多徑環境下異步長碼直接序列碼分多址信號偽碼序列及信息序列盲估計

周 楊 張天騏

(重慶郵電大學信號與信息處理重慶市重點實驗室 重慶 400065)

1 引言

直接序列碼分多址(Direct-Sequence Code division Multiple Access, DS-CDMA)技術因其抗干擾性強、保密性好等優點被廣泛應用在通信、測控、雷達、遙控等領域[1]。且在非協作通信中，如：無線電監測、通信對抗等，由于接收方并不知道信號調制所用的擴頻碼，即使截獲到DS-CDMA信號，也難以獲取信號中的有用信息。因此，有效估計DS-CDMA信號的偽碼序列及信息序列是當前通信領域的研究重點之一。

目前，針對DS-CDMA信號偽碼序列及信息序列估計的研究方法主要集中在短碼擴頻(即1周期偽碼序列僅由1位信息碼調制而成)上，而長碼擴頻DSCDMA信號(即1周期偽碼序列由多位信息碼間隔調制而成)的研究較少。如：迭代最小二乘算法[2,3]、3階相關算法[4-6]、奇異值分解或特征值分解算法[7,8]、信號子空間算法[9]、最大似然估計算法[10]、MUSIC算法[11]和FAST-ICA算法[12]。其中，文獻[2,3]采用迭代最小二乘投影法實現短碼DS-CDMA信號各用戶偽碼序列的估計，但是該方法在估計長碼DSCDMA信號偽碼序列時，估計性能容易受缺失數據影響。文獻[4-6]提出了矩陣填充和3階相關的估計方法，該方法首先將長碼DS-CDMA信號建模為含缺失數據的混合矩陣形式，再利用延時3階相關的方法實現了各用戶長碼擴頻碼序列的估計，但是該方法僅僅適用于m序列估計，無法估計其它類型的偽碼序列，如：Gold序列和M序列等，存在一定局限性。文獻[7]采用特征值分解法估計DS-CDMA信號各用戶的偽碼序列，但該方法在各用戶功率相近的情況下，會得到兩個近似的特征值，導致無法準確提取出主特征向量，從而影響估計性能。文獻[9]利用信號子空間投影算法實現DS-CDMA信號各用戶偽碼序列的盲估計，但由于批處理數據矩陣，導致計算復雜度高。文獻[12]利用Fast-ICA算法估計信號的偽碼序列，但由于盲源分離過程中會進行白化處理，從而在低信噪比條件下無法準確地提取主分量，導致估計性能下降。此外，已有的對DS-CDMA信號中的偽碼估計方法的研究都是在理想信道下進行的，而實際的無線信道大多都是多徑環境[13,14]。因此，研究該信號在多徑環境下的序列估計具有重要意義。

針對多徑異步長碼DS-CDMA信號序列盲估計問題，本文提出一種基于缺失平行因子(PARAllel FACtor, PARAFAC)的多通道模型，并利用正則交替最小二乘法估計出各用戶的偽碼序列及信息序列。

2 多徑長碼DS-CDMA信號多通道接收模型

在非協作DS-CDMA通信系統中，假設有 U個用戶且使用R 個接收通道接收信號，且各用戶之間、各接收通道之間相互獨立。則多徑長碼DS-CDMA信號多通道接收模型如圖1所示。

則第 r個通道接收的信號經過離散采樣后可表示為

圖1 多通道接收模型

圖2 萊斯信道的功率譜密度及包絡分布

由式(3)可知，多徑異步短碼DS-CDMA信號的第r 個通道的接收信號矩陣可表示為，其維數為P × Mˉ。現將多徑異步長碼DS-CDMA信號的第r 個通道的接收信號xr(n)表示成矩陣形式，則對于n ∈{0,1,···,N -1}， 令矩陣Xr和 Zr的 第(mod(n,P)+1)行 、第( 「n/G?+1)列 元素分別為xr(n)和1，其余元素為0，表示該元素缺失了。因此， Xr和Zr分別為的缺失數據矩陣和加權矩陣，則有

式(4)中，“ ⊙”為點乘運算[15]。因此，對于所有R個接收通道，有

式(5)中， Xˉ 和 X 分別為多徑異步短碼DS-CDMA信號和多徑異步長碼DS-CDMA信號的3維矩陣，其在接收增益矩陣方向上的第 r 個切片分別為和Xr。 同理，Z 的第r 個切片為Zr。

3 多徑異步長碼DS-CDMA信號的偽碼序列及信息序列盲估計

3.1 多徑異步長碼DS-CDMA信號的缺失平行因子模型及可辨識性條件

式(6)中

由式(8)可知，2pi中包含完整的偽碼序列，1pi和3pi分別包含偽碼序列的左和右子序列。結合式(4)可知第r 個通道的接收信號矩陣為

式( 8 ) 中， P =[p1p2p3]2P×3U; A=diag[a a a]3U×3U， 其 中a =diag[ar,1ar,2···ar,U];

