微型斯特林制冷機回熱器的分形表征

李仁智，陳曉屏，孫 皓，李昊嵐

（昆明物理研究所，云南 昆明 650223）

0 引言

回熱器是回熱式低溫制冷機中的關鍵部件，冷熱流體工質在其中交變流動，直接與回熱器填料進行熱交換。根據計算回熱器1%的效率損失會引起接近10%的理論制冷量損失，當回熱器效率為90%時，理論制冷量損失會達到100%[1]，由此可見回熱器效率的重要性。因此對回熱器的研究是制冷機研究中的一大重點。根據填料填充方式的不同，回熱器可分為徑向填充（層疊金屬絲網式，堆疊金屬珠式，金屬絲網和金屬珠混合式），軸向填充（平行金屬絲式，平行金屬片式），隨機填充3種類型[2]，以上3種填充結構都為多孔介質結構。當前對回熱器的研究方法主要有實驗研究和數值模擬，不管是實驗研究方法還是數值模擬方法都未能從微觀結構上對回熱器進行研究，因此本文采用分形理論對回熱器進行表征。

1 分形表征理論基礎

多孔介質是指由許多骨架形成大量微小縫隙的物質，絲網填充的回熱器是一種典型的多孔介質。回熱器中的絲網一般為100 目～500 目，將絲網裁剪后填入回熱器外管，形成回熱器的基本結構。

圖1為不銹鋼網片堆疊的示意圖，圖2為不銹鋼網片和不銹鋼氈的顯微照片，除圖1和圖2所示的徑向填充回熱器填充結構，還有軸向填充、隨機填充等填充結構的回熱器，這些回熱器都是多孔結構。一般實際多孔介質都具有統計自相似的分形特征。已有文獻報道[3-5]，多孔介質的孔隙大小分布滿足分形標度律。多孔介質中孔隙直徑大于或等于λ的孔隙數目和大小滿足如下分形標度關系[6]：

式中：N為孔隙數目；L為孔隙直徑；Df為分形維數；λmax為最大孔隙直徑。當λ取最小值λmin時，即可得孔隙總數目為：

需要注意的是自然界和人造材料的分形結構一般是統計自相似的，因此上式的適用范圍會在一定的尺度區間內。λmin～λmax內分形維數相同，超出這個區間分形維數可能不同也可能不存在。式(2)即為多孔介質中孔隙數目的分布。

對于精確自相似分形，其分形維數可以直接通過計算得出[7-8]。對于統計自相似分形，因其并不是由數學迭代生成，無法知道其具體結構。通常用其他方法確定分形維數。

實驗方法依據分形標度關系得到分形維數，Yu[9]使用分形分析推導得出統計自相似分形多孔介質的分形維數解析表達式：

式中：Φ為多孔介質的孔隙率，Φ＝孔隙體積/總體積。

式(3)建立了多孔介質孔隙率，最大最小孔隙和分形維數的關系。該式中的2指的是結構拓撲維數為2，將該式的維度推廣，可得：

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式中：三維空間dE為3，二維空間dE為2，同時也表明若二維空間與三維空間孔隙率相同，最大孔徑與最小孔徑比也相等，則分形維數相差1。在實際中可通過測定孔隙率和最大最小孔徑來得到結構的分形維數。如采用氣體吸附法和壓汞法[10]。

孔隙率是多孔介質結構固有的參數，對于多孔介質的孔隙，通常可以用實驗方法得出。顯微分析法是一種粗略的測量分析方法，它用二維平面測量結果近似代替三維空間指標。在這種孔隙率測試方法中，先用顯微鏡觀察出多孔樣品截面的總面積和其中包含的孔隙面積，然后直接通過兩者比值計算出多孔體的孔隙率。除此之外還有質量-體積計算法，浸泡介質法等[10]。

在分形分析中，可以推導得出孔隙率與微觀結構之間關系的表達式[11-12]：

圖1 回熱器網網片Fig.1Mesh of regenerator

圖2 不銹鋼網網片（左）和不不銹鋼氈（右））Fig.2Stainless steelmesh(left) & stainless steel feelt(right)

方程建立了分形多孔介質分形維數、孔隙率、介質微結構之間的定量關系式。其中L0指研究對象的邊長。

基于現有的實驗材料與實驗條件，擬采用壓汞法對回熱器孔隙分布進行實驗。壓汞法的原理為非浸潤液體注入多孔介質時，表面張力阻止液體進入孔隙，需額外施加壓力才能將液體注入多孔介質孔隙中，施加的壓力等于毛細壓力[13]。由于不同孔隙大小產生的毛細壓力不同，因此可以建立外加壓力和孔隙大小的關系。汞進入孔隙所需壓力取決于汞的表面張力、接觸角和孔徑，測試不同壓力下進入多孔試樣中汞的體積量，就可以計算出相應壓力下大于某個半徑值的孔隙的體積，從而計算出多孔介質的孔隙尺寸分布和比表面積[10]。

