1 初始種群的生成方法

遺傳算法的時效性很大一部分取決于初始種群的精英程度。一般來講，初始種群如果擁有較高的精度和多樣性時，遺傳算法的搜索效率及收斂速度能夠得到很大的提升。但標準遺傳算法的初始種群是隨機生成的，無法保證其精英程度及多樣性。在推力分配的目標函數中，存在著對推進器推力及推力角的約束，這就導致下一時刻的推力及推力角的取值范圍必須在上一刻推力及推力角最優值的附近。本文采用遺傳算法的種群數目設為p，將上一時刻適應度最高的q（q＜p）個個體作為下一時刻初始種群的一部分，每個個體由n個變量組成。設Ui是初始種群的第i個個體，uij是Ui的第j個變量，則

另外p-q個初始種群個體采用隨機分布的方法生成，其變量可表示為

式中，ζ表示在[0,1]內的隨機數，aj和bj分別是變量uij的下限和上限，i=q+1,q+2,…,p，j=1,2,…,n。

2.2 自適應局部搜索算法

遺傳算法的性能好壞很大程度上取決于交叉算子和變異算子。交叉算子的作用是生成新的個體，對遺傳算法的全局搜索能力具有很大影響；而變異算子只是用來輔助生成新個體，但它能改變個體編碼串的結構，維持種群的多樣性，防止早熟現象的出現，并對遺傳算法的局部搜索具有很大影響。標準遺傳算法隨著進化代數的增加，種群的個體相似度會越來越大，交叉算子很難產生新的個體，這時應該動態調整交叉和變異算子，增大變異概率，減小交叉概率。所以本文使用結合自適應調整交叉和變異算子的算法來提高遺傳算法的局部搜索能力，進而提高推力分配的優化精度。

在進化中，以適應度的變化來改變交叉和變異的概率。設群體的最佳適應值為gmax，當代最佳的適應值為fmax，當代的平均適應值為favg；設定兩個交叉概率和兩個變異概率，分別為Pcmax、Pcmin和Pmmax、Pmmin。則具體的算法為

if g＞k

otherwise

式中，g是fmax與gmax的比值，k是設定的閾值，i是進化代數，m是總的進化代數。

3 仿真結果及分析

以某半潛式海洋鉆井平臺為研究對象，其參數如表1所示。推進器選用文獻[15]給出的W-B4-70型導管螺旋槳，其推進功率為4 600 kW，系柱狀態下推力系數KT=0.445，扭矩系數KQ=0.06，直徑D=4 m，Tmax=540 kN，Tmin=0 kN，螺旋槳轉速變化率為±0.2 s-2，則推力變化率范圍為ΔT=±4.67 kN/s，轉角變化率范圍為Δα=±1°/s。為增大相鄰推進器的間距，降低水動力干涉問題，將每組推進器進行錯位安置，如圖2所示。當推進器在系柱狀態下距離上游推進器3倍直徑時，其尾流速度分布為沿軸線向兩側逐漸減小，尾流的影響范圍約為推進器的2倍直徑[16]。因此本文取θ=36°，所有推進器的位置坐標及推力衰減界限如表2所示。

海洋鉆井平臺的動力定位系統配備有8臺全回轉推進器，目標函數的自變量有16個，但經過降維處理，6～8號推進器的推力可由其他變量表示，所以目標函數的最終自變量為13個。遺傳算法的最大進化代數為200，種群數量為100，將上一時刻最優的20個個體作為下一時刻初始種群的一部分。k為0.9，Pcmax為0.8，Pcmin為0.6，Pmmax為0.04，Pmmin為0.02，自變量離散精度eps為0.1。

表1 某海洋鉆井平臺參數Tab.1 Parameter of an offshore drilling platform

表2 推進器參數Tab.2 Thruster parameters

3.1 權值矩陣的確定

因為簡化后的目標函數共有兩項，即動力定位系統既要降低能源消耗，提高運行的經濟性，又要減小推進器的磨損。設推力角的權值矩陣Ω =K×I8×8，比較單位采樣時間內，不同K值下推進器的平均轉動夾角和總功率消耗之間的差異，分別如圖5和圖6所示。

圖5 權值矩陣對推進器能耗的影響Fig.5 Influence of weight matrix on thruster energy consumption

圖6 權值矩陣對推進器磨損的影響Fig.6 Influence of weight matrix on thruster abrasion

表3 K值對推進器能耗和磨損的影響Tab.3 Effect of K-value on propeller energy consumption and abrasion

從圖5 和圖6 中可以看出，隨著K 值的增大，動力定位系統的能耗增加，而推進器的磨損減小，因此兩者存在一定的沖突關系，需要選擇一個折中方案，確定權值矩陣的大小。計算得出不同K值下推進器能耗和磨損在整個時域內的平均值，如表3所示。