平行因子模型是一種3線性分解模型[16]，即將3維矩陣向3個剖面進行投影使其轉化為2維矩陣的過程，利用平行因子模型對多徑異步短碼DSCDMA信號矩陣X ˉ =P ABH進行低秩分解可得[17]

式(11)中， pi, ai和bi分別是矩陣 P , A 和 B的第i 列；U′表示該3維矩陣X ˉ 的秩，即U′=3U。

由式(5)、式(10)和式(11)可知，多徑異步長碼DS-CDMA信號可以等效為缺失平行因子模型，即

將3維矩陣 X分別投影在 P， B和 A方向上，可得剖面矩陣XP，XB和XA分別為

式(12)-式(15)中，“? ”是矩陣的Khatri-Rao積[18]。

由于3維矩陣在分解時需要具有可辨識性，即3維矩陣的低秩分解要唯一，則3個加載矩陣 P，A和B 須滿足

式(16)中，KP, KA和KB分 別表示矩陣 P, A和 B的Kruskal秩[18]。因矩陣 P, A和 B均為列滿秩矩陣，且在實際的DS-CDMA通信系統中， M ˉ ?U′，故式(16)可簡化為

由于本文考慮的是異步長碼DS-CDMA信號，則U′=3U ≥2恒 成立，只要接收通道R ≥2，式(17)均成立，這表明理論上僅通過2個通道對異步長碼DS-CDMA信號進行接收，即可完成任意用戶的異步長碼DS-CDMA信號的盲解擴。此外，由式(16)可知，當3個加載矩陣(偽碼序列矩陣 P、增益矩陣A 、信息序列矩陣 B)滿足可唯一辨識條件，具有可唯 一辨識性，本文算法收斂(相關證明可參考文獻[3])。

3.2 正則交替最小二乘算法

3維矩陣的低秩分解常采用交替最小二乘法實現[3]，但是交替最小二乘法在迭代的過程中可能會出現慢收斂，或者陷入局部最優，需要經過漫長迭代才能收斂的情況。為了避免發散或慢收斂問題，本文提出正則交替最小二乘法實現異步長碼DS-CDMA信號的序列估計，即對交替最小二乘的目標函數正則化，則由式(14)可得正則交替最小二乘的分離優化目標函數為

式(19)中，“ ⊙”為矩陣的Hadamard積；[ ·]?為對矩陣的Moore-Penrose逆[19]。

同理，根據式(13)和式(15)可得接收通道增益矩陣 A 及信息序列矩陣 B的正則化最小二乘解分別為

將接收到的長碼DS-CDMA信號等效為短碼DS-CDMA信號的缺失平行因子模型后，使用正則交替最小二乘算法對缺失數據的3維矩陣進行低秩分解。由于缺失元素為0，因此在迭代的過程中需要用插補法對缺失元素進行補償。即在下一次更新迭代之前，需要將缺失3維矩陣中的缺失元素，按一一對應方式替換成上一次迭代更新所得的插補3維矩陣 O 中相對應位置上的元素，從而獲得元素不為0的3維矩陣。然后繼續更新迭代，直至算法收斂，具體步驟如下：

步驟 1 將接收的異步長碼DS-CDMA信號虛擬成含缺失數據的短碼DS-CDMA信號，然后分段得到觀測缺失數據矩陣。

步驟 2 將觀測缺失數據矩陣建模成缺失平行因子模型，按式(11)～式(13)進行空間上的投影得到3個加載矩陣XP, XB和XA。

步驟 3 隨機初始化正則化因子 λ0及加載矩陣P0, B0和A0。

步驟 4 迭代次數 α初始值為0，令α =α+1，計算第 α -1次 的插補3維矩陣O(α-1)，再利用插補法對缺失元素進行補償

步驟 5 依次計算矩陣 A, B 和 P 的第α 次迭代值，分別為

當| ρ|≤ε (一般取ε =10-8)時，算法迭代結束，輸出此時的加載矩陣 Pα和Bα，即可估計出異步長碼DS-CDMA信號的偽碼序列及信息序列；當|ρ|＞ε時，返回步驟4，繼續迭代直至滿足該判決條件。

若λα≡0，則上述算法退化為普通的交替最小二乘算法。以加載矩陣 Aα的迭代為例，本文算法相比交替最小二乘法的改進主要體現在以下兩個方面：

(1) 引 入 λα-1I 項，可以 避 免Pα-1HPα-1⊙Bα-1HBα-1項因奇異引起的數值穩定問題。

(2) 引入λα-1Aα-1項 ，通過λα-1的加權作用使得 Aα在 迭代更新過程中與Aα-1弱相關，可以防止Aα發生跳變。

4 仿真及結果分析

式(26)中， ni表 示第i次蒙特卡洛仿真中偽碼序列的錯誤估計個數； U為用戶數； P 為偽碼周期； D為蒙特卡洛仿真的次數。

實驗1對接收的多徑異步長碼DS-CDMA信號進行分段，假設分段數L ˉ=1000， 多徑路數L =3，通道數 R=4 ，用戶數U =2 ，偽碼周期P =127，信息碼元寬度G =70， 信噪比S NR=-7 dB，失步時間τu為 [ 0,P]內 的隨機整數，萊斯因子K =10，對多徑異步長碼DS-CDMA信號進行仿真得到各用戶偽碼序列估計值如圖3及圖4所示。