2 分形壓汞實驗

本次壓汞實驗使用Quantachrome公司POREMASTER 系列壓汞儀，實驗壓汞儀如圖3。該壓汞儀含低壓和高壓站口2個，低壓范圍1.5～350 kPa，高壓范圍140kPa～420Mpa，可測量直徑為0.0035～400μm 范圍內變化的孔容。該壓汞儀測試原理如圖4，將待測樣品放入樣品管中，隨著壓力提高汞液體會逐漸進入到樣品孔隙中，圖中橫軸為汞液體壓力，縱軸為進入孔隙的體積，由此可以繪制出原始的體積-壓力曲線，由該曲線可以進一步分析得出其他孔隙參數。

本次實驗采用的樣品為不銹鋼絲網填充的回熱器，5個樣品填充參數如表1所示。

對以上5個樣品進行壓汞測試，初始壓力-體積曲線實驗結果如圖5所示，其中橫坐標為壓力，縱坐標為體積。

圖3 壓壓汞儀Fig.3 Mercurry porosimeter

3 回熱器分形形特征分析析

Washburn方程描述了將液態汞壓入特定直徑的孔所需要的壓力，方程如下：

式中：P為壓力；D為孔隙直徑；θ為汞和孔隙壁面的接觸角，在本次測試中為140°；γ為汞的表面張力，取0.48N/m。

根據式(5)以及實驗測得的體積-壓力關系，即可得出樣品的孔隙分布與孔隙率等參數。

圖4 壓汞儀測試試流程Fig.4 Merccury porosimeteer test process

表1 實驗樣品參參數Table1 Sample paraameters

圖5 5個樣樣品的孔隙體積積-壓力曲線Fig.5 Voluume vs.pressuree of 5 samples

圖6即為5個樣品的孔隙分布情況，其中橫坐標為孔隙直徑，縱坐標為體積對直徑對數的微分。由該圖可以看出對于使用220目～500目網片填充的回熱器其孔徑分布在20～100μm 之間，在多孔介質分類中屬于大孔[14]。樣品1#、4#、7#目數分別為500、420和220目，目數逐漸減小同時由圖中可以看出孔徑分布逐漸增大，與實際經驗相符。其中1#樣品500目孔徑為20～60μm，4#樣品420目孔徑為20～50μm，7#樣品220目孔徑為40～100μm。同時可以看出由于目數的減少樣品孔隙率逐漸升高。10#樣品目數也為420目，但質量相較于4#樣品較小，兩個樣品孔徑分布大致相同。13#樣品為500目相較于其他樣品不同在于使用機器填充，孔徑分布與手工填充大致相同，但出現了小部分50～100 μm 孔徑，考慮該部分孔隙是由于填充過程中不均勻造成的。同時由圖6孔隙分布情況可以看出，除13#樣品外，其余樣品均為出現孔隙分布分段情況，最大、最小孔之間為連續分布。

圖6 樣品體積-孔徑分布情況Fig.6 -dV/dlog(d) vs.pore size

5個樣品孔隙率如表2。

表2 樣品孔隙率及分形維數Table2 Porosity & Df

樣品1#、4#、7#目數逐漸減小，同時由表中可以看出孔隙率逐漸增大。1#與13#目數都為500 目，但13#比1#孔隙率高5%，機填相對于手工填充孔隙率更大。4#與10#樣品網片目數都為420 目，但孔隙率有一定差別，可以看出由手工填充的網片因填充工藝限制會造成孔隙率變化。

根據式(4)可對5個回熱器樣品進行分形維數計算，計算結果見表2。

由表2可知，1#、4#、7#、10#、13#四個樣品分形維數在2～3之間，且隨著網片目數的減小分形維數增大，主要是由于試樣孔隙率的增加。13#樣品分形維數計算得2.351，結合13#樣品的孔隙分布情況，推測是由于樣品制備過程中壓力不均勻，導致出現兩段孔隙分布，使得后續計算結果出現誤差。由式(4)可知隨著孔隙率增加分形維數會增大，同時最大、最小孔徑之差增大會導致分形維數增大。

4 結論

1）通過對回熱器進行壓汞實驗，得到回熱器中不同孔徑的孔隙體積分數分布情況，得出回熱器中孔隙尺寸為大孔，以及不同目數網片填充得到的孔隙率為60%～75%之間。

2）根據多孔介質分形維數的計算模型，得出回熱器分形維數數值在2和3之間，說明回熱器具有分形特征，相比其他具有分形結構特征的多孔介質，不銹鋼網片填充的回熱器內部結構較為均勻，且最大、最小孔隙差值較小，并未出現孔隙分布分段的現象。