考慮擾動及模型不確定的無人船路徑跟蹤控制
2021-04-25 15:05:37欒天宇張玉峰張成偉許萌萌田甜
電腦知識與技術 2021年9期
欒天宇 張玉峰 張成偉 許萌萌 田甜
摘要：針對外界擾動與模型不確定因素影響下的無人船路徑跟蹤控制問題，引入Serret-Frenet坐標系對無人船的路徑跟蹤問題進行數學描述，根據給定的期望跟蹤路線與當前無人船的位置信息，利用李雅普諾夫直接法設計無人船航行速度與航向角度的期望值作為路徑跟蹤的虛擬控制律，通過設計滑模控制器實現對虛擬控制量的誤差跟蹤控制，通過設計切換函數避免無人船的控制量出現飽和或抖振現象，進而降低模型不確定及干擾對路徑跟蹤控制的影響。仿真實驗表明，設計的控制器可在外界時變擾動與模型不確定的前提下完成對給定路線的理想跟蹤。
關鍵詞：無人船;路徑跟蹤;滑模控制;虛擬控制律;李雅普諾夫直接法
中圖分類號：TP273? ? ?文獻標識碼：A
文章編號：1009-3044（2021）09-0223-04
開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：
Path Following Control of USV Considering Disturbance and Model Uncertainty
LUAN Tian-yu， ZHANG Yu-feng， ZHANG Cheng-wei， XU Meng-meng， TIAN Tian
（Systems Engineering Research Institute， China State Shipbuilding Corporation Limited， Beijing 100036， China）
Abstract： Aiming at the problem of path following control of USV under the influence of external disturbance and model uncertainty， Serret-Frenet coordinate system is introduced to describe the path tracking problem of USV. According to the given expected tracking route and current position information of USV， the expected value of speed and heading angle of unmanned ship is designed by Lyapunov direct method as the virtual path tracking The pseudo control law realizes the error tracking control of the virtual control variables by designing the sliding mode controller. The switching function is designed to avoid the saturation or chattering of the control variables of the unmanned ship， so as to reduce the influence of model uncertainty and disturbance on the path tracking control. The simulation results show that the designed controller can complete the ideal tracking of a given route under the premise of external time-varying disturbance and model uncertainty.
Key words： USV; path following; sliding mode control; The pseudo control law; Lyapunov direct method