由圖3可知，以2倍偽碼周期并重疊1倍偽碼周期的時間窗對接收的多徑異步長碼DS-CDMA信號分段后，每個用戶的偽碼序列都存在3個子序列，圖3(a)中的偽碼子序列2和圖3(b)中的偽碼子序列5表示1周期完整的偽碼序列，圖3(a)中的偽碼子序列1和圖3(b)中的偽碼子序列4表示偽碼周期序列的左子序列；圖3(a)中的偽碼子序列3和圖3(b)中的偽碼子序列6表示偽碼周期序列的右子序列，這與3.1節的理論分析一致，且將圖3(a)中的偽碼子序列1和偽碼子序列3進行拼接即可得到圖3(a)中的偽碼子序列2；同理，將圖3(b)中的偽碼子序列4和偽碼子序列6進行拼接也可得到圖3(b)中的偽碼子序列5。由圖4可知，多徑異步長碼DS-CDMA信號2用戶偽碼序列的估計值與真實值相一致，說明本文所提算法的有效性。

實驗2在信息碼元寬度 G 不同的情況下，對比多徑異步長碼DS-CDMA信號的偽碼序列估計性能，取信息碼元寬度G =70, 90, 110， 用戶數U =6，其它條件與實驗1一致，進行200次蒙特卡洛仿真，結果如圖5所示。

由圖5可知，信息碼元寬度 G越大，多徑異步長碼DS-CDMA信號偽碼序列的估計錯誤概率越小，估計性能越好。這是由于 G越大，缺失數據矩陣 X缺失的元素越少，利用插補法對信號進行補償時其效果也越好。

圖3 多徑異步長碼DS-CDMA信號2用戶偽碼序列估計值

圖4 多徑異步長碼DS-CDMA信號2用戶偽碼序列估計值與真實值對比

圖5 不同G 值下的估計性能

實驗3在通道數 R 和用戶數U 不同的情況下，對比多徑異步長碼DS-CDMA信號的偽碼序列估計性能，取通道數 R=4, 6, 8 ，用戶數U =4, 6，其它條件與實驗1一致，進行200次蒙特卡洛仿真，結果如圖6所示。

由圖6可知，用戶數 U 的增加會導致估計性能下降，但通道數 R的增加卻能使估計性能得到提升，這是由于通道數 R的增加可以更好地讓缺失平行因子進行低秩分解。此外，通道數的增加會使得矩陣的維數變大，從而導致計算復雜度增大。因此，在實際的DS-CDMA通信系統中，通道數的最優值要根據系統性能與系統復雜度來均衡決定。

實驗4考慮多徑信道對長碼DS-CDMA信號偽碼序列估計性能的影響，取萊斯因子K =0.00001,1, 10 ， 用戶數U =6，其它條件與實驗1一致，進行200次蒙特卡洛仿真，偽碼序列的估計性能曲線如圖7所示。

由圖7可知，多徑異步長碼DS-CDMA信號偽碼序列的估計性能與萊斯因子 K密切相關。隨著萊斯因子 K的增大，偽碼序列的估計錯誤概率減小。這是因為萊斯因子 K的增大能使接收到的多徑信號存在主導分量，在一定程度上可以抑制干擾，從而使得估計性能變好。

實驗5對比本文算法與文獻[12]所提的Fast-ICA算法的估計性能，數據組數 Lˉ分別取1000和2000，用戶數U =6，其它條件與實驗1一致，進行200次蒙特卡洛仿真，偽碼序列和信息序列的估計性能曲線分別如圖8和圖9所示。

由圖8和圖9可知，文中算法估計多徑異步長碼DS-CDMA信號偽碼序列及信息序列的錯誤率低于Fast-ICA算法。尤其是在信噪比 S NR=-15dB的條件下，文中算法的估計性能遠優于Fast-ICA算法，其主要原因是Fast-ICA算法在盲源分離過程中會進行白化處理，而在低信噪比條件下，白化處理會影響主分量的準確提取，從而影響估計性能。此外，Fast-ICA算法需要先估計出所有用戶的偽碼序列，然后才能對應地估計出各用戶的信息序列，存在誤差傳遞現象，而本文算法可以直接估計出各用戶的信息序列。

圖8 不同算法和不同數據組數下偽碼序列估計性能對比

5 結束語

本文首先將接收到的傳統單通道多徑異步長碼DS-CDMA信號建模為多通道接收模型；其次將長碼DS-CDMA信號建模成短碼DS-CDMA信號的缺失數據模型，并將分段后得到的觀測缺失數據矩陣建模為缺失平行因子模型；最后，再利用正則交替最小二乘算法實現多徑異步長碼DS-CDMA信號偽碼序列及信息序列的盲估計。所給的仿真實驗結果表明，在萊斯因子K =10，多徑路數為3，通道數為4，用戶數為6，信噪比大于-10 dB的條件下，偽碼序列及信息序列的估計錯誤率均低于1%。