基于梁格法的變寬板橋分析

吳振宏

(鎮江市交通運輸綜合行政執法支隊 鎮江 212003)

當橋梁橋位受限于線路布置時，難免出現一些變寬、彎坡斜等構造不規則的橋梁，目前已有的理論和計算方法存在一定的局限性，本文以G312鎮江城區改線段滬寧高速鎮江直線互通主線上跨橋變寬板梁橋為例，采用正交各向異性薄板及梁格分析法對其進行分析。

1 正交各向異性薄板及梁格分析法

一般而言，小跨徑板橋梁的縱、橫方向上雖然材料彈性模量一樣，但是，它們的截面特性即各種剛度不一致，也就是說，它們屬于正交各向異性薄板的范疇[1]。根據經典薄板理論，板在豎向荷載作用下，所有力學反應均可由板中面撓度ω決定，而ω由雙調和微分方程如式(1)確定。

(1)

式中：x方向為縱向，即交通流的方向；y方向為橫向；Dx為單位寬的縱向抗彎剛度(相當于1個縱梁的EI)；Dy為單位寬的橫向抗彎剛度(相當于1個縱梁的EI)；Dxy為每單位寬的縱向抗扭剛度(相當于1個縱梁的GJ)；Dyx為每單位寬的縱向抗彎剛度(相當于1個縱梁的GJ)；D1為單位寬的縱向耦合剛度；D2為單位長的耦合剛度。

對于形狀特別簡單的薄板，在極其簡單的支承和荷載條件下，利用Navier-Levy等解法能得到ω的解析解[2]；對于更復雜的問題，還可以用Ritz法和Galerkin法得到ω的近似解析解；而對更廣泛、更復雜的問題，一般用差分法、有限單元法，以及有限元條分法求其數值解。而在實際工程上，運用荷載分配系數法和借助圖表的特性參數法可計算一些較簡單的板橋結構[3]；在計算機充分發展的今天，解決這類問題最常用的是梁格法(或格柵比擬法)，這種方法是用位于同一平面上的交叉梁來模擬等代平板，其力學gain清除，計算程序簡單，適用范圍廣，計算結果可靠，精度符合工程要求，可直接用于配筋設計，因此它被工程界廣泛采用。

梁格法為多次超靜定結構，由于計算條件的限制，曾采用正交異性板來模擬形狀規則的格子梁，從而避免解大型線性方程組[4]。后來，隨著計算機技術的發展，又產生格子梁理論來分析各種支撐、荷載條件下的形狀較復雜的正交異性板[5]。空間梁格理論的主要思想是用一個等效的梁格來代替上部結構。為了方便分析 ，空間梁格理論把分散在板上每一區段內的彎曲和抗扭剛度集中在最鄰近的等效梁格內，板的縱向剛度集中在縱向梁格內，橫向剛度集中在橫向梁格內。理論上要求當原型實際結構和對應的等效梁格承受相同荷載時，兩者的撓曲恒等，任一梁格內的彎矩、剪力和扭矩也與梁格所代表的實際結構的內力相等。

2 正交異性薄板與梁格的比擬

2.1 位移與變形

板的一切力學反應均遵循式(1)所示的撓度邊界條件，而對梁格系，各點撓度決定梁格系的一切力學反應。

2.2 內力與應力

板和梁格系一樣都是雙向受力結構，板子塊各應力與內力均能與梁應力與內力相對應。例如，對正交各向異性板，單位板寬的縱向彎矩可寫成

(2)

而對縱向格子梁

(3)

由方程(2)、(3)可見，板與梁是可以進行比擬的，其誤差在于板考慮了通過泊松比關系橫向(縱向)抗彎剛度對縱向(橫向)抗扭剛度的影響，以及Dx為GJx的1/(1-υ2)倍，但它不影響荷載的分布，且經實踐證明該誤差是可以忽略的。

2.3 剛度

宏觀上，可用一虛擬單梁23-2′3′來代替板條233′2′(見圖1)，使它們在縱向受力上一致，這樣可以劃分成一系列的縱梁。

圖1 虛擬單梁代替示意圖

如圖1所示，縱向各板條有連續的橫向連接，我們分割橫向連接為一塊塊板條，同樣可用虛擬的橫向連接單梁來模擬橫向板條，取適當的剛度可使它們在橫向受力上保持一致，這樣，一個用以等代正交異性板的格梁系就形成了。實心板、空心板、帶懸臂板梁格剛度計算示意見圖2，其等代剛度計算方法如下。

1) 實心板。如圖2a)所示的實心板，其縱橫向單位寬的抗彎、抗扭慣矩可用式(4)、(5)表示

(4)

(5)

對于理想的正交異性薄板，cx與cy應相等，可均用c表示。由于板截面內的剪力流在離板邊0.3d處由水平變為豎直，因此邊梁不應置于邊板條的形心位置，而應置于離板邊0.15d處以承受豎直剪力，且板邊寬度應為b1-0.3d。

2) 空心板。如圖2b)所示的空心板，所有格梁的抗彎剛度均應是各對應板截面對整個截面形心軸的抗彎慣性矩，若挖孔深度小于60%板厚，可認為縱橫向單位寬板的抗彎慣性矩相等，否則應取出單位寬橫向板條以計算其抗彎慣性矩。邊梁的處理與實心板一樣。