無人船（USV）運動控制技術是實現無人船智能、可靠運行的關鍵技術，要想使無人船可以按照既定的航線穩定、可靠地運行，就必須在運動控制技術上有所突破[1]。其中路徑跟蹤控制是無人船運動控制領域最為廣泛的應用。通過設計合適的控制算法，在運行過程中對無人船的航速、航向進行控制，可使無人船沿著規劃好的航線穩定航行。但在實際運行的過程中，無人船會受到風、浪、洋流等外部擾動的影響，而這些擾動的不確定性將導致無人船運動的非線性、時滯性以及大慣性;與此同時，無人船搭載的設備多少、無人船的實時航速會引起無人船運動過程中的參數攝動，參數的攝動使無人船的運動模型具有較大的不確定性[2];在外部的擾動以及模型的不確定性的影響下，無人船運動控制的魯棒性會受到較大的影響。因此，在考慮擾動以及參數不確定情況下，對無人船的路徑跟蹤控制算法開展設計與研究是實現無人船智能化、高可靠性的關鍵，具有十分重要的工程意義。
實現路徑跟蹤最常用的控制方法是基于視距（LOS，Line of Sight）的PID控制方法[3]，但該方法只能實現對偏航距和航向的大致整定，在無人船實際運行過程中所存在的不確定參數攝動以及外界干擾使該方法的作用下的實際路徑與預定路徑相比仍存在著較大誤差。隨著控制科學的不斷發展，越來越多的控制方法被應用于無人船的路徑跟蹤問題上來。吳玉平[4]等人利用無人船與已知路徑的偏航距離以及無人船與航點連線的偏差值來確定無人船的實時運行狀態，并針對直流電機驅動下的帶有雙螺旋槳的水面無人艇提出了一種基于模糊控制的直線路徑跟蹤方法，驗證了該方法的有效性，但模糊控制在實際系統中較難進行應用。Ronghui LI[5]等人考慮到了欠驅動船舶的執行機構限制以及未知擾動，將滑模控制方法（SMC）與ADRC方法進行結合，實現了對路徑跟蹤過程中的因風浪造成的偏航距誤差的消除，設計出了具有較強魯棒性的路徑跟蹤控制器，但ARDC的參數較難進行整定，因此在工程實現中較為困難。
為此本文通過引入Serret-Frenet坐標系對無人船的路徑跟蹤問題進行數學描述，根據給定的期望跟蹤路線與當前無人船的位置信息，利用李雅普諾夫直接法設計無人船航行速度與航向角度的期望值，作為路徑跟蹤的虛擬控制律，充分考慮外界擾動與模型參數的不確定性，通過設計滑模控制器實現對虛擬控制量的跟蹤控制，避免無人船的控制量出現飽和或抖振現象，進而降低模型不確定及干擾對路徑跟蹤控制的影響。
1無人船路徑跟蹤控制數學模型
1.1無人船運動控制模型
考慮如下3自由度無人船運動控制模型[6]：
[η=R（η）vMv+C（v）v+D（v）v=τ+τd]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）
其中：
[M=m-Xu000m-Yν000Izz-Nr=m11000m22000m33D=-Xu000Yν000Nr=-d11000d22000d33C（ν）=00-mv+Yvv00mu-Xuumv-Yvv-mu+Xuu0=00-m22v00m11um22-m11u0]（2）
無人船的3自由度由[η=x，y，ψ]、[v=u，v，r]描述，其中[η]表示無人船在水平面內的坐標位置及艏搖角。[v]表示無人船的縱向速度、橫向速度以及角速度。在3自由度的無人船控制中，[τ=τu0τrT]表示無人船的縱向推進力與偏航力矩，由推進器與舵來控制無人船的位置及艏搖角，因此，無人船的3自由度平面運動數學模型是一種典型的欠驅動控制模型。
1.2平面曲線的S-F坐標系
考慮章節1.1中提出的無人船3自由度平面運動數學模型，如圖1所示，給定一條曲線C作為無人船運行的期望路徑，且C可由路徑參數[θ=f（t）]唯一確定，[Ob]為無人船船體坐標系的原點，[Qd]為路徑C上的位置跟蹤參考位置點，以[Qd]點為原點，以[Qd]點下參考路徑的切向量和法向量為坐標軸建立Serret-Frenet坐標系[XsfQdYsf]，記為{SF}坐標系。設路徑參考點[Qd]沿參考路徑運動的速度為[Uq]，{SF}坐標系的[xsf]軸與大地坐標系[x]軸的夾角為[ψsf]。則{SF}坐標系下的參考路徑可被描述為：[Qd（θ）=xd（θ），yd（θ）T]，其中[θ]為期望路徑的路徑參數。則根據圖2有：
[Qd=xdyd=Rq（ψsf）Usf0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）