基于此，本文選取K=1 500，即Ω =1 500×I8×8。

3.2 改進遺傳算法的效果

為了驗證改進遺傳算法的有效性，取圖3 第20 s 時的需求控制力及力矩作為輸入，比較改進遺傳算法和標準遺傳算法在優化進程方面的差異，如圖7所示。之后將圖3在整個時程內的需求控制力及力矩作為輸入，繼續研究改進遺傳算法對優化結果的影響，優化結果如圖8 所示。其中圖7 和圖8 中的數據為多次仿真實驗的平均值。

從圖7中可以看出，改進遺傳算法1的初始種群精英程度明顯高于改進遺傳算法2和標準遺傳算法，且前期收斂速度快；而改進遺傳算法2 的最終收斂精度高于改進遺傳算法1 和標準遺傳算法。另外從圖7 中可以得出，改進遺傳算法2 的優化效果最好，通過統計三種算法在整個時程內目標函數的平均值，發現改進遺傳算法1 的優化結果比標準遺傳算法高0.81%，改進遺傳算法2 的優化結果比標準遺傳算法高3.09%。

圖7 改進遺傳算法對優化進程的影響Fig.7 Influence of improved GA on the optimization process

圖8 改進遺傳算法對優化結果的影響Fig.8 Influence of improved GA on the optimization results

3.3 推進器推力角和推力的時程變化

定義#1～#4 推進器的初始推力角分別為30°、150°、210°、330°，#5～#8 推進器的初始推力角分別為60°、120°、240°、300°。將建立的推力分配模型導入改進的遺傳算法中，得出推力角和推力的分配結果如圖9所示，單位采樣時間內推力角和推力的變化如圖10所示。其中，圖9中陰影部分為上游推進器對下游推進器造成推力損失的區域。

圖9 推進器推力和推力角的時程變化Fig.9 Time-history variation of the thrust and thrust angle

圖10 單位采樣時間推力角和推力的變化Fig.10 Thrust angle and thrust change during each unit sampling time

圖9（a）和圖9（b）分別表示第一組推進器推力角和推力的時程變化，當#5推進器推力角位于陰影區域作為上游推進器對#1 推進器造成水動力干涉時，相比于敞水立柱狀態，#1 和#5 推進器之間的推力夾角Φ 會增大，且#1 推進器的推力會減小，從而降低推力損失。圖9（c）和圖9（d）分別表示第二組推進器推力角和推力的時程變化，#6推進器作為上游推進器僅僅在開始的極短時間內位于陰影區域，并沒有對#2推進器造成水動力影響。圖9（e）和圖9（f）分別表示第三組推進器推力角和推力的時程變化，與第一組推進器類似，相比于敞水立柱狀態，#7 推進器推力角位于陰影部分時會使兩推進器之間的推力夾角Φ 增大，且#3推進器的推力減小，從而降低推力損失，另外#3和#7推進器的推力在整個時程內都很小，說明這組推進器的推力角與環境擾動方向大致相同。圖9（g）和圖9（h）分別表示第四組推進器推力角和推力的時程變化，當#8 推進器推力角位于陰影部分時，#4 和#8 推進器之間的推力夾角Φ并沒有增大，這是因為此時#8推進器作為上游推進器的推力非常小，基本不會對下游推進器造成推力損失。

從圖10中可以看出，單位采樣時間內，推進器的轉動夾角較小，說明推力角的權值矩陣選取得當，推進器的磨損較小。另外，單位采樣時間內推力變化未超過±4.67 kN/s，轉動夾角變化未超過±1°/s，符合式（6）給出的推力及推力角的約束條件。

4 結 論

本文提出了一種基于嚴格等式約束的改進遺傳算法對海洋平臺進行推力分配的優化。該方法解決了優化算法對等式約束的求解問題，并具有較高的優化速度及收斂精度。在簡化目標函數的基礎上建立了最優推力分配模型，并通過仿真得出一些結論：

（1）在標準遺傳算法的基礎上，采用繼承上一時刻精英個體的初始種群生成方法，能夠提高初始種群的精英程度和算法的收斂速度；自適應交叉和變異算子能夠提高優化結果。

（2）隨著推力角權值矩陣的增大，動力定位系統的能耗會增加，而推進器的磨損會減小，因此兩者存在一定的沖突關系，需要選擇一個折中方案，確定權值矩陣的大小。

（3）針對設置推力減額系數的方法，當下游推進器位于上游推進器的推力衰減區域時，相比于敞水立柱狀態，兩推進器的推力夾角會增大，且下游推進器的推力會降低，說明該方法能在一定程度上避免推力衰減，提高系統運行的經濟性。通過對比結果表明，該方法在解決推力分配的優化問題上是有效的。