3) 帶懸臂板。如圖2c)所示的帶懸臂板，對2、4等邊縱梁，其慣性矩應為邊板繞整個板截面慣性主軸的慣性矩減去縱梁1、5的慣性矩，若懸臂板太寬，則應根據規范取其有效寬度；而1、5等邊縱梁的慣性矩則取懸臂薄板繞自身主軸的慣性矩，同樣還要同A一樣處理其位置及寬度。12等橫梁的慣性矩可近似根據懸臂板來求解。

圖2 帶懸臂板梁格剛度計算示意圖

具體將板橋劃分成梁格時還應注意以下幾點：①梁格的方向應與板梁的設計強度線保持平行，即與主鋼筋、預應力筋及梁邊平行；②橫梁間距最好小于1/4梁跨徑；③縱梁間距最好為板厚的2～3倍；④縱橫梁的間距不宜相差過大；⑤縱橫梁應保持相對垂直；⑥支座等應力集中處應盡量細分。

對于變寬板橋還應特別注意：①對變寬的板條，其對應的梁格慣性矩應線性漸變；②各邊梁應平行于各對應板邊。

3 工程實例

3.1 梁格劃分

G312鎮江城區改線段滬寧高速鎮江直線互通主線上跨橋變寬板梁橋的梁格劃分見圖3。現以第4跨跨中截面為例來具體說明梁格的劃分及慣性矩計算，跨中截面尺寸示意見圖4。

圖3 橋梁尺寸示意圖(單位：cm)

圖4 跨中截面尺寸示意圖(單位：cm)

中縱梁3、4置于對應的板條形心位置，其抗彎慣性矩(繞整個截面中心軸N.A.)分別為0.282，0.185 m4，中縱梁單寬抗彎慣矩為0.094 m4。由于此板橋的懸臂較長，懸臂板的有效寬度為(0.166×20)/2=1.66 m。在計算邊梁的慣矩時，有效寬度以外的懸臂板不考慮。邊縱梁1、6的抗彎剛度應為有效懸臂板繞自身中心軸的抗彎剛度為0.010 5 m4。邊梁2的抗彎慣性矩為對應邊板(包括有效懸臂板)繞N.A.的抗彎慣性矩減去邊縱梁1的抗彎慣性矩，其大小為0.230 7-0.010 5=0.220 2 m4。同樣對邊縱梁5，抗彎慣性矩為0.282 5-0.010 5=0.27 2 m4，但它隨著橋寬的變化而線性變化。

橫梁23、34、45的抗彎慣性矩近似按中間挖孔70 cm計算，其單寬大小為0.082 3 m3，縱梁2、3、4、5及橫梁23、34、45的單寬抗扭慣性矩應為0.176 m3,但邊縱梁2、5的寬度需折減，由于其不等高、橫梁12、56的單寬抗彎慣性矩需按懸臂板的平均厚度計算。其單寬大小為0.002 86 m3，單寬抗扭慣矩為0.005 72 m3。

對于橫隔梁，由于其中布置了普通鋼筋和預應力筋，正常受力狀態下幾乎不出現裂縫，而其它部分則會出現裂縫且剛度比計算值要小，所以橫隔梁慣矩可不考慮挖空按實心板計算。

3.2 計算結果

經梁格程序進行恒載計算，用SuperSAP進行校核，用midas生成結構內力影響面，并用公路-I級荷載進行自動加載，用手工加載進行校核。

單寬橫隔梁3、4、5、6的恒載彎矩(節點處取左右內力的平均值，下同)見圖5。

圖5 單寬橫隔梁恒載彎矩圖

由圖5可見，支座處的內力集中較嚴重，具體配筋設計時應考慮支座寬度對彎矩峰值進行折減，橫隔梁應施加預應力。單寬縱梁恒載彎矩圖與普通單根連續梁的恒載彎矩圖形狀基本一致。

單寬橫隔梁5的內力包絡圖見圖6。

圖6 單寬橫隔梁內力包絡圖

由圖6可見，橫隔梁會出現一定的正彎矩，設計時應對此加以考慮。

4 結語

采用單梁模型計算內力比空間梁格模型偏大；但是從實際工程角度出發，是偏于安全的，適用于在高速公路 、煤礦道路和林區道路等承受高荷載或結構安全等級高的新建橋梁設計。

對變寬板橋跨徑合理布置能夠使全橋受力均勻；劃分梁格要按照文中所列原則，而且要特別注意邊格子梁的位置及其慣性矩計算；支座處的橫隔梁是全橋的關鍵受力部分，考慮到它配置了預應力筋，其慣性矩計算不考慮挖空是合理的，支座處的內力及配筋設計應謹慎處理；特別注意懸臂板的橫向正彎矩及負支座反力。雖然梁格模型總的內力值與單梁相差不大，但是各腹板差異較大，橋面越寬，箱室數越多，斜交角度越大，這種差異越明顯；同時，單梁法計算時，結構剛度較梁格法偏低，對最不利腹板設計不利。