式中，
[Rq（ψsf）=cosψsf-sinψsfsinψsfcosψsf]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）
為轉換矩陣，可將大地坐標系{E}下的期望路徑點速度[Uq]轉換至{SF}坐標系下的速度，[ψsf=arctan（y′d（θ）/x′d（θ））]為點[Qd]處的期望路徑C的切向量與大地坐標系[x]軸的夾角，向量[Uq0T]為期望路徑點在{SF}坐標系下的運動速度。
注1：[x′d（θ）]、[y′d（θ）]表示期望路徑的坐標對路徑參數[θ]的一階導數;[xd]、[yd]表示期望路徑的坐標對時間t的一階導數。
1.3無人船平面路徑跟蹤控制數學模型
考慮章節1.1所建立的無人船欠驅動3自由度平面運動數學模型，由于無人船存在一定的側向速度，因此此時的艏搖角與航跡角之間存在一個夾角[β=arctan（v/u）]。
設無人船的艏搖角為[ψ]，在實際運行過程中，無人船的橫向速度遠遠小于無人船的縱向速度，因此可近似忽略無人船的橫向速度，此時，無人船艏搖角與航跡角重合。假設某一時刻無人船位于大地坐標系下的點[Q]，無人船在大地坐標系下的運動滿足以下公式：
[Q=xy=R（ψ）u0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）
其中，[R（ψ）=cosψ-sinψsinψcosψ]為大地坐標系到船體坐標系{B}的轉換矩陣，向量[[u0]T]為無人船在{B}坐標系下的速度。
則此時，在{SF}坐標系下，無人船的航向角誤差可以描述為：[ψr=ψ-ψsf]。位置誤差可描述為：
[σ=[e1e2]T=RqT（ψsf）（Q-Qd（θ））]? ? ? ? ? ? ?（6）
其中，[e1]為{SF}坐標系中沿[Qd（θ）]切線方向的位置誤差，[e2]為{SF}坐標系中沿[Qd（θ）]切線垂直方向的位置誤差，即偏航距。
由于[RqT（ψsf）=Rq（ψsf）=1]，因此對上式兩端同時取范數可以得到下式：[Q-Qd（θ）→0?σ→0?e1e2→0]，由此可知，通過控制誤差[e1]、[e2]可以實現無人船運動位置點[Q]對期望路徑點[Qd]的跟蹤，進而，可將控制目標轉化為：通過將{SF}坐標系下的橫縱方向的位置誤差收斂至零，使無人船從當前位置跟蹤到期望路徑點，從而使無人船與期望路徑的位置誤差收斂至零。
2考慮擾動、模型不確定下的無人船路徑跟蹤控制
2.1無人船路徑跟蹤虛擬控制律設計
對于章節1.3描述的Serret-Frenet坐標系下的路徑跟蹤問題，可將跟蹤位置誤差定義為：
[σ=[e1e2]T=RqT（ψsf）（Q-Qd（θ））]? ? ? ? ? ? （7）
如圖2所示，其中[e1]、[e2]分別代表{SF}坐標系下的橫縱位置誤差，[RqT（ψsf）]為大地坐標系到{SF}坐標系的轉換矩陣，[Q]描述了無人船的當前時刻位置，[Qd（θ）]描述了由參數[θ]確定的期望路徑。忽略無人船運動的橫向速度影響，令[ψd]表示經過設計后無人船的期望航向，[ud]表示經過設計后無人船的期望速度。
取李亞普諾夫函數：
[V=12σTσ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）
對李亞普諾夫函數求導有：
[V=σTσ=σT（RTq（ψsf）（Q-Qd（θ））+RTq（ψsf）（Q-Qd（θ）））]（9）
進一步可將原式轉化為：
[V=σTσ=σT（Rq（ψd-ψsf）ud0-usf0）=e1（udcos（ψd-ψsf）-usf）+e2udsin（ψd-ψsf）]（10）
因此，可根據李亞普諾夫第一方法，通過設計虛擬控制，使[σ→0]，且系統為一致全局漸進穩定。為使誤差[e1]收斂至零，設計{SF}坐標系下的虛擬速度控制[usf=udcos（ψd-ψsf）+ke1e1]，其中[ke1]>0為待設計參數。由于{SF}坐標系中的路徑點的切向速度可表示為：[usf=θx2（θ）+y2（θ）]，因此，當路徑參數[θ]以下式方式進行更新時，可以使誤差[e1]收斂至零。
[θ=udcos（ψd-ψsf）+ke1e1x′d（θ）+y′d（θ）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）
將式[usf=udcos（ψd-ψsf）+ke1e1]代入式中，可得：
[V=-ke1e12+e2udsin（ψd-ψsf）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）
為進一步對橫向誤差（即偏航距誤差）[e2]進行收斂，將虛擬控制[ud]、[ψd]進行如下設計：
[ud=kue22+Δ2ψd=ψr+ψsf=arctan（-e2/Δ）+arctan（y′d（θ）/x′d（θ））] （13）
其中，[ψr=arctan（-e2/Δ）]為設計后的無人船期望航向與當前{SF}路徑點的速度角[ψsf]的差值，[Δ]>0表示無人船在航行過程中在期望路徑點切線方向的可視距離，是需要設計的參數。將上式代入式（10）中可得：
[V=-ke1e12+e2udsin（ψr）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）
當[ψr→0]時，[ψr=arctan（-e2/Δ）=arcsin（-e2/e22+Δ2）]，因此上式化為：
[V=-ke1e12-kue22]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）
因此，在路徑參數[θ]以式所述的自適應律進行更新的情況下，當按照式對無人船的速度和期望運行角度進行設計時，可以在有限時間內使{SF}坐標系下的橫縱距離誤差收斂至零并達到漸進穩定狀態，從而使無人船跟隨期望路徑進行運動。
2.2無人船路徑跟蹤滑模控制器設計
根據上一章節所述，當設計的虛擬控制律滿足式（13）時，可以將無人船路徑跟蹤控制問題轉化為：通過輸入系統控制變量[τ=τu0τr]，使無人船的縱向速度[u]與艏搖角[ψ]分別滿足[u→ud，ψ→ψd]。可以使速度與期望速度誤差以及航向角與期望航向角誤差收斂至零，即可以完成無人船的路徑跟蹤控制。
（1）縱向速度滑模控制器
定義縱向速度誤差變量[ue=u-ud]。其中[ud]為章節3.1中所設計的縱向速度控制律，控制目標為通過設計滑模控制器使無人船的速度跟蹤上期望的控制律速度[ud]。
選取滑模面
[S1=ue+ω1ue（τ）dτ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）
對滑模面求導，令[S1]=0可得對縱向速度的等效控制量為：
[τueq=m11（ud-ω1ue）-m22vr+d11u]? ? ? ? ? ? ? ?（17）
考慮無人船的模型參數存在攝動，在參數攝動的情況下，將縱向速度的期望控制量改寫為下式：[τueq=m11（ud-ω1ue）-m22vr+d11u]。其中，[mii，dii]為參數[mii，dii]的估計值，且滿足[mii-mii≤Mii，dii-dii≤Dii，i=1，2，3]，其中[Mii，Dii]為參數估計值的上界。
選取切換控制律：[τuswit=-αusgn（S1）]，其中[αu]為切換控制律參數。
則最終的縱向速度控制量為：
[τu=τueq+τuswit]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）
選取李亞普諾夫函數，
[][Vu=12m11S12]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（19）
對其求導可得：
[Vu=m11S1S12=S1（ω1m11ue+τu+m22vr-d11u-m11ud+τwu）=S1αu-αuS1]（20）
當縱向速度控制器切換律參數[αu]進行如下取值時：
[αu=ω1M11ue+M22vr+D11u+M11ue+γ1+τwumax]（21）
其中，[γ1]>0。從而有[Vu≤-γ1S1]，因此設計的動態滑模面具有可達性，且速度誤差變量是漸進穩定的。
（2）轉矩滑模控制器
令艏搖角方向誤差[ψe=ψ-ψd]，其中[ψd]為章節中所設計的艏搖角虛擬控制律，控制指標為設計具有可達性的動態滑模面，使無人船艏搖角誤差沿動態滑模面收斂至零點附近，且達到漸進穩定狀態。
定義艏搖角滑模面
[S2=ω2ψe+ψe+ηψe（τ）dτ，ω2>0，η>0]? ? ? ? ? ? ? （22）
對上述艏搖角滑模面求導，令[S2=0]可得到艏搖角的等效控制律為：：
[τreq=-（m11-m22）uv+（d33-ω2m33）r+ω2m33ψd+m33ψd+ηm33ψd]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）
選取切換控制律：[τrswit=-αrsgn（S2）]，其中[αr]為切換控制律參數。
則最終的縱向速度控制量為：
[τr=τreq+τrswit]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（24）
選取李亞普諾夫函數，
[][Vr=12m33S22]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （25）
對其求導可得：
[Vr=m33S2S22=S2（（m11-m22）uv+τu-d33r-m33ψd+ω2m33r-ω2m33ψd-ηm33ψd+τwr）=S2αr-αrS2] （26）
當縱向速度控制器切換律參數[αr]進行如下取值時：
[αr=（M11+M22）ur+（D33+ω2M33）r+M33ψd+ω2M33ψd+ηM33ψd+γ2+τwrmax]? ? （27）
其中，[γ2]>0。則有[Vr≤-γ2S2]。因此，所設計的動態滑模面具有可達性，且艏搖角度誤差可沿動態滑模面收斂至零，且具有漸進穩定性。
在實際工程中，由于所選取的切換控制律[τuswit=-αusgn（S1）]、[τrswit=-αrsgn（S2）]不連續，所以會導致系統出現抖振現象。為避免抖振現象的出現，應避免切換函數的不連續性，因此將切換控制律重新進行設計：
[sat（si/εi）=si/εi，siεi≤1sgn（si），siεi>1，i=1，2]? ? ? ? ? ? （28）
則更新后的切換控制律為：[τuswit=-αusat（S1）]、[τrswit=-αrsat（S2）]。由上式確定的切換控制律可以有效降低系統抖振現象。
3仿真驗證
本節將對基于滑模控制的無人船路徑跟蹤問題進行仿真。采用文獻[7]中所述的船舶運動數學模型進行仿真研究，該船長為38[m]，質量為[118×103kg]，該無人船的參數為：
[m11=120×103kg，m22=177.9×103kg，m33=636×105kgd11=215×102kg/s，d22=147×103kg/s，d33=802×104kg/s]
設外界的風浪干擾作用下的力與力矩為：
[τwu=τwr=10000（sin（0.1t）+cos（0.1t+π4）+sin（0.1t+π6））τwv=5000（sin（0.1t）+cos（0.1t+π4）+sin（0.1t+π6））]
[Mii，Dii]取[mii，dii]估計參數[mii，dii]的3%;令參考軌跡為：[xd=200sin（θ/100），yd=θ]。
無人船的初始值為：
[x（0），y（0），ψ（0），u（0），v（0），r（0）=20，0，0，5，0，0]
滑模控制器的參數取值為：
[Δ=30，ω1= 1，ω2=1，η=0.001，γ1=105，γ2=105，ku=0.2，ke1=0.01]
可得到無人船運行的仿真軌跡以及誤差、速度、控制量的仿真曲線如圖3～圖6所示。
通過對圖4分析可知，在對正弦路徑進行跟蹤時，無人船路徑跟蹤過程中的位置誤差在3s內收斂至0，在描述的控制輸入下，無人船的速度以及角度可在3s內達到所設定的虛擬控制速度以及角度，仿真實驗結果證明在風浪干擾及參數不確定性的影響下，所設計的滑模控制器對于無人船的曲線軌跡跟蹤具有良好的控制效果。
4總結
本文主要針對考慮到擾動及參數不確定下無人船的路徑跟蹤控制進行研究。首先引入Serret-Frenet坐標系對無人船的路徑跟蹤控制問題進行了數學描述，并對問題進行簡化。考慮到實際工程應用中，無人船模型參數不易獲得且運行過程存在擾動，對無人船平面3自由度的欠驅動控制模型進行了分析，將無人船的路徑跟蹤問題進行更一般的描述，將路徑跟蹤問題轉換為速度及角度的跟蹤問題，設計出速度及角度的虛擬控制律，采用滑模控制方法對其進行控制，并進行了仿真實驗。仿真實驗證明所設計的控制器可對曲線路徑進行有效跟蹤，并具有一定的抗干擾性。
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【通聯編輯：梁書